LE LIEU EN SOI

le musicien qui souvent n'adopte un thème que pour se livrer en le développant à sa propre inspiration *.

Dans le premier cas, la grandeur conserve évidemment quelque chose d'objectif ; on pourrait l'appeler concrète, ou mieux encore mixte, si l'on tient à la distinguer de la matière ; dans le second, elle demeure, au sens rigoureux du mot, abstraite ou purement intelligible.

C'est h titre de grandeurs objectives que nous nous proposons d'étudier dans ce chapitre l'étendue, la durée et le mouvement. Il s'agit de rechercher si ces quantités ainsi conçues admettent ou rejettent la divisibilité à l'infini. Nous consacrerons une analyse spéciale à chacune d'elles.

Le lien «n sol ou 1« il«u réeL

Le lieu réel d'un corps est, pour nous, la portion de l'espace que ce corps occupe : il ne saurait être absolument détaché, même par la pensée, du quantum matériel dont il marque exactement la trace et dont il est le réceptacle ; autrement, il se confondrait avec l'étendue idéale ou intelligible qui n'est qu'un pur concept de l'entendement.

Le lieu que nous appelons réel est donc le lieu dans lequel se meuvent ou peuvent se mouvoir nos membres; la distance que nous franchissons ou que nous pouvons franchir lorsque nous nous rendons d'une rue, d'une ville, d'une région à une autre; l'espace enfin que traversent dans leur marche mesurée et régulière les globes qui peuplent le ciel.

1. V idéalisme subjectif ^eui'ïi rendre compte de ces deux modes d'exercice de l'intelligence? — Si l'esprit obéit à une loi intérieure, il doit» avec la conscience qu'il a de ses actes, voir se développer la série de ses phénomènes sous la forme d'un progrès logique et continu. — Comment expliquer alors, outre l'imprévu de ces événements extérieurs qui sont pour lui, à l'origine, autant de surprises, la nécessité qu'il subit toutes les fois qu'il sacrifie ses propres exigences à celles de la chose eu soi? Là où se montrent deux lois contradictoires, il parait impossible de maintenir l'unité de nature; un sujet qui s'oppose à lui-même, doit se résoudra en sujet et en objet,

Qu'ainsi conçu et défini, le lieu ait une sorte d'existence en dehors de la pensée, il semble impossible d'en douter. « Comment admettre, dit un philosophe peu suspect de partialité en faveur de la doctrine du discontinu et du fini *, que les phénomènes astronomiques, si manifestement indépendants des lois ou des formes de l'intelligence humaine, viendraient se coordonner d'une manière simple et régulière, en un système qui ne signifierait pourtant rien hors de l'esprit, parce que la clef de voûte de ce système serait un fait intellectuel, humain, mal à propos transporté dans le monde où s'accomplissent les phénomènes astronomiques? Ce qui se dirait des phénomènes astronomiques pourrait se dire de tous ceux que la science a ramenés à des lois régulières, simples, et qui paraissent tenir de très près, en raison de cette simplicité même, aux lois primordiales de la pensée. »

Le lieu réel n'est ni une abstraction pure, puisqu'il est le décalque exact des corps qui l'occupent, ni une forme à priori de l'intuition sensible. Faire cette seconde hypothèse, ce n'est pas seulement méconnaître les traits de ressemblance frappants qui établissent la parenté du lieu avec le composé matériel, c'est se refuser à l'observation d'un fait psychique parfaitement certain, celui du progrès continu qui d'étapes en étapes nous emporte du réel vers Tidéal; c'est suspendre dans le vide une de ces formes qu'on nomme bien à tort intelligibles, puisqu'elles ne trouvent de point d'appui rationnel ni dans les choses ni dans la pensée *. Le lieu est une grandeur objective. Il n'existe pour l'esprit que dans et par le quantum étendu et matériel d'où il l'extrait. En conséquence, loin de pouvoir imposer sa loi au corps, il doit la recevoir de lui et n'en pas conn^dtre d'autre, réserve faite de l'existence substantielle. A ce point de vue, le lieu, non moins que le corps lui-même, se conçcnt comme nécessaire-

1. Couruot, Essais sur les fondetnents de nos connaissances, t. I, ch. X, p. 306.

2. Nul point d'appui dans les choses, c'est évident, puisque les formes dont on parie sont à priori; nul point d'appui dans la pensée, car comment imaginer que le lieu étendu soit une forme de la pensée inétendne?

LB LIBU BN soi 81

ment divisible en un nombre uni de pariids élémentaires. Il est d'ailleurs aisé d'établir, sous la garantie du principe de contradiction, que Télément du lieu doit être comme l'élément du composé matériel, indivisible et inétendu.

£n effet, l'élément dynamique est simple, ainsi que nous l'avons établi. Supposons maintenant qu'il occupe une portios d'espace étendue ; il est clair que cette portion d'espace sera aussitôt conçue comme divisible, et que sa divisibilité entraînera celle de l'élément qui l'occupe : ce qui est contraire à l'hypothèse.

A l'élément actif, à l'unité de Force, doit donc répondre, dans l'espace réel; l'élément inerte ou l'élément vide, point d'application du premier; l'un dépendant nécessairement de l'autre, tous deux doivent être considérés comme inétendus. On ne prétend pas que le nombre des éléments vides qui constituent le lieu soit rigoureusement égal au nombre des éléments dynamiques qui paraissent lui correspondre. Nous savons que les parties d'un agrégat matériel sont séparées les unes des autres par des intervalles ; or ces intervalles peuvent être occupés; il faut donc qu'ils enferment autant de points quils peuvent enfermer^ à un moment donnée d^éUments réels.

Outre la diflerence caractéristique qui sépare la réalité de l'abstraction, on pourra donc toujours établir entre le corps et le lieu qu'il occupe, cette importante distinction, que les éléments réels qui constituent le premier sont ou peuvent être épars, tandis que les points vides qui remplissent le second ne sont intelligibles que s'ils sont œntigns.

Une pareille contiguïté n'est assurément pas représentable. Mais quoi de plus naturel? L'imagination, qui ne peut atteindre jusqu'aux derniers éléments, ne se figurera jamais le rapport de ces éléments entre eux. Dans l'absolu, encore une fois, nous devons renoncer d'avance à toute intuition sensible et n'accepter que les conclusions de la Raison.

La plupart des difficultés que Ton soulève sont empruntées aux spéculations mathématiques. On veut appliquer k la chose

déterminée en soi la loi de Tindéterminé et de l'abstrait. On objecte, par exemple, qu'il serait difficile, sinon impossible de concevoir comme distincts des points géométriques qui seraient tangents. Soit; mais il faut prendre garde que les points géométriques ne sont qu'abstractions pures. Au contraire, les éléments du lieu en soi, sans être comme ceux du composé matériel dynamiques dépendent, quant à leur existence, de ces derniers, et, ainsi que nous l'avons vu, leur sont attachés, chacun à chacun, comme autant de points d'application; or, ne l'oublions pas, deux éléments dynamiques, alors même qu'ils seraient contigus, demeureraient impénétrables : en conséquence et par suite de la loi de dépendance déjà invoquée, les points qui leur correspondent dans le lieu doivent jouir à leur tour d'une impénétrabilité véritable, bien que relative, et par suite être conçus comme distincts.

Un penseur d'une rare puissance, mais géomètre plus que métaphysicien, Pascal, n'a pas assez de railleries à l'adresse de ceux de ses contemporains qui, comme le chevalier de Méré, croyaient « que l'étendue se résout finalement en indivisibles. »

« Un indivisible, dit-il dans l'opuscule De Vesprit géométrique, est ce qui n'a aucune partie. — L'étendue est ce qui a diverses parties séparées. — Sur ces définitions, je soutiens que deux indivisibles étant unis, ne font pas et ne sauraient faire une étendue.

a En effet, quand ils sont unis, ils se touchent chacun en une partie, et ainsi les parties par où ils se touchent ne sont pas séparées, puisqu'autrement elles ne se toucheraient pas : or, par leurs définitions, ils n'ont pas d'autres parties; donc ils n'ont pas de parties séparées, donc ils ne sont pas une étendue, par la définition de l'étendue qui porte la séparation des parties. »

Quelle que soit l'autorité de son auteur, un tel argument est loin de nous convaincre. Dans le passage qu'on vient de lire, séparé veut-il dire simplement distinct ou éloigné?

LB LIBU BN SOI 60

Entre Thypothèse d'un indivisible sans parties, et celle d'un composé dont les parties seraient situées à une certaine distance les unes des autres, la raison apeif^it un milieu : le système que créeraient des parties distinctes, mais contiguës. « Deux parties qui se touchent ne sont pas séparées, » — on l'accorde. — « Deux parties qui ne sont pas séparées ne sau« raient constituer une étendue, » — on le nie, ou du moins on le conteste, — car il n'est nullement établi que la contiguïté de deux points réunis sans intervalle soit impuissante à former un couple, qui serait étendu, étant divisible. Pascal laisse donc ici une issue à l'adversaire. On lui répondra que des parties qui se touchent ne sont, par définition même, ni séparées ni confondues, et que son argument manque de base.

Dans le réel, l'étendue n'est ni ne saurait être ce qu'elle parait au géomètre^ qui ne la définit qu'en l'imaginant. Des faits d'une portée décisive ne peuvent laisser sur ce point le moindre doute.

Et d'abord le mouvement existe; nous pouvons franchir dans un intervalle de temps défini une portion déterminée de l'espace. Comment interpréter ce fait? Dirons-nous que le nombre des parties qu'enferme cette portion d'espace est infini * ? Non, à moins d'admettre que le nombre infini s'épuise, ce qui est absurbe. Il est donc fini, et les parties successives de l'étendue que nous traversons sont en nombre déterminé. Un pas de plus. Aucune des parties ainsi distinguées et mises à part par l'entendement ne peut se diviser à Tinfini : ce serait la contradiction même; aucune à l'indéfini : rindéfini dans le réel n'a pas de sens : toutes seront donc nécessairement réductibles, de division en division, à des [éléments derniers et par conséquent indivisibles : ce que nous nous proposions de démontrer.

On allègue d'ordinaire qu'un espace infini pourrait être par-

1. Leibniz, qui, dans le réel, admet Texistence, sinon du nombre infini, au moins d'une pluralité sans bornes, dit en parlant des parties do l'espace que le mouvement traverse : a Je ne vois pas quel besoin il y «i do les épuiser. » (Lettre à Tabbé Foucher.) Quel besoin répond justement Renouvier? mais le besoin de passer! C'est l'évidence môme.

couru en un temps infini lui-même. Mais si le temps dont on parle est un temps réel, s'il est déterminé en soi par les stades progressifs du mouvement qui le mesure, le temps se refusera à. l'infinité, tout aussi bien que l'espace ; et l'on conviendra que le moyen de faire accepter une impossibilité n'est pas de la doubler d'une impossibilité semblable.

Comme tous les phénomènes de mouvement impliquent r^uisement des parties de l'espace parcouru, on peut dire qu'il n'est pas un instant de la durée où la preuve que nous voulons feiire ne soit faite en un nombre incalculable de points de l'univers. Nous ne voulons insister que sur un fait, mais il est capital et peut tenir lieu de tous les autres. Le plus habile dialecticien de l'antiquité, Zenon d'Elée, le mit pour la première fois en lumière.

Ce fait, le voici : Deux mobiles partis de points différents et suivant la même direction se rencontrent si la vitesse de l'un est supérieure à celle de l'autre. Or une pareille rencontre serait, dans le lieu idéal, inexplicable; il faut donc que le lieu idéal diffère essentiellement du lieu réel.

Expliquons-nous : Le géomètre qui veut rendre compte du phénomène que l'observation constate doit choisir entre deux hypothèses : celle du mouvement discontinu qui nous donne gain de cause, et celle du mouvement continu qui lui interdit toute solution. Dans le premier cas, il est tenu d'admettre que le lieu est discontinu •, comme le mouvement qui s'y produit; or nous ne demandons pas autre chose. Dans le second, il ne peut, quoi qu'il fasse, expliquer la réalité; c'est ce qu'il est aisé d'établir.

Pour fixer nos idées, posons, comme Tavaient fait les anciens, le problème sous une forme concrète :

Deux coureurs entrent en lice : Tun renommé pour son agilité, c'est Achille ; l'autre connu pour sa lenteur, la tortue. Feignons, en vue de simplifier, que la vitesse du premier soit

1. Le lieu est discontinn s'il est formé de surfaces, de lignes et de points contigns. La contignité, en effet, implique rindividualité et la détermination, que la continuité supprime.

LS LIRU BN SOI 11

décuple de celle du second, et que la distance qui sépare Tun de l'autre soit de dix unités de mesure. Us partent, et en peu d'instants Achille aux pieds légers atteint la tortue ; on peut même, par le calcul, fixer exactement le point de rencontre. — Voilà le fait. — Or nous soutenons qu'on sera toujours impuissant à l'expliquer à l'aide de considérants fondés sur la continuité géométrique. Si l'espace firanchi par les deux coureurs est de même nature que l'étendue idéale, Achille doit renoncer à atteindre la tortue. Ckmmi&it l'atteindrait-il t L'avance de la tortue sera toujours de un dixième de l'espace franchi par Achille, et, comme la divisibilité d'une semblable étendue est sans fin, le dixième dont nous parlons représentera toujours une étendue^ par suite une at;anc6. La rencontre, en définitive, sera impossible.

U est si facile de s'abuser dans des problèmes d'un ordre aussi délicat, que, au lieu de répondre à la question véritable, souvent et sans s'en douter on l'élude. Nous demandons commentj et Ton répond comme si nous demandions quand. U faudrait cependant s'entendre. Nous partons de ce fait que les deux coureurs se rencontrent; dès lors il est tout naturel que ce soit en un point déterminé et déterminahle. Là n'est pas la difficulté : c'est ce qu'ont fort bien vu, parmi les contemporains, Grote et Renouvier ^ La problème est de savoir comment, dans l'infiniment divisible du géomètre, le phénomène, que dis-je, le miracle de la rencontre se produit. On nous dit : a Si vous saviez user des procédés de l'algèbre, vous verriez avec quelle aisance se tranche le nœud. La méthode qui suppose le problème résolu, méthode malheureusement trop peu faimilière au logicien, vous mettrait d'emblée au pcûnt de rencontre déterminé à l'avance. > Voyons donc ce qu'on nous propose en s'aidant d'un exemple analogue, celui des aiguilles d'une montre. « La petite aiguille, dirait excellemment l'algébriste dont on nous recommande les procédés,

1. Grote, Plato and the others conypanious of Socrates, ch. U {Zenonian dialectic), Renouvier, Essaù de critique [Logiq., 1. 1, ch. XI, Observations).

aura parcouru, pour atteindre un point de rencontre, un chemin égal au chemin parcouru par la grande aiguille, diminué d'une circonférence entière de cadran. » — Je traduis avec toute la rigueur possible : — les deux aiguilles étant à midi, par exemple, je décide en premier lieu qu'une première rencontre aura lieu au bout d'un certain temps. Soit; mais qui me l'a dit, sinon l'expérience? L'impossibilité est flagrante au point de vue de la quantité continue. Vous ne pouvez décider à priori que la grande aiguille atteindra l'autre : j'ai le droit d'affirmer au contraire que, dans le lieu idéal qui est celui de l'hypothèse, il est radicalement impossible que cela soit. Autre chose est de supposer, en algèbre, le problème résolu, ôt autre chose, en logique, de postuler ce qui est en question. — Poursuivons. — Je décide, en second lieu, que le point de rencontre est un point tel que la grande aiguille aura dû faire le tour du cadran, et, en outre, le chemin nécessaire pour atteindre la petite. — Je crois bien, en effet, que, si elle l'atteint, elle ne saurait l'atteindre autrement. Mais quel est donc ce chemin nécessaire? — Il est si bien déterminé, nous dit-on, que le calcul le fixe exactement. — Raison de plus pour qu'on veuille bien nous apprendre comment l'inépuisable s'est épuisé, l'insommable s'est sommé.

Une manière plus simple encore d'éluder la question est la suivante : Puisque, en deux heures, la grande aiguille fait deux fois le tour du cadran, elle aura nécessairement atteint et dépassé la petite, qui dans le même temps n'a pu faire que les deux douzièmes d'un tour complet. — On raccorde, et vous croyez l'antinomie résolue 1 C'est ignorer ce qu'il faut prouver. Vous pourriez dire de même : Achille en une seconde a parcouru une distance représentée par dix unités de mesure; or, dans le même temps, la tortue, dont la marche est, je suppose, dix fois moins rapide, n'a franchi qu'une seule de ces unités. Que va-t-il se passer dans la seconde suivante? La tortue, n'avançant que d'une nouvelle unité, se verra dépassée par Achille, qui en aura parcouru vingt. Et après? Prétendez-vous nous apprendre que le fait de

LB LIBU BN SOI 73

la rencontre existe? Nous n'en doutons pas plus que vous. Dites-nous donc seulement comment les avances successives de la tortue, avances qui doivent toujours être d'un dixième, ont fini dans la réalité par se réduire à zéro. Encore une fois, — ou le lieu réel diffère du lieu idéal, — ou l'expérience contredit formellement la raison. »

On fera appel, en désespoir de cause, à la méthode infinitésimale. La tortue, je suppose, n'a qu'une avance d'un mètre, avec une vitesse dix fois moindre ; ne peut-on représenter le chemin parcouru par Achille au moyen de la progression suivante?

1 mètre + jq- + -Jqq- + JqW "^ TÔÔÔÔ' "^

progression qui peut s'écrire encore :

1 mètre + -^ + -^{t + iW + "iV + W "lO* -

Rien, à première vue, de plus rigoureux. Une pareille progression, munie de tous ses termes, représente bien, à ce qu'il semble, la somme des avances de la tortue, et par suite la somme des portions d'espace qu'Achille devra franchir pour l'atteindre. Mais ne nous laissons pas abuser par des fictions. La progression n'est pas donnée; elle est au contraire inachevable, parce qu'elle est indéfinie. La somme des avances de la tortue ne pourra donc jamais être faite, si bien qu'AchiUe, qui se propose de la faire à son tour et pour son compte, arrivera toujours trop tard. Son agilité ne lui sera d'aucune aide, car il a affaire à une quantité fuyante, qui ne se termine ni ne s'arrête, et, condamné à fournir dans Tinfiniment petit des étapes de plus en plus répétées et de plus en plus courtes, il s'apercevra à chaque instant qu'une étape plus courte que la précédente le sépare d'un terme impossible. Bref, la solution qu'on nous propose se retourne contre elle-même, car en voici l'exacte traduction : Il est aussi

74 INFINI BT QUANTITÉ

impossible à Achille d'atteindre la tortue qu'à la progression qui représente le chemin à parcourir pour cela d'avoir un terme.

U semble^ à la vérité, que le mathématicien puisse sommer ce que nous déclarons, peut-être à tort, insommable. Ainsi» dans le cas présent, il sait et peut prouver que la limite de

la progression proposée estl + q <^^ q" • La solution du problème est donc représentée à ses yeux par cette fraction, qui satisfait à Ténoncé et marque en effet le point de rencontre. Nous ferons observer que cette fraction n'est qu'une anticipation de l'esprit, qui, plutôt que de suivre, terme à terme, la progression dont on parle, la devance et se précipite, d'un bond, à la limite. Que, dans l'abstrait, un tel procédé soit justifiable, nous l'admettons volontiers; nous nous proposons même d'en établir la légitimité à propos de la quantité mathémathique; mais qu'il explique quoi que ce soit dans le cas présent, c'est toute autre chose. Il faudrait, pour que le problème fût résolu, que la progression atteignit la limite en même temps que l'esprit lui-même, ce qui, de Taveu même de nos adversaires, est purement et simplement absurde.

Qu'est-ce donc en réalité que la limite -q ? Un point fixe

pour l'esprit, qui, tenant compte de l'expérience sensible, comprend qu'il doit s'arrêter. Ce point fixe symbolise pour lui la limite réelle, la limite fixée par la nature, limite que dans son decrescendo continuel la progression mathématique atteint, on ne sait où ni quand. Y a-t-il concordance entre le procédé subjectif de l'entendement et la divisibilité objective du lieu? Ce que nous pouvons affirmer dès maintenant, c'est que pour l'esprit, comme pour la nature, la limite ne peut être atteinte que lorsque toute fraction d'étendue, si petite qu'on la suppose, a disparu ^.

1. Si fatigante que puisse être pour le lecteur une discussion aussi abstraite, il voudra bien, en raison de l'importance du but, nous pardonner un nouTel appel à son attenti<Mi. Voici un essai de solution qui