CHAPITRE PRExMIER

l'indéfini et la quantité mathématique

La quantité mathématique est de toutes la plus abstraite. — Lo degré de son abstraction mesure le degré de son indétermination. — Comment rindétermination engendre la continuité.

L'indétermination de la quantité, circonscrite par la borne extérieur!* d'une part, trouve d'autre part un terme ou une fin dans Tunité génératrice. — L*idée soit de borne soit d'unité génératrice, adéquate à ridée de limite. — L'idée de limite, réminiscence de la chose en soi. — Tout mathématicien, en posant la limite, affirme avec ou sans réflexion que la chose en soi ne peut être divisée sans fin. — La limite opposée à la quantité mobile et fuyante, comme l'absolu au relatif.

Apparentes adtinomies résolues si l'on tient compte en mathématique» de ces deux points de vue opposés. — Ck>mme toute loi de génération dans l'absolu nous échappe, nous avons subjectivement le droit de multiplier et de diviser sans fin; comme l'élément générateur nous est connu à priori^ nous avons le droit, objectivement^ de concevoir et de poser la limite. Ce que nous ignorons eu mathématiques, c'est la foy^mation intermédiaire.

JjQ terme de la grandeur décroissante doitril ou non être confondu avec l'élément générateur? — Le point et la ligne. — Discussion.

La définition de la grandeur mathématique explique Tincommensurabilité de la plupart des grandeurs abstraites que nous avons à mesurer.

Cette définition explique également les deux sens attachés au terme infini en mathématiques.

a. Vinfini subjectif. — 11 qualifie, dans la grandeur, l'indéterminé du contenu, qu'un tel indéterminé soit considéré en lui-même, ou qu'on l'envisage dans ses progrès ou ses réductions possibles. A ce second' point de vue, l'infini subjectif est dynamique.

b. Vinfini objectif ou statique. — Il représente la limite d'un progrès ou d*une décroissance.

Ce» deux infinis répondent donc, l'un à rélément relatif, l'autre l Télément absolu de la quantité.

La quantité mathématique est la quantité parvenue au suprême degré de l'abstraction; ce n'est qu'à cette condition, en effet, qu'elle peut être soumise au calcul. Quelque variées que soient ses méthodes, le calcul est toujours une opération mentale dont la matière est la grandeur relative, c'est-à-dire la grandeur, non telle qu'elle est, mais telle qu'elle se montre ^ l'entendement, sous la forme abstraite et dans le cadre idéalisé que l'imagination lui prête. La quantité réelle n'est nullement assimilable, parce qu'elle n'existe que sous certaines conditions incompatibles avec les exigences toutes subjectives de la pensée, exigences qui servent de règle au calcul lui-même. Il suit de là que la mathématique demeure enfermée dans le phénomène et ne connaît que des rapports. La nature calcule dans l'absolu, parce qu'elle opère sur des unités fixes; la raison de l'homme, ignorante et bornée, use seulement d'unités arbitraires et provisoires, qu'elle ne détermine ni ne définit que par comparaison.

On croit souvent que les mathématiques appliquées n'ont qu'un objet : mesurer la réalité à l'aide de formules conçues à priori par l'entendement; et, comme la coïncidence parait exacte, on ne manque pas d'en inférer que les lois du sujet et de l'objet sont en parfaite harmonie. Il faut renoncer à cette illusion. Nous ne pouvons faire qu'une chose : concevoir à propos des apparences sensibles certaines lois nécessaires que nous leur appliquons ensuite. La bille d ivoire que je mesure, par exemple, n'est nullement la bille réelle, mais la bille visible avec sa continuité phénoménale et l'absolue indétermination de ses parties; que les formules relatives à la sphère idéale lui conviennent, dans la mesure où elle l'imite et selon le gré de ressemblance qu'elle a avec elle, rien à cela d'étrange ni de surprenant, puisque la sphère idéale n'est que la sphère apparente élevée à sa forme typique par la raison ; mais de savoir si la sphère on soi répondrait à nos conceptions subjectives, ou même s'il existe quelque part une sphère en soi,

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c'est ce qu'on ne peut présumer sans une témérité naïve ; vues au microscope, les surfaces les plus polies deviennent rugueuses; les lignes courbes ou droites se brisent; et qu*on veuille bien remarquer que l'apparence nouvelle, quoique plus voisine de la réalité, en est encore à une incommensurable distance. La mécanique céleste applique ses lois au monde qu'elle s'est représenté à elle-même sous une forme idéale ou géométrique, mais elle sait qu'une telle conception n'est qu'une hypothèse, et que le calcul ne vaudra que dans la mesure où elle serait réalisée. On ne peut donc affirmer que le mouvement des sphères se produise dans le ciel véritable, conformément au schème que s'en fait Timagination dans le ciel tout subjectif de Tastronome; le mouvement perçu, en effet, n'est qu'apparent; il faudrait, chose impossible, le comparer au mouvement en soi, pour apercevoir l'écart qui sépare la réalité de l'hypothèse scientifique. Quoi qu'on i^se, quelque biais que l'on imagine, on n'échappera pas à cette conclusion : La science pure ou appliquée se meut dans le relatif.

Ce qu'on vient de dire s'explique par cette considération que la quantité mathématique est purement idéale. Le concept du géomètre, la figure que sa pensée dessine intérieurement, n'est qu'un être de raison, qu'il convient de rapporter comme à son principe actif, à l'entendement créateur. Les mathématiciens ont souvent reproché aux philosophes de perdre de vue la vivante réalité des choses , pour ne tisser leurs systèmes qu'avec la substance même de leur pensée. Si c'est là un reproche, il faut l'adresser, ce semble, exclusivement aux géomètres, car les formes qu'ils imposent à la nature sont tellement relatives à l'esprit, qu'elles ne sont plus guère, à vrai dire, que l'esprit lui-même recréant la nature à son image et lui imposant la correcte monotonie de ses types. Le point de départ de tout travail d'abstraction, c'est l'apparence sensible ou le phénomène ; or le phénomène, on le sait, répond déjà à une première immixtion de Tesprit dans la réalité qu*il pénètre et qu'il transfigure; c'est peu : à chaque stade de l'abstraction croissante, l'apparence, soumise à une élaboration nouvelle.

prend des formes de plus en plus raffinées, de plus en plus idéales, c'est-à-dire de plus en plus semblables à lame qui les purifie en les dégageant de toute matière. Gomment donc s'étonner qu'au terme d'un tel progrès le travail d'assimilation soit complet, et que vient-on parler au philosophe de ces a toiles subtiles > qui font songer au travail de l'araignée? La science de l'absolu, qui est la sienne, suit précisément une marqhe inverse : elle doit redescendre, un à un, les degrés de l'abstraction mathématique, et, arrivée à l'apparence sensible qui leur sert de base, chercher à en dégager, comme d'un produit, l'acte propre du facteur intellectuel, pour se faire une idée, si incomplète qu'elle soit, de la réalité des choses. Que ses efforts aient été souvent stériles, on 1 accorde; mais qu'importe? Il ne s'agit ici que de son objet. Cette demiimpuissance, d'ailleurs, témoigne plus qu'on ne le croit en faveur de sa portée. La science la plus ancienne et la plus certaine doit être à priori celle dont l'esprit est à la fois l'objet et le sujet, la mathématique, confinée dans l'enceinte de l'entendement. Au contraire, si la méthaphysique hésite encore et tâtonne, c'est qu'elle a vue sur la réalité même ; c'est aussi que, curieuse de l'embrasser tout entière, elle dépend de conditions sans nombre dans un domaine sans limites.

Continuons à dessiner les traits de la quantité mathématique. Comme elle est de toutes la plus abstraite, il faut qu'elle soit de toutes la, moins déterminée^. Dépouillée de toute réalité objective, vidée en quelque sorte de toute matière, elle n'offre plus aux regards qu'un contenu indéfini et livré à l'ar* bitraire de la pensée qui entreprend de le mesurer ; et rien ne s'explique mieux : c est l'existence qui détermine les êtres en les faisant tels ou tels; plus une notion va s'éloignant de la réalité qui l'enveloppe, plus elle s'éloigne du principe véritable de 1 individualité et de la vie. Tel est le cas de la quan-

1. Ici et dans les développements qui suivent, nous prenons indéterminé au sens grammatical du mot. Le contenu de la grandeur idéale est pour nous indéterminé parce qu'en lui-môme il n'offre a la pensée rien d*arrété ni de défini.

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tité dont nous parlons. Entre les limites que lui impose le géomètre, elle flotte incertaine, et, si son contenu parait inépuisable, c'est que rien de préexistant et d'arrêté n'y vient jamais contredire les suppositions de l'opérateur. Une telle indétermination est d'ailleurs favorable à la science; 1 entendement, affranchi des exigences du dehors, peut librement imposer ses lois à une grandeur désormais maniable et soumise sans résistance au calcul.

Toute quantité indéterminée est représentée à l'esprit comme continue^ et il doit en être ainsi. En effet, si les éléments du quantum auquel est appliqué le calcul étaient discrets, ils seraient distincts les uns des autres, et conséquemment ils auraient un nombre déflni. Or, s'ils avaient un nombre défini, l'hypothèse de Findétermination serait violée. La continuité mathématique est donc en parfait accord avec les principes sur lesquels la mathématique est fondée; c'est de plus une copie idéalisée de l'apparence, qui, elle aussi, ne semble compacte et toute d'une pièce que parce que les fils serrés de la trame qui la constitue se dérobent par leur ténuité même à nos regards.

Que les propositions précédentes soient vraies de l'étendue, de la durée et du mouvement, c'est ce qu'on ne sera guère tenté de contester; en ce qui concerne le nombre *, savants et philosophes sont moins d*accord. Le nombre parait extrait des quantités que nous venons dénumérer, et cependant il ne possède, dirait-on, aucun de leurs caractères essentiels ; non Seulement il semble déterminé, mais, dans la pensée d'un certain nombre de philosophes, c est un principe de détermination * ; non seulement il semble discontinu, mais on admet

1. Pour la plupart des mathématiciens, le nombre est moins une grandeur que Texpression de la mesure de toute grandeur. Ici, nous n'eu faisons une quantité que parce que nous donnons au terme quantité toute Fextension dont il est susceptible.

2. Les pythagoriciens et après eux Platon ont fait du nombre soit mathématique soit idéal un principe de détermination et d'existence. Aristote en témoigne {Mét.^ ï, 7), tout en rejetant ce point de vue. Les surfaces, disentrils, les lignes, les points, sont encore plus essences que les corps, puisque les corps ne peuvent exister sans elles et qu'elles peu-

généralement que la continuité idéale ne peut être fragmentée que par l'intervention du nombre, qu'il faudrait dès lors concevoir comme le principe même de la discontinuité.

L'antiquité presque tout entière fut sur ce point de l'avis du sens commun. Elle divisait la grandeur en deux genres parfaitement distincts : ici, le continu, x^ (tuve^^éç; là, le discontinu, To Stexéç : ici. les quantités tributaires du nombre qui les mesure ; là, le nombre lui-même qui ne les mesure qu'en les déterminant.

Cette distinction, si ancienne et si autorisée qu'elle puisse être, paraît à bien des égards contestable; un nombre, quel qu'il soit, est une collection ; l'unité elle-même est divisible, le concept de l'unité absolue se refusant à entrer dans une science essentiellement relative *. Qu'en résulte-t-il, sinon que tout nombre peut être considéré comme une synthèse de l'un et du multiple, et que dès lors il est permis de diviser un nombre quelconque en fractions toujours plus petites sans jamais fixer un terme? La somme des parties intégrantes est tout aussi indéterminée dans le nombre qite dans une autre grandeur; il importe même de remarquer que le progrès des fractions qui représentent ces parties est continu, un nombre indéterminé de fractions intermédiaires pouvant toujours trouver place entre deux fractions successives, si rapprochées qu'on les imagine.

Ce qui frappe lorsqu'on observe la quantité appelée d'ordinaire discontinue, c'est qu'un nombre est toujours parfaitement distinct d'un autre nombre ; de 3 à 4 par exemple, il existe une sorte d'hiatus ou de coupure qui ne permet pas de rapprocher ces deux termes, encore moins de les fondre Ton dans l'autre sans qu'il y paraisse. Mais que l'on veuille bien y réfléchir : deux longueurs, doubles l'une de l'autre, sont aussi des quantités qu'un abîme sépare, et, si l'on allègue

vent exister sans eux. — Ne sont-ce pas là, du moins à ce point de vue, les ancêtres véritables de Descartes et de Kant?

1. Kant fait observer à bon droit que toute unité phénoménale enferme nécessairement la pluralité (Crit, rais, pure, Log. Transc.)<

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qu'un nombre indéterminé de longueurs infinitésimales les unit, nous répondrons que deux nombres peuvent être unis pareillement par le moyen d*un nombre indéterminé de fractions toujours décroissantes. Il n'y a, ce semble, entre le nombre et les autres formes de la quantité qu'une différence essentielle, celle du degré d'abstraction. Le nombre est de toutes les grandeurs la plus abstraite, et ce qui le prouve, c'est qu'il pourrait servir à définir toutes les autres: l'étendue deviendrait alors le nombre des coexistants; la durée, le nombre des successifs; le mouvement, le nombre de ce qui peut être franchi sous la double condition de retendue et de la durée '.

Fixons les résultats acquis. La quantité mathématique, quelle qu'elle soit, est à la fois indéterminée et continuCy parce qu'elle est abstraite '. Reste à savoir si la continuité et 1 indétermination, qui lui appartiennent en propre, sont absolues.

On remarquera qu'une grandeur donnée en intuition, telle ligne, telle surface, tel volume, par exemple, ];^ien qu'indéterminée en soi, est néanmoins contenue entre deux ou plusieurs termes qui sont ses limites. L'indétermination complète serait, est-il besoin de le faire observer, le néant pur; n'offrant à l'intelligence aucune prise, elle échapperait à tout calcul. Aussi de la grandeur en général les sciences abstraites n'ont- elles rien à dire : seule, la grandeur particulière, la

1. Voir les définitions analogues proposées par Aristote (Phys., liv. Ill et IV). Le temps, d'après lui, est une forme du nombre ; il faut donc qu'il dépende de l'âme, car l'&me seule peut compter. 'ASuvàtou ovto; elvai toO àpiO(ATÎ(TovTOÇy àSuvatov xol àptÔfiyjTov xt eîvai. (Phys.^ liv. IV, 14.)

2. Ce que nous venons de dire de l'étendue géométrique peut, san» difficulté aucune, être appliqué à la durée et au mouvement considérés comme quantités idéales. D'une station à une autre^ le mouvement idéal est continu, parce que le nombre des mouvements élémentaires qui le composent nous échappe, et que d'ailleurs l'étendue phénoménale dans laquelle il se produit est continue elle-même; — ainsi de la durée, série linéaire dont le progrès est indéterminé, et qui se déroule, continue, entre deux instants.

U est clair également que tout ce que nous affirmerons de l'étendue pourra être affirmé, mutatis mutandis^ des deux grandeurs en questiou . Ainsi, dans l'une et dans l'autre, l'indéterminé du contenu s'oppose à la .Umite fixe; dans l'une et dans l'autre, Tinfini peut qualifier soit le contenu indéterminé lui-même, soit la limite d'un progrès ou d'une décroissance fournie par ce contenu.

grandeur telle ou telle, nous intéresse et sollicite nos analyses; or la grandeur n'est telle ou telle que si son indéterraination essentielle cesse à la limite qui la fixe ; elle n'est telle ou telle que si elle offre à Timagination du géomètre un tracé exact et des contours définis.

Mais avons-nous le droit de déterminer une quantité indéterminable par essence? On répondra qu'entre les bornes qui la circonscrivent la grandeur mathématique demeure intacte. Il faut ici soigneusement distinguer le contenu du contenant La quantité proprement dite, c'est le contenu. Comment confondre l'essence d'une chose avec le terme où cette chose expire et s'évanouit? Si la borne semble parfois faire partie de la quantité, ce n'est que pour l'entendement soumis à la nécessité d'évoquer les contraires, l'indéterminé appelant le déterminé comme le haut appelle le bas, le grand le petit. Mais la raison n'est pas dupe, et à ses yeux, dès qu'apparaît la limite extérieure, la grandeur n'est plus; la grandeur ne saurait comprendre les lignes ou les surfaces, qui arrêtent son essor et contiennent son développement.

Déterminée, au point où finit son progrès, par la limite^ la quantité mathématique Test encore à son origine par Vêlement générateur. Qu'est-ce que lélément générateur? comment le concevoir et par quel procédé l'atteindre? C'est ce qu'il faut maintenant examiner.

A la rigueur, on pourrait choisir comme élément d'une quantité donnée l'une quelconque de ses subdivisions, mais cet élément serait arbitraire et sans valeur théorique. Prenons un exemple : il s'agit, je suppose, d'une longueur de deux mètres; je la décompose par la pensée en vingt parties égales que je suis libre de considérer comme autant de facteurs du progrès destiné à engendrer la grandeur totale. Mais pourquoi m'arrêter au décimètre? Le décimètre n'est pas, au sens rigoureux du terme, un élément de grandeur ; composé luimôme, il n'est composant que par rapport à ses multiples; il me faut donc chercher une nouvelle unité de mesure, un sousmultiple du décimètre, le centimètre, par exemple ; alors, on

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le comprend, la même difficulté va se présenter; je ne puis m'arrêter dans cette voie régressive, et cependant je dois m'arrèter.

Pourquoi? Pour une raison décisive. Si je ne m^arréte pas, la quantité retenue d'une part, grâce aux bornes qui la cir* conscrivent, va m'échapper de Tautre et glisser, si j'ose dire, entre mes mains, sans que je puisse empêcher sa fuite dans le sens de l'indéfinie petitesse. Que faire? Je ne puis demeurer au sein de cette quantité mobile, sous peine de m'épuiser en efforts stériles et de me voir toujours distancé; il faut que j'en sorte; il faut que, par un vigoureux élan de ma pensée et comme d'un bond, je la dépasse. Mais comment la dépasser? N'ai-je pas pour cela à franchir un intervalle infini? Indéterminé, veut-on dire, parce qu'en lui-même et dans ses parties élémentaires un tel intervalle m'est inconnu. Certes ma science de la quantité en soi est bien courte; je ne saurai jamais quel est le nombre des parties intégrantes qui entrent dans la composition d'un tout donné, mais il est une chose que je sais et que je sais bien, une chose aussi certaine pour moi que le principe de contradiction sur lequel elle est fondée : c'est que l'élément doit être d'une nature différente de celle du tout, sous peine d'être lui-même un autre tout, à son tour décomposable; cette certitude me suffit; je vais droit au but, et, laissant là l'indéterminé de la grandeur, je me fixe d'abord au point où, de division en division, sans que je sache au juste quand ni comment, la grandeur doit se terminer ^

1. On objectera que la grandeur ne rencontre et ne doit rencontrer nulle part le terme ultime dont nous parlons. Subjectivement, rien n'est plus certain, et nous croyons nous-mème qu'il est impossible, à qui demeure au sein de la quantité, d'en rencontrer jamais le terme. Dans l'abstrait , nous ne trouvons jamais aucune raison de suspendre nos multiplications ou nos divisions, et il nous semble loisible de les recommencer sans fin. Objectivement^ c'est tout autre chose. H est de toute nécessité qu'une grandeur, dès qu'elle n'est pas rigoureusement infini(\ se termine quelque part. — Ou il existe autant d'infinis actuels qu'il y a de grandeurs intelligibles ; — ou il faut que pour chacune de ces grandeurs la limite, à un moment donné, soit atteinte.

L'originalité de la théorie qu'on propose est tout entière dans la distinction du subjectif et de l'objectif. Faute de l'avoir suffisamment com-

On ne peut guère douter que ces considérations ou des considérations analogues n'aient dirigé, qu'ils s'en soient rendu ou non un compte exact, les plus anciens géomètres dans la construction de leur science ; leurs conceptions fondamentales, ces définitions si simples et si précises, destinées, comme autant d'assises solides, à porter l'édifice idéal de leur science, les présupposent visiblement et les impliquent. C est ainsi qu'ils ont fait du point l'élément générateur de la ligne, de la ligne l'élément générateur de la surface, de la surface l'élément générateur du volume. Tous ont compris qu'il est aussi impossible d'atteindre de tels éléments par voie régressive que nécessaire de les poser, soit au terme de l'analyse, soit à l'origine de la synthèse; quelques-uns sans doute ont dû pressentir qu'il fallait, pour les poser, franchir la distance qui sépare le relatif de Tabsolu *.

prise, on risque de se heurter à des définitions inintelligibles ou & despropositions autinomiques.

Dans le cas présent, par exemple, il s'agit de définir la limite d'une quantité qui croit ou décroit, et Ton dit que cette limite est le terme dont la quantité en question s'approche toujours sans l'atteindre jamais. Cette définition enveloppe une contradiction visible si l'on ne tient pas compte de la différence des deux points de vue. En effet, — ou la quantité s'approche de sa limite, et l'on peut être certain qu'elle l'atteindra, la distance qui l'en sépare ayant diminué et par suite ne pouvant en aucune façon être considérée comme infinie ; — ou au contraire la limite est toujours à l'infini, et dès lors l'approximation qu'on imagine est impossible, l'infini se trouvant toujours interposé entre les deux termes.

Et il ne servirait de rien d'alléguer qu'il y a des infinis plus grands les uns que les autres, car, ainsi qu'on le verra plus tard, de tels infinis ne sont pas des infinis rigoureux. Ici, infini a son sens vrai : il veut dire illimité, et ce qui est illimité ne saurait l'être plus ou moins.

Comment lever cette contradiction apparente? En invoquant la distinction proposée : le géomètre obéit à une nécessité subjective quand il affirme que la grandeur n'atteint jamais sa limite; et d'autre part il tient compte des lois de la chose en soi, quand il soutient qu'elle s'en rapproche. Nous ne savons pas, de notre point de vue extérieur et relatif, quand la limite est atteinte, et voilà pourquoi nous disons qu'elle ne l'est pas ; nous savons cependant que dans l'absolu elle doit l'être, et voilà pourquoi nous parlons d'approximation continue. Le mouvement sans fin de la quantité variable n'est que dans l'esprit ; la limite est dans les choses. (Voir les chapitres précédents sur la quantité en soi, nécessairement déterminée quant au nombre de ses éléments.)

1. L'opposition de l'absolu au relatif n'est autre ici que l'opposition de la quantité en soi à la quantité phénoménale.

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On voit, par ce qui précède, que la limite extérieure d'une part, et de l'autre Vunité génératrice^ offrent des caractères analogues, sinon identiques. Toutes deux ont pour but de fixer la quantité soit à son origine, soit à son terme; toutes deux lui sont opposées, comme le fini à l'indéfini, la forme précise à la matière vague et sans essence. Si l'on pouvait douter de l'étroite parenté de ces notions empruntées à la chose en soi dont elles sont le décalque, il suffirait de remarquer que ce sont les éléments mêmes de la grandeur que l'entendement projette à ses extrémités comme limites : le point, origine de la ligne, en est également la borne; la surface, qu'elle croisse ou décroisse, est toujours terminée par la ligne; le volume enfin trouve dans la surface, en même temps que la limite nécessaire de ses réductions, l'origine première de ses progrès.

L'idée que nous devons nous faire de la quantité mathématique, et spécialement de celle que le géomètre analyse ^, apparaît maintenant de plus en plus nette : c*est une quantité en elle-même incertaine^ flottante entre des limites et en* gendrée par des éléments qui lui communiquent peu à peu^ grâce à Vindustrie du savant^ une sorte de détermina* tion relative. La grandeur mathématique peut en effet être mesurée, mais c'est en fonction des termes absolus dont nous venons de parler : l'aire du triangle est égale au produit de sa demi-base par sa hauteur, ou réciproquement; le cercle équivaut à la circonférence multipliée par le demi-rayon, et ainsi de suite, qu'il s'agisse de la géométrie plane ou de la géométrie dans l'espace.

Comme la synthèse n'est que l'analyse renversée, nous avons, dans lés considérations qui précèdent, assimilé le terme de la grandeur décroissante à l'élément de la grandeur progressive. Cette identité sera peut-être contestée par ceux d'entre les mathématiciens qui éprouvent à l'égard de tout ce qui est théorie pure un sentiment d'invincible défiance. Le point, diront-ils par exemple, peut bien être considéré, en

1, Voir la note page 125.

un sens, comme le terme idéal des réductions de la ligne, mais il n'en est pas le principe générateur, parce qu'à loi seul il ne saurait la créer en se répétant. U nous est impossible d'admettre une telle restriction. Pourquoi la ligne serait-elle autre chose qu'une syntlièse de points indéterminés pour nous quant à leur nombre ? — Parce que la ligne a une longueur et que les points n'en ont pas? — Mais il serait absurde au contraire que les éléments de la longueur lussent longs, car alors 'on 'pourrait les diviser dans le sens de leur longueur, et ce ne seraient plus des éléments. — Prétend-on que les éléments, à proprement parler, font défaut? — La grandeur alors fera défaut elle-même et ne sera pas engendrée, à moins qu'on n'invoque, au début de la science la plus exacte, le miracle d'une création ex nihilo. — Veut-on dire qu'il suHirait pour lui donner naissance du progrès continu d'infiniment petits toujours croissants? — Oui, si le progrès dont on parie était rigoureusement infini, ce qui implique. Vous ne pouvez, dans une telle hypothèse, ni trouver la limite par voie régressive, ni poser, au sens progres^f, l'élément générateur. L'existence de votre quantité, fût-ce la plus simple, fClt-ce la ligne, reste un problème aussi malaisé à résoudre que n'importe quel problème de métaphyskpie. C'est un fait inexpliqué et inexplicable.

Lorsqu'on propose de donner comme origine à la ligne des éléments sans longueur, l'imagination seule proteste. Pour la raison, au contraire, seule apte à en décider, tout autre nnnle de génération est impossible. On ne saurait créer la ligne avec la ligne si petite qu'on la conçoive; ce serait supposer qu'elle existe; on ne saurait non plus la tirer de rien; reste que la ligne ait pour origine véritable le concept intermédiaire du point. Si dans la nature, ainsi que l'a cru Leibniz, deux unités métaphysiques ou deux monades juxtaposées pouvant déjà engendrer un minimum de longueur, pourquoi pareille possibilité ne serait-elle pas introduite dans la science, aons cette réserve et avec l'expresse restriction que le nombre d'éléments ainsi juxtaposés nous échappe ?

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On Teut, quand même, exclure le point de la ligne. De quel droit, alors, prendre un point sur une ligne donnée, soit pour la diviser en parties distinctes, soit pour y faire passer une ligne différente de la première? Gomment la ligne fournit-elle à Topérateur ce que, par hypothèse, elle ne possède pas ? Et si le géomètre prétend créer lui-même, sans qu'il préexiste, le point qu'il conçoit, à l'endroit où il le conçoit, nous detnandons quel est cet endroit où il crée le point et de quel nom il le désigne ^

Pour échapper à ces difficultés, on propose parfois une définition de la ligne qui n'a qu'un inconvénient, celui d'enfermer une formelle pétition de principe. La ligne, dit-on, est la trace d'un point qui se meut. Mais ce point, lorsqu'il se meut, occupe nécessairement des points successiEs qui doivent préexister idéalement dans l'espace, et, s'il marque sa trace, ce ne peut être que dans une direction qu'on a dû préalablement déterminer ; ce qui implique l'antériorité logique de la ligne sur le mouvement, et par suite Timpossibilité de faire appel au mouvement qui n'existe pas encore, pour créer la ligne.

Mettons-nous cependant dans l'hypothèse de nos adversaires. Si le point se meut pour tracer la ligne, il ne peut se mouvoir que dans un espace égal à lui-même, et par suite il ne peut que se répéter, ce qui nous ramène de gré ou de force à la seule supposition logique qu'on puisse faire sur la genèse de la longueur.

On peut dire enfin et en se gardant de toute apparence de cercle : la ligne n'est que la synthèse de deux points et de leur intervalle ^. Cette définition a un grand avantage :

1. On évite d'ordinaire de se prononcer sur le problème si délicat qui nous occupe, en définissant le point par Tintersection de deux lignes, la ligne par Tintersection de deux surfaces, et ainsi de suite... Mais de semblables définitions, si dégagées en apparence de toute vue métaphysique, viennent précisément confirmer la théorie qu*on propose. Il faut bien, en effet, que le point soit Télément commun de toute ligne, puisque deux lignes quelconques se rencontrent toujours et nécessairement en un point. On raisonnerait ainsi sur les lignes et sur les surfaces.