Cauchy, Sept leçons de physique générale, p. 36 et

L*INFINIMBNT PBTIT BT LA MATIÈRB 48

diate et nécessaire des principes que nous avons établis.... En effet, tant qu'un morceau de matière conserve de retendue, il existe un plan horizontal qui serait propre à le diviser en deux parties, Tune inférieure, l'autre supérieure , dont les volumes seraient égaux, et ces deux moitiés sont bien distinctes l'une de l'autre, môme avant que la division soit effectuée. Donc un morceau de matière renferme au moins deux êtres matériels distincts. Mais si chacune des moitiés conserve encore de l'étendue, elle renfermera pareillement au moins deux êtres matériels, et le morceau primitif au moins quatre, et ainsi de suite...

<( Serait-il possible, ajoute l'illustre savant, que les derniers éléments des corps ne fussent pas simples ou que dans un morceau de matière l'on dût voir un composé qui n'aurait pas de composants? Et, s'il existe des êtres matériels simples, n'est-il pas évident que chacun d'eux doit être sans étendue puisque tout être étendu est nécessairement divisible et cornposé en conséquence de parties diverses? »

On allègue d'ordinaire, pour éviter cette conclusion, que la divisibilité d'un corps est illimitée. Dans cette hypothèse, en effet, les parties ultimes fuiront toujours. Le plan de section qu'on propose séparera toujours en moitiés disUnctes un système étendu quelconque, si petit qu'il soit ; ces moitiés seront étendues elles-mêmes, et ainsi de suite à l'infini. Livrée à une interminable dichotomie, l'étendue diminuera sans cesse, mais ne disparaîtra jamais.

Une telle supposition, est-il besoin de le rappeler ?n*est plus permise. Les démonstrations précédentes ont établi que, dans le réel, ni le nombre infini ni le nombre indéfini des parties ne se conçoivent : la somme des éléments d'un tout matériel est donc finie, et chacun des indivisibles qui la composent est nécessairement inétendu, sous peine de n'être pas élémentaire.

En un sens, il est xrai, l'hypothèse que nous combattons a sa raison d'être. — Qu'il existe un rapport défini en soi entre l'élément et le quantum où il entre, après les considérations

que nous venons de faire valoir, rien n'est moins douteux ; il faut donc croire qu'un tel rapport est toujours, en soi, exprimable à Taide d'une fraction dont l'unité dynamique serait le numérateur, et dont le dénominateur serait un nombre immense mais fixe, répondant pour chaque corps à la totalité des parties ultimes. L'œil de Dieu assurément peut lire une telle fraction, mais elle nous échappe. Ce qui est déterminé et même nombre dans la réalité des choses, demeure fatalement indéterminé pour nous. Lorsque de division en division nous poursuivons par la pensée l'unité finale, quel est le quotient qui répond à la grandeur évanouissante? — Nul ne le sait. — Nous ne trouvons en effet, à aucun moment de cette décomposition tout idéale, l'obstacle, le cran d'arrêt fixé a priori par la nature. Reconnaissons donc qu'au point de vue subjectif adopté de préférence par le géomètre, la divisibilité de l'atome doit sembler iUimitée; elle l'est en effet, mais pour lui seulement, non en soi. L'indétermination qui règne dans notre pensée ne pénètre à aucun degré dans le monde réel.

Impuissante à se figurer un être simple, l'imagination élève doutes sur doutes, difficultés sur difficultés ^ — Quoi!

1. Pascal dans son opuscule sur VEsprit géométrique, et Euler dans ses Lettres, ont attaqué avec une extrême vivacité les partisans de la divisibilité limitée dans le réel.

Voici les principales objections de Pascal :

I. <( U suffit de dire à des esprits clairs en cette matière que deux néants d'étendue ne peuvent pas faire une étendue. Si Ton répond que deux unités font un nombre par leur assemblage^ nous répondrons à notre tour que Tunité peut être considérée comme un nombre. »

Cette argumentation ne nous semble nullement satisfaisante. Admettons pour un moment que l'unité soit un nombre. Ce qui est certain, c'est que l'un et le multiple sont aussi opposés, comme notions, que l'inétendu et l'étendu; or l'un plusieurs fois répété produit le multiple. Pourquoi l'inétendu plusieurs fois répété ne produirait-il pas l'étendu?

II. Le rapport de l'inétendu à l'étendu est le même que celui du zéro au nombre.

Cette formule est équivoque, le zéro pouvant être conçu comme absolu ou comme relatif. L'unité, par exemple, ne saurait être conçue comme un zéro absolu ; ce n'est qu'un zéro de multiplicité, un zéro relatif. Ainsi de l'élément simple. Il existe, on pourrait même établir qu'il existe seul dans la nature ; ce n'est donc pas un zéro absolu, mais seulement un zéro relatif, un zéro d'étendue.