Renouvier, Log., liv. I, ch. xxx

elle fait ressortir le contraste de la grandeur indéterminée et de sa limite; mais est-ce bien là aller au fond des choses, et le problème est-il résolu? Examinons. L'intervalle qu'on ne suppose pas actuellement divisé est néanmoins toujours divisible; il faut donc qu'il se résolve en intervalles nouveaux qui tous doivent avoir une double borne. Dès lors, ou la ligne n'a ni origine ni terme, ce qui en fait un infini rigoureux, ou les points qu'on voulait bannir reparaissent, clair -semés d'abord, puis de plus en plus denses, jusqu'au moment inconnu de nous où, la limite des subdivisions étant atteinte, les derniers intervalles s'émiettent en indivisibles qui occupent enfin et nécessairement toute la place.

On peut donc, sans blesser aucune exigence ni violer aucun principe de l'entendement, introduire le nombre dans la quantité géométrique, à condition de le supposer toujours indéterminé, sinon en soi, du moins pour nous, ignorants de toute formation intermédiaire et de tout progrès naturel.

Ce serait évidemment se soustraire à cette loi que de supposer, en mathématique, que deux points tangents ou un nombre déterminé de ces points donne jamais naissance à une longueur. Qu'il en soit ainsi dans le réel, c'est ce que nous avons voulu établir; mais, dans l'abstrait, une telle hypothèse devient absolument inintelligible. Si la division d'une quantité indéterminée quant au nombre de ses éléments, donne toujours naissance à des quotients indéterminés eux-mêmes, si par conséquent dans l'analyse d'une ligne nous n'avons jamais aucune chance de rencontrer ua nombre qui désigne un groupe déterminé d'éléments intégrants, comment veut-on que ce nombre existe dans la synthèse? La ligne AB renferme un nombre x de points; la

moitié de cette ligne en renfermera n-, le quart j, le huitième

1^, et ainsi de suite. Jamais nous ne verrons apparaître des chiffres comme 5, 4, 3, 2, représentant un nombre exact d unités absolues, et Ton supposerait que ces mêmes chiffres sont donnés comme les facteurs primitif de la même quantité

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mathématique considérée au sens progressif! Regarder une telle hypothèse comme légitime, ne serait-ce pas introduire la contradiction dans les données de la science, détruire le parallélisme nécessaire d'opérations qui doivent se répondre comme l'analyse et la synthèse, confondre enfin, sans ombre de prétexte, le relatif avec Tabsolu, la géométrie avec la métaphysique 1

Demander au géomètre ce qui doit résulter logiquement de la juxtaposition de deux points, c'est le mettre dans la nécessité de répondre que Ihypolhèse étant, à son point du vue, illogique, aucune conséquence n*est possible ni concevable. C'est une réponse analogue que Ton fait parfois, lorsqu'on affirme que deux points tangents coïncident. En géométrie, en effet, comme dans toute science abstraite, on ne saurait concevoir que Tunité élémentaire déterminée en elle-même, ou le pur indéterminé de la grandeur; nul milieu n'est possible. Vous proposez au géomètre un problème qui implique l'existence d'un nombre déterminé d'éléments, deux par exemple ; vous n'en avez pas le droit, et votre interlocuteur a le droit, au contraire, de vous ramener à la donnée fondamentale de la science mathématique, qxii exige qu'aucun nombre ^ ne puisse être déterminé au sein de la grandeur idéale, sauf l'unité génératrice qui en est en même temps le terme absolu.

Pour que deux points soient conçus comme distincts en mathématiques, il faut donc qu'ils soient séparés par un intervalle; c'est que Tintervalle est indéterminé. Cela revient à dire : entre deux points distincts^ vous ne pouvez faire qu'une hypothèse conforme à la science, celle d'un nombre indéterminé de points semblables.

Quelque répugnance que manifestent certains géomètres pour la théorie qu'on propose, elle peut se recommander de noms illustres. La méthode d'exhaustion découverte et exposée par Archimède, ouvrait la voie à une méthode parallèle de

1. n ne s'agit ici que du nombre absolu, car dans la grandeur idéale tout nombre relatif est concevable. Cette distinction est trop aisée à faire pour qn*on insiste.

reconstitution ou de synthèse adoptée par Galilée et Cavalieri * dans les temps modernes. Ces savants firent du terme de la quantité décroissante le véritable élément de la grandeur. Il leur parut sans doute que, pour passer d^une notion à Tautre, il devait suffire de changer le sens de 1 opération, ici régressive, là progressive. La môme pensée semble se faire jour dans les remarquables écrits de Roberval *. Pascal lui-même est bien près de s'y rallier lorsqu'il s'agit des problèmes relatifs à 1 infini '; mais une telle conception vaut

1. Les recherches de Galilée avaient précédé celles de Gavalieri. Les persécutions dont il fut victime, dit Libri {Histoire des math, en ttaiie^ t IV, p. 288), Tempêchërent seules d'achever Touvrage qu'il préparait depuis longtemps sur les indivisibles.

Gavalieri a exposé sa méthode dans Vouvrage qui a pour titre : Geometria indUvisibilibus continuorum nova quadam ratione promota. Nous insisterons plus loin sur la conception fondamentale de Gavalieri, et sur rinfinité des lignes et des plans qu'il imagine pour mesurer les surfaces et les volumes.

2. Roberval a composé un traité des Indivisibles, En voici un passage important :

« Pour tirer des conclusions, dit-il, par le moyen des indivisîMes, il faut supposer que toute ligne, soit droite, soit courbe, se peut diviser en une infinité de parties ou de petites lignes, toutes éjrales entre elles, ou qui suivent entre elles telle progression que Ton voudra, comme de carré à carré, de cube à cube, de carré-carré à carré-carré ou selon quelque autre puissance. Or, d'autant que toute ligne se termine par des points, au lieu de dire que toutes les petites lij^nes sont à telle chose en certaine raison, on dira que tous ces points sont à telle chose, en ladite raison. Par tout ce discours on peut comprendre que la multitude infinie de points se prend pour une infinité de petites lignes et compose la ligne entière ; l'infinité de petites lignes représente l'infinité de superficies qui composeut la superficie totale ; l'infinité de superficies représente Tii^ nité de petits solides qui composent ensemble le solide total. » Traiié des indivisibles. (Cité par Hoôfer, Hist, des math., p. 441.)

3. Pascal écrit à Garcavi : « Je ne ferai nulle difficulté d'user de ce C langage des indivisibles : la somme des lignes, on la

somme des plans, et aini>i, quand je considérerai par Z exemple le demi-diamètre d'un cercle CF^ divisé en jg un nombre indéfini de parties égales au point Z, d'où sont menées les ordonnées ZJIf, je ne ferai nulle difficulté de me servir de cette expression : la somme des ordonnées, qui semble ne pas être géométrique à ceux qui n'entendent pas la doctrine des indivisibles, et qui s'imaginent que c'est pécher contre la géométrie que d'exprimer un plan par un nombre indéfini de ligues, ce qui ne vient que de leur manque d'intelligence... » (Œuvres complètes de Pascal^ i. II, p. 544. Paris, 1860.)

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moins, à vrai dire, par les suffrages qu'elle a obtenus que par les raisons qu'elle fait valoir et les conséquences qu'elle engendre : aucune, à notre sens, n'est logiquement plus vraisemblable et plus féconde en résultats.

Pour ne nous attacher qu'aux plus importants, la question de l'incommensurabilité mathématique s'éclaire, à ce qu'il semble, d'un nouveau jour, si Ton admet que toute quantité dérive de quelque unité génératrice destinée, en deçà de certaines limites, à la constituer en se répétant Rien assurément n'est moins intelligible que llncommensurabUité dans la nature. Ce qui est réel est défini, et, la somme des unités intégrantes se trouvant à l'avance déterminée pour chaqne grandeur, tout rapport doit être, au regard de la pensée créiftrice, exprimable en nombres certains; mais en mathématiques c'est toute autre chose. Si dans chaque cas spécial nous connaissons l'unité génératrice, la loi de génération, au •contraire, nous échappe toujours, et ce qui nous échappe, c'est l'essentiel. Réduits par les limites mêmes de notre entendement à ignorer le nombre exact des éléments qui font partie d'un tout naturel, il nous faut, dans le calcul, recourir à un système d'approximations qui, en dehors de certaines circonstances propres à amener une solution toute relative, resteront indéfinies, rien ne venant jamais nous apprendre à quel moment il convient de nous arrêter dans la décomposition idéale de la grandeur pour rencontrer l'unité absolue et indivisible qui l'a intégrée.

Attachons-nous, pour plus de clarté, à un schème précis. Soit à mesurer la grandeur A, et soit a l'unité adoptée, a n'étant assujettie qu*à la condition d*être de même nature que la grandeur A. Divisons a en n parties égales, et portons une •de ces parties autant de fois que possible sur A ; elle y est contenue, par exemple, p fois, mais n'y est pas contenue p -f- i fois. La mesure de A est donc comprise entre les deux

nombres -^ et ^"*" ' n n

Si l'on divise a en un plus grand nombre de parties égales.

n' par exemple, on trouvera que la mesure de A est comprise

entre -^ et ^ ,- , et ainsi de suite.

Alors, dans ce progrès, de deux chose l'une : — ou le calcul se disposera de telle sorte que nous rencontrerons une commune mesure, laquelle sera toute relative, parce que, étant de la nature du tout, elle n'aura rien de strictement élémentaire; — ou il nous faudra continuer à Tinfini, le moment de l'élément absolu ne pouvant être déteriniué.

Il existe néanmoins, et pour s'en convaincre il suffit de remarquer que a ne saurait être divisé en un nombre rigoureusement infini de parties égales. La limite de n sera donc, dans la chose en soi, un nombre N, représentant le nombre exact des éléments qui entrent dans a. La grandeur A contiendra, en conséquence, P ou P -|- 1 de ces éléments et sera

mesurée par les nombres^- ou — ^^— .

Ainsi il y a incertitude sur le nombre qui mesure la gran-

deur A, et la différence des deux mesures possibles est |j valeur d'un élément absolu.

D'autre part, P et N étant des nombres absolus, nous n'aurons jamais chance de les rencontrer dans la série parallèle mais toute subjective et absolument illimitée de nos opérations mentales.

Il résulte de là que l'incommensurabilité n'est qu'apparente et relative; inconcevable dans les choses, elle résuite de la définition même de la grandeur idéale ou mathématique.

Nous sommes maintenant en mesure de déterminer avec quelque précision 1 idée de Tinfini mathématique. L'infini a deux sens distincts selon qu'il qualifie Tun ou l'autre des deux éléments essentiels de la quantité idéale, le contenu indéteV' miné ou la limite.

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