Voir Platon (Tauchnitz), Philèbe, ch. XII

*0ir6<y* av rijjtîv (pacvYjxat (x&XX6v xe xàt rjTTov y^Y^^l^sva, xài to (r?68pa xai V)pê(Aa 6ex6(ieva, xàl to X(av, xat oaa TOtaOxa, Tràvxa et; to toO àîcefpou

Y^voc, (OC eic ^v, 5€i Tràvxa xaOxa xcÔévac.

OùxoOv xà (lYi $ex6u.sva xaOxa, xo\5xa)v Bï xà evavxfa Tcàvxa ôex^pieva, Tcpw- Tov [kht xb Tffov xài taôxrjxa, (lexà ôà xb fdov, xb ôtTcXdtatov, xol ir&v o xc Tiep àv irpb; àptôfibv àptôfib;, ij (Aéxpov Tcpb; jiéxpov, xaOxa ÇujjLTcavxa et; xb 7:épa; «icoXoY^V^o^ xaXwç âv $oxoT(JLev dpav xoOxo, vj itùiç ov çyjç;

BSQUISSB D'UNB HISTOIRE DE L*INFINI 3

moins, froid ou chaud, grand ou petit; et le fini, qui répond à Tégalité, au nombre, à la mesure, à la détermination enfin, sous quelque forme que ce soit. L'existence réelle est le mélange du fini et de l'infini, parce que, en lui donnant Tordre, la mesure et la loi, le fini fait passer l'infini à l'existence.

L'infini est donc un principe véritable, principe passif sans doute, mais indispensable à Têtre. C'est la réalité en voie d'enfantement, le devenir incertain et flottant encore entre des fins diverses, opposées peut-être, mais telles que Tune, un jour, laissera sur lui sa trace sous forme de détermination concrète. Le nom qui lui conviendrait le mieux est celui de virtualité ou de puissance. Telle est la formule vers laquelle nous nous acheminons peu à peu en commentant la pensée de Platon, et qu'adopte, sans jamais la perdre de vue, le génie si exact et si précis d'Aristote. Qu'on veuille bien se rappeler les définitions les plus importantes de la Physique^ et Ton se convaincra que le philosophe obéit toujours à cette conception dirigeante. Le domaine du fini c'est le réel, celui de l'infini, le possible. S'agit-il du monde que nous habitons, de l'univers réel au centre duquel il nous semble que nous sommes placés, Aristote y compte, après Platon, après Eudoxe de Cnide, un certain nombre de cercles ou de cieux solides. S'agit-il, au contraire, de ces quantités abstraites que l'esprit peut, à son gré, faire croître ou décroître, il ouvre devant elles ou plutôt devant la pensée qui les crée en les concevant, le champ illimité de Tinfini.

Sur ce point les textes ne laissent aucun doute :

€ Il est clair que l'infini ne peut avoir d'existence actuelle. Il n'est ni une substance ni un principe concret *. »

« Si c'était une substance, elle serait divisible ou indivisible. — Indivisible. — Comment l'imaginer, puisque l'infini ne qualifie que la quantité *? — Divisible. — Elle se compo-

1. ^otvepbv Si xa\ oti oùx evôlx^^ai eîvat xo àîceipov, to; evepygia ov, xoi w; ouffiav, xa\ w; «px^v. (P%*., liv. III, ch. v.)

2. 'A(i.£pt(TTOv àpa xat àôtaipeTOv. — *AXX' àôuvaxov tb evTe>.exeîa o^ oÎTceipov iriaov yap ti eïvai àvaYxaîov. (Phys.y ibid.)

serait de parties infinies elles-mêmes, sous peine d'enfermer une contradiction dans son essence ; or plusieurs infinis ne sont pas le même infini, et l'hypothèse est inadmissible *. »

On remarquera que cette argumentation, si ferme à la fois et si concise, se fonde sur Timpossibilité où nous sommes de constituer un tout infini à Taide d'un nombre donné d'éléments actuels , s'il est fini. La science contemporaine est plus explicite, mais le principe qu'elle invoque n'a pas varié.

« Cependant, ajoute l'auteur de la Physique , on arrive à bien des conséquences absurdes, si l'infini n'est absolument pas. — Le temps aura un commencement et une fin. — Les grandeurs ne seront plus divisibles en grandeurs. — Le nombre ne sera plus infini. — L'idée que nous nous faisons de ces choses nous contraint d'écarter de telles conclusions. Il nous faut donc un arbitre ; car il est clair qu'en un sens l'infini est, et qu'en un autre il n'est pas. Or on dit d'une chose tantôt qu'elle est en puissance, tantôt qu'elle est en acte : comme donc nous avons prouvé qu'une grandeur actuelle ne saurait être infinie, une seule conclusion reste possible : c'est que l'infini soit seulement en puissance 2. »

Le stoïcisme abandonne ces hautes spéculations; mais dans les limites où il s'enferme, il n'est pas impossible de saisir sa pensée intime sur l'infini. Des deux principes constitutifs de la nature, l'un est le principe de détermination et d'essence, To notov ; l'autre , substance ou matière, to Ô7cox£((X£vov, est un sujet indéterminé par lui-même, vague support de l'existence qui se confond, à n'en pas douter, avec le principe passif auquel les philosophes antérieurs avaient donné le nom d'infini. Si l'être n'est rien sans les modes qui l'expriment, le

1. "Eaxai oTioOv auToO àireipov xb Xa[x6av6(jLevov , £i [xepiv.*T6v no)»Xà

ô'aîisipa xb auxb eîvai àôuvaxov. {Phys.f ibid.)

2. El Sa ^r\ eaxiv aTreipov àirXwç, iroXXà otôuvaxa <xu[xêaiveiv 8y)Xo''. xoO xe yàp Yp6vov ïaxoLi xi; àpx^^ xat xeXeuxr), xài xà [xeyéôr) ou Ôiaipexot stç [x^-^éOY], xat apiOfxb; oux *^<jxai àwsipoç. — "Oxav 6è ôiopiafiévtov ouxô; {iY]Sexép(o; Çu ''vr)Tat £v6éxe<rOai, ÔiaixrixoO 8e'i, xal 6^Xov oxi tcô; (lèv ^axi, irwç Ô'oi;. Aéyexai

ÔYi xb eïvai, xb [lèv Suvafxsi, xb 8è evxeXe^^eta xo 8è [xéyeOoç, oxi (xàv xax Ivép-

yeiav oOx 'éaxiv aireipov, eipr^xai Aetirexai o\>v 5'iva[xet eîvai xb aTceipov.

{Phys., liv. III, ch. vi.)

ESQUISSE d'une HISTOIRE DE L'INFIM 5

substratum des stoïciens n'est plus que la possibilité logique des contraires : i, 5^t), to anctpov.

En résumé^ pour les plus illustres représentants de la philosophie grecque, Tinfini n'est que Tindéfini, et Tindéfini que l'indéterminé \

Le père de la philosophie moderne rejeta avec éclat Topinion traditionnelle. Il n'en avait, il est vrai, qu'une connaissance imparfaite, et comme il la tenait en médiocre estime, il était systématiquement porté à l'exclure. Aristote avait dit : « Ce qui est parfait est achevé, et ce qui est achevé a des limites. »

TéXetov oùôév fxJj iyoy reXoç, to Bk TeXoç, Tiepaç. Descartes se place

résolument à un point de vue opposé, et déclare que seul l'Être infini est parfait. Deus^ ens infinitum. Pour la première fois, peut-être, dans l'histoire, Tinfini qualifiait la réalité suprême 2.

Lorsqu'on le presse de dévoiler sa pensée intime, Descartes distingue quelquefois un infini que nous pourrions nommer intensif : c'est Dieu, et un autre infini qui ne serait qu'extensif : c'est le monde; mais presque jamais cette distinction n'apparaît biea nette, ni chez le maître, ni chez les disciples, et, dans VÉthique^ les deux points de vue tendent à se confondre absolument ^

1. Aristote signale quelques opinions en apparence discordantes. Les atomistes, entre autres Démocrite, affirment que les éléments sont en nombre infini. "Aireipa ttoioOcti Ta <rcoixeîa. {Phys.y liv. III, ch. iv.) Il est possible que ces philosophes veuillent désigner par là un nombre immense, un nombre qui échappe à tout calcul. On peut encore admettre que, fidèle au sens généralement adopté^ Démocrite affirme que les atomes, pris à part, ne jouissent d'aucune propriété spéciale, les corps ne différant entre eux que par la nombre et la disposition des parties qui les constituent. C'est du moins Topinion d'Aristote. AOxb t6 xoiv6v a£)|ia aTràvTOïv eax\v àpx^Q, [xlysOei xaxà (x6pia xa\ (TYr^iLOixi ôiaçlpov. (Phys., liv. III, ch. IV.)

Anaxagore, qu'Aristote rapproche de Démocrite, devait être pour les mêmes raisons conduit aux mêmes conséquences. Si tout vient de tout, les éléments sont semblables, et il est dès lors impossible d'y découvrir aucune trace, aucun principe de différence ou de détermination.

Aristote cite encore Mélissus, qui croit que l'univers est infini ; mais il lui oppose l'opinion de Parménide.

2. Plotin donne, il est vrai, à l'unité suprême le nom d'infini, aiceipov, mais cette unité est Tindéterminatiou même.

3. Descartes dit [Princ. phil., I, art. 26) : « Nous appellerons ces choses

Pascal insiste sur Tinfinité de l'univers; il admet avec l'auteur des Principes que l'étendue est une chose en soi, qu'elle fait le fond même de la matière et constitue sa réalité propre. La matière subit donc la loi de l'étendue géométrique; elle est, en grandeur comme en petitesse, infinie. Et il s'agit bien ici d'une infinité rigoureuse. Ce n'est plus cette immensité sans borne apparente, que saluent en termes inspirés, après les premières découvertes de l'astronomie moderne, certains philosophes de la renaissance, les Nicolas de Guse ou les Bruno. C'est un monde actuellement illimité que le néant sous le nom de vide n'enveloppe ni ne pénètre. La pensée plonge en vain dans cet abîme sans fond ; en vain s*élève-t-elle à d'incomparables hauteurs; elle est toujours dépassée et confondue.

Bossuet et Fénelon n'osent, en leur qualité de théologiens, se prononcer sur l'infinité du monde; mais l'un et l'autre font de l'infini une idée positive, et mettent, en même temps que la borne, la négation dans le fini.

Même exception pour Màlebranche. Préoccupé de concilier la pensée cartésienne avec le dogme, il laisse dans l'ombre l'étendue concrète et s'attache à l'étendue purement intelligible, qu'il place en Dieu et déclare infinie comme Dieu luimême. Par cette définition, le philosophe oratorien cherchait sans doute à échapper au panthéisme que porte en germe la doctrine du maître. Le monde, tel qu'il le conçoit, n'est donc plus infini que sous la forme d'une virtualité illimitée, analogue, malgré de notables diff'érences, à la matière première de Haton.

Au contraire, l'interprète le plus sincère et le plus rigoureux de Descartes fut Spinoza. Pour lui, la Pensée et l'Etendue, infinies au même titre, devinrent deux aspects de la

(les quantités) indéfinies plutôt qu'infinies, afin de réserver à Dieu soûl le nom d'infini. » Mais c'est là une concession qu'il ne fait que bien rarement. « Il répugne à ma pensée, dit-il ailleurs, ouf ce qui est le même, il implique contradiction que le monde soit fini ou terminé. » {Lettres, t. X, p. 227.) Presque toujours, Descartes fait du monde un infini véritable, un infini actuel.

ESQUISS& d'une histoire DE L'INFINI 7

substance, conçue comme le centre d'une infinité d'infinis. À ce point de vue, comme à tant d'autres, la doctrine cartésienne trouvait dans l'œuvre du solitaire penseur de r£(/uque son expression définitive.

La période qui comprend Descartes et Spinoza marque le règne sans conteste de Flnfini actuel, de Tlnfini déterminé et achevé, de Tlnfini cause et substance, et c'est, à notre sens, une des erreurs les plus graves qui aient régné en philosophie. — Cependant une doctrine étroite mais sensée, l'Empirisme, rencontrant cette idée sur son chemin, y remarqua, non sans raison, une contradiction flagrante, refusa de l'inscrire au nombre des notions intelligibles et passa outre. Gassendi écrivait à Descartes : « Celui qui nomme une chose infinie donne un nom qu'il n'entend pas à une chose qu'il n'entend pas mieux *. » — Hobbes et Locke revinrent franchement à l'indéterminé des anciens. Le premier fit observer avec une extrême sagacité, sans toutefois l'établir suffisamment, « que le terme infini exprime seulement la faculté de notre esprit d'ajouter sans fin 2. » Locke, dans une théorie plus détaillée et plus savante, montra que l'infini de quantité n'est possible que sous la forme du devenir : telles ces fractions périodiques, toujours susceptibles d'accroissement et toujours inachevées. Après Hobbes et Locke, Hume rejeta l'Infini actuel, il n'admit comme rationnelle et vraisemblable l'existence de Dieu, qu'à la condition d'en faire un Etre personnel, et d'en exclure cette contradiction dans les termes, l'infinité.

Le retour à la tradition accidentellement rompue eut sur le rationalisme cartésien lui-même une influence décisive. Leibniz, aussi curieux des doctrines anciennes que Descaties y avait paru indifférent, émit sur l'infini des idées plus voisines qu'on ne le croit généralement de celles de Locke. Cette notion contestée, parce qu'elle était trop vague, fut ramenée par lui à deux notions très distinctes : — dans le nombre, l'indéfini; — au-dessus du nombre, l'absolu. — L'absolu, c'est