LB UBU EN SOI

Les considérations précédentes établissent, selon nous, d'une manière absolue, que le lieu idéal et le lieu réel n'ont rien de commun. Ce dernier est visiblement réfiractaire à la divisibilité indéfinie. Sortons maintenant de l'hypothèse du

semblera plus plausible que les autres, mais que nous uc saurions admettre :

On sait que la rencontre, dans le cas proposé, se fait à une distance

de -^ de mètre du point de départ de la tortue ou à 1 mètre 4- -q"

de mètre du point de départ d'Achille. Les deux grandeurs à comparer sont : i^ le chemin parcouru par Achille; 2^ le chemin parcouru par la tortue, plus la distance qui les séparait à Torigine. Il faut arriver à montrer comment ces deux grandeurs peuvent devenir égales et leur différence nulle.

Si j'appelle pour simplifier t le temps que met la tortue à faire -^ de

décimètre, je pourrai former le tableau suivant :

Chemin fait Ile. Par la Tortae.

Tempfl.

Pur Acbi

Distance.

-g- décim

décim

et

st

Ainsi, au bout du temps 10^, les deux mobiles se rencontrent et leur différence devient nulle. Elle a pu devenir rigoureusement nulle, parce qu'à chaque instant t la distance initiale a diminué d'une partie aliquote de sa valeur.

Nous répondrons brièvement :

L'essai d'explication repose sur deux postulats qu'il est impossible d'accorder.

On ne divise en effet la distance totale en neuvièmes de décimètres

géomètre : admettons que Télément de l'espace soit inétendu ; aussitôt Fantinomie disparaît. Le quomodo est donné en même temps que le quando; le mouvement s'explique, et avec le mouvement, la différence des vitesses et la possibilité des rencontres. Je suppose, en effet, que le dixième d'avance qu'a la tortue ne soit plus, de division en division, à un moment déterminé en soi mais indéterminé pour nous, que l'élément ultime et indivisible : pendant qu'Achille occupe ce point, l'avance de la tortue devient rigoureusement nulle, car le dixième d'un indivisible n'existe pas. La rencontre dès lors a lieu, et le problème est résolu *.

■que parce qu'on sait déjà que la rencontre aura lieu au moment précis où la tortue aura parcouru un de ces neuvièmes.

On postule donc implicitement avant de poser le problème :

1° Que la rencontre ait lieu;

2" Qu'elle ait lieu en tel point déterminé de l'espace.

Or, dans le continu, une telle rencontre étant impossible, ainsi que nous l'avons établi, on n'a pas le droit de prendre pour unité le chemin que devinait avoir parcouru la tortue au cas où elle aurait lieu.

Expliquons notre pensée : en dehors de l'expérience, une pareille unité n'est déterminable que par la méthode des limites ou par le calcul. Dans le premier cas, on remarquerait que la rencontre est de plus en plus voisine, à mesure qu'on approche davantage de la fraction

limite ^. Mais il n'y a là qu'une tendance qui, dans le continu, ne saurait aboutir. Dans le second, on ferait sans doute observer que, la vitesse de l'un des mobiles étant dix fois celle de l'autre, il suffirait au plus

rapide des deux d'avoir franchi le premier mètre, c'est-à-dire la dis-

tance initiale, pour avoir gagné les de ce qu'il doit gagner avant la

rencontre ; le dernier dixièn^ pourrait donc être gagné à son tour, pendant que la tortue ferait neuf fois moins de chemin, c'est-à-dire -g- de décimètre. Mais encore, une fois, si l'espace réel est continu, aucun gain effectif n'est possible, et le problème, au lieu de se simplifier, se complique en se posant de nouveau à toutes les étapes du mouvement. Gomment, en effet, une avance, si petite qu'elle soit, serait-elle possible, si le terme de toutes les avances est toujours à l'infini?

1 . Si l'on refuse d'admettre que le lieu réel se compose d'éléments indivisibles et contigus en nombre donné, on se heurte, quoi qu'on fasse, à une insoluble antinomie. — Vous voulez que le lieu réel soit, comme le lieu idéal, continu et divisible à Vinfini; c'est l'hypothèse ; or le lieu réel s'épuise, voilà le fait; donc lenombre infini s'épuise, sinon dans l'esprit, au moins dans la nature ; qu'on puisse ou non le sommer dans le calcul, il est sommé hors de nous et dans les choses. — Telle est l'objection capitale qui défraie la récente polémique soulevée par le problème de l'infini entre M. Rènouvier et M, Lotze. « Il faut, dit ce dernier, que la