SENS

I«*liiflnl «nlijeotlf ou dynamique*

§ I. L'infini qui qualifie le contenu de la grandeur mérite le nom d infini subjectif, car il représente une indétermination qui est incompatible avec la chose en soi et n'existe que pour notre entendement borné. On se rappelle le sens attaché parla philosophie ancienne au terme dficecpv; la géométrie, en se l'appropriant, lui a conservé sa valeur étymologique et traditionnelle ; il semble parfaitement choisi pour désigner ce milieu arbitraire et incertain flottant entre deux ou plusieurs limites.

Prenons quelques exemples :

Si le géomètre fait de la ligne une synthèse de points, il dira, ce semble, à bon droit, qu'elle en enferme un nombre infini; traduisez : un nombre tel qu'à notre point de vue sub* jectif il ne saurait être déterminé.

Il dirait dans le même sens que par un point pris arbitrairement sur une surface on peut faire passer une infinité de lignes ; le nombre de ces lignes, en effet, est incalculable.

Autre exemple. Soit le triangle isocèle ACB. On démontre en géométrie que d'un point quel- ^

conque de la base AB il est possible de mener une droite au sommet C.

Dans l'absolu, une telle proposition est manifestement fausse, car la ligne ef, moins longue que la ligne AB, doit contenir moins d'éléments. On conçoit même une ligne E9 créée à l'origine delangle ACB par un nom- ^ bre minime de points et que par suite traverserait un nombre minimum de lignes droites issues de AB. Le sens, si grossier qu'il soit, suffirait à le faire entendre : des fils d'une ténuité à peine visible, et aussi semblables qu'on pourrait l'imaginer à la ligne sans largeur, se briseraient sensiblement à mesure qu'ils s'éloigneraient de la base du triangle pour se rap-

procher de son sommet; mais le point de vue mathématique est tout autre. Quelque courte que soit la ligne rudimentaire e<p, elle est pour le géomètre, aussi bien que la ligne ÂB, aussi bien qu'une ligne quelconque prise pour base à 100, 1000, 10000 mètres du sommet, composée d'un nombre infini de points, — traduisez toujours d'un nombre d'éléments indéterminable, — si bien que toutes les droites menées de ABau sommet, trouveront toujours jusqu'au point limiteC, exclusivement, un nombre indéterminé de points à franchir i.

1. La méthode des indivisibles, sans sortir du point de vue où doit se placer la science, tenait néanmoins quelque compte de la donnée objective. Voici comment, d'ordinaire, on procédait dans cette méthode pour démontrer un théorème. Il s'agissait, je suppose, de prouver que deiix pyramides de même base et de même hauteur sont aussi de mêmes volumes. On commençait par les regarder Tune et l'autre comme composées d'une infinité de surfaces planes ; puis on affirmait que ces surfaces planes étaient de même forme et en nombre égal de part et d'autre ; la conclu4on nécessaire était que les volumes des pyramides, qui sont les sommes respectives de ces éléments, sont égaux entre eux.

Une telle démonstration étant exacte et justifiée par Texpérience, il faut qu*aucun des principes ou des postulats sur lesquels elle repose ne soit faux ; il est donc parfaitement vrai, ce qui, pour notre thèse, n'est pas d'un médiorre intérêt :

1° Que le nombre des surfaces planes est de part et d'autre infini, c'est-à-dire indéterminé pour nous ;

29 Que deux hauteurs égales doivent être traversées par un nombre égal de surfaces, car, quelque indéterminé que soit pour nous le nombre des points qui donnent naissance à ces hauteurs^ il doit être en soi te même pour des hauteurs qui sont les mêmes ;

3<> Que les points qui engendrent ces deux hauteurs, se succédant ici et là en deux files parallèles et symétriques, se répondent chacun à cha* cun et ne peuvent, également éloignés qu'ils sont de bases égales, donner naissance qu'à des surfaces planes de même forme.

Outre qu'il met en son vrai jour le sens usuel du terme infini, ce théorème confirme la théorie que nous avons proposée. En effet, si deox lignes indéterminées quant au nombre de leurs éléments doivent néanmoins en posséder le même nombre lorsqu'elles sont de même longueur, c'est, à n'en pas douter, parce que « l'indéterminé pour nous » est le « déterminé en soi ». Dans l'hypothèse contraire, il est clair que l'affirmation du même nombre n'aurait pas de sens, et la preuve que Ton veut faire deviendrait par suite impossible.

Un théorème analogue et non moins curieux est celui qui a pour objet l'évaluation de l'aire du triangle. Nous ne le citons ici que pour donner une idée du procédé à l'aide duquel on évaluait une aire ou Ton mesurait un volume dans la géométrie des indivisibles. Il servira d^ailleurs à donner une idée plus précise encore du sens qu'on doit attacher, dans le premier cas dont nous parlons, au terme infini.

Soit donné un triangle. Abaissons de son sommet sur la base une

l'infini subjectif 139

On dit de môme que, étant donné un cercle, on peut mener •de la circonférence au centre une infinité de rayons. Au point de vue de Fabsolu, nous nous inscrivons encore en faux contre cette proposition, car, si ion dessine intérieurement au cercle proposé des circonférences de rayon toujours moindre, on comprendra qu*une circonférence très voisine du centre ne puisse contenir le même nombre d*éléments que la circonférence enveloppante ; mais le mathématicien néglige, de parti pris, cette donnée objective, dont il n'a que faire. Toute circonférence, grande ou petite, enveloppante ou enveloppée,

perpendiculaire. Partageons cette perpendiculaire en une infinité de parties égaies, et menons par chacun des points de division une droite parailèie à la base et qui soit terminée par les deux autres côtés do triangle.

Suivant les principes de la géométrie des indivisibles, nous pouvons considérer Taire du triangle comme la somme de toutes les parallèles qui en sont regardées comme les éléments; or, par la propriété du triangle, ces droites sont proportionnelles à leur distance du sommet. Donc, la hauteur étant supposée divisée eu parties égales, ces parallèles croissent en progression arithmétique ou par différence dont le premi*T terme est zéro.

Mais dans toute progression par différence dont le premier terme est zéro, la somme de tous les termes est égale au dernier multiplié par la moitié du nombre de ses termes ; or ici la somme des termes est représentée par Taire du triange, le dernier terme par la base, et le nombre des termes par la hauteur ; donc Taire de tout triangle est égale au produit de sa base par la moitié de sa hauteur.

Ce théorème, emprunté au remarquable ouvrage de Camot qui a pour titre Réflexions sur la mélaphysique du calcul infinilésimal^ e^t le type de tous les théorèmes analogues relatifs à la pyramide, au cône, an cylindre, etc., etc. Les considérants qu*il fait valoir ont donc une portée générale, et, puisque la démonstration réussit, on doit regarder comme certain :

1* Que le nombre infini des parties égales qu'on prend sur la perpendiculaire n'est infini, autrement dit indéterminé, que pour notre ignorance, puisqu'on affirme qu'il peut être sommé et que, sans nuire à la preuve, on ramène Taire du triangle à la somme des parallèles dont ces parties forment l'arête médiane ;

2* Que les parallèles ainsi tracées sont si exactement déterminées en ellesHuémes dans l'absolu qu'on a le droit : !<> de regarder chacune d'elles comme proportionnelle à sa distance du sommet; 2* toutes ensemble comme constituant une progression par différence ;

3* Que. le zéro n'a pas toujours une valeur absolue, puisque, dans la progression arithmétique que Ton propose, il représente le sommet du triangle ; or ce sommet est un point ; il n'est donc ni ne saurait être considéré comme nul. l\ est vrai qu'il aune longueur nulle, et c'est tout ce que signifie dans le cas présent le terme zéro opposé aux autres nombres possibles.

renfermant, dans Thypothèse où il se place, un nombre indéterminé de points, en fournira toujours autant qu'il est néces* saire pour qu'on y fasse aboutir un nombre illimité de rayons.

C'est comme indéterminés qu'on peut légitimement et sans froisser la raison concevoir des infinis plus grands ou plus petits les uns que les autres. Ne prenons pour le moment que des exemples très simples. Dans la langue de mathématiques, quel que soit sur ce point l'usage reçu, n'aurait-on pas le droit de dire qu'une ligne de quatre mètres est, au point de vue de son contenu, un infini deux fois plus grand que la ligne de deux mètres, quatre fois plus grand que la ligne d'un mètre? Toute ces lignes, en effet, déterminées par leurs extrémités, restent indéterminées quant à leur contenu, et, si différentes que soient leurs dimensions, le nombre des unités intégrantes est aussi incertain dans la longueur mesurée par un mètre que dans la longueur double ou quadruple. Ces exemples, bien entendu, n'ont qu'une valeur provisoire. En traitant de la quantité infinitésimale, il nous sera aisé de donner une idée plus précise de ce qu'entend le mathématicien par le progrès de ses infinis superposés.

§ II. L'infini que nous proposons d'appeler subjectif mérite dans beaucoup de cas le nom d'infini dynamique; voici pourquoi :

Le contenu indéterminé de la grandeur n'est pas toujours conçu dans son ensemble comme un système formé de parties en repos ; il est susceptible de croître ou de décroître et se prête ainsi à une double série d'opérations, les unes soustractives, les autres additives, à l'aide desquelles on différencie ou l'on intègre. Le mouvement idéal qui en résulte ne saurait être que continu, car, ainsi qu*on l'a vu plus haut, la continuité et rindéterminatiou sont inséparables; de là des réductions et des progrès insensibles qu'on n*appelle « infiniment petits» que parce qu'ils sont toujours plus petits qu'on ne saurait l'imaginer et que leur mesure est aussi indéterminée que celle de la grandeur à laquelle ils appartiennent et qu'ils modifient.

l'infini objectif 141

Dans ce cas, Tinfini est bien encore Findéterminé, mais Vindéterminé en marche et traversant un nombre détapes indéterminé comme lui.

La série

T'^T'^4''"8''"ir6 "*■••••

serait un infini au sens dont nous parlons, un infini dynamique, non moins d*ailleurs que Tinfinitésimale de Leibniz, dont il sera question dans le chapitre suivant, et qui, au lieu de croître sans cesse, semble redescendre tous les degrés de la grandeur sans s*arréter à aucun et sans jamais rencontrer zéro.

2e SENS.

L'infini objectif on statique.

Cet infini qualifie non le mouvement lui-môme, mais le terme que l'esprit conçoit par une sorte d'anticipation nécessaire, à la limite du mouvement soit progressif soit régressif. On peut rappeler objectif y car la limite est dans les choses plutôt que dans l'esprit; statique^ car la limite est fixe et marque le point d'arrêt de la quantité variable.

§ L S'agit-il du terme d'un mouvement régressif? L'infini se confond alors avec 1 élément générateur de la quantité. Le point, pourrait-on dire dans ce cas, si l'on ne craignait de faire violence à la langue des mathématiques, est à l'infini de la ligne décroissante ; la ligne vue de la surface décroissante, la surface vue du volume décroissant seraient également et dans le même sens à l'infini.

§ II S agit-il au contraire du terme d'un progrès? Selon que ce progrès est relatif ou absolu, Tinfini représente une limite réelle ou purement imaginaire.

Le cas du progrès relatif est le plus fréquent. Il n'est guère de grandeur géométrique qui décroisse à un point de vue sans croître & un autre. La série des accroissements est dans ce

cas subordonnée à celle des diminutions; lorsque la division s'arrête, la multiplication doit s*arrôter. Tel est le progrès re* latif. Les faces triangulaires de la pyramide qui tend de pli» en plus vers la forme conique vont se rétrécissant toujours, mais elles se multiplient sans cesse ; au moment où les triangles seront parvenus au minimum possible de leur surface, Taccroissement progressif du nombre des côtés aura atteint sa limite maximum, limite réelle, bien qu'inconnue de nous, et que nous situons à Tinfini. De même, dans un polygone de plus en plus voisin du cercle, les côtés, à mesure que leur longueur diminue, deviennent plus nombreux. A quel instant précis atteindront-ils le maximum de leur nombre? Lorsqu'ils atteindront, d'autre part, le minimum de leur longueur. Dans ces exemples, le minimum peut être déterminé : il n'en est point ainsi du maximum, placé à l'infini du progrès relatif de la quantité. On se rend aisément compte de cette différence : nous ne pouvons nous représenter une quantité sans concevoir en même temps son mode de génération et le point de départ de son progrès ; mais la limite de ses accroissements doit nécessairement nous échapper, parce que nous ignorerons toujours à quel moment le minimum qui lui correspond sera atteint.

Dans le cas dont nous venons de parler, l'infini existe, bien qu'inconnu. Dans le cas du progrès absolu, l'infini n'est ni connu ni même réel. Cette proposition est si certaine que, pour la science elle-même, un tel infini n*est que le symbole de l'impossible. Deux courriers partent sur une même route de points différents, et se dirigent dans le même sens avec la même vitesse. Quand et où se rencontreront-ils? A l'infini, c'est-à-dire jamais et nulle part. Qu'on imagine en effet que la distance initiale qui les sépare soit de un kilomètre; cette distance restera évidemment toujours la même; toutefois elle semblera toujours moindre à mesure que les espaces franchis de part et d*autre seront plus considérables : en d*autres termes, bien qu'invariable en soi, elle donnera naissance, comparée à des intervalles de plus en plus longs, à des rap-

l'infini objectif 143

ports variables. Il se produira alors dans retendue un phénomène analogue à celui qui se produit dans la durée, lorsqu'une difTérence d'âge très sensible entre deux personnes encore jeunes s'efface et tend à disparaître dans leur vieillesse. Le mathématicien cherche donc à rendre cette loi de diminution sensible dans ses formules; les courriers, dit-il. tendent à se rencontrer; ils se rencontreront à l'infini; mais il n'est nullement dupe de cette locution ; il reconnaît tout le premier que, dans de telles conditions, la rencontre est impossible, et les termes qu'il emploie reviennent à ceux-ci : c Tant que les espaces franchis seront exprimables à 1 aide du nombre, la rencontre n'aura pas lieu. » Nous ajouterons : a Comme la limite de Tespace, non plus que celle de nombre, ne peut jamais être atteinte, une telle rencontre est purement et simplement chimérique. »

Certaines formules usitées en algèbre donneraient lieu à des explications analogues. L'infini de grandeur est quelquefois représenté sous la forme d*une fraction dont le numérateur serait un nombre fini n et le dénominateur zéro. Cette fraction a-t-elle un sens? et, si elle en a un, comment l'interpréter? Deux cas, comme précédemment, sont possibles : ou le dénominateur zéro est relatif, ou il est absolu. Dans le premier cas, il désigne la fin d'une dimension ^, de la longueur ou de la largeur par exemple; dans le second, il marque le terme

absolu de l'être. Supposons donc que dans la fraction ? le dénominateur soit relatif : la fraction exprimera alors le rapport d'une quantité à sa limite, et, nous le savons, ce rapport ne peut être représenté que par l'infini mathématique, le terme d'une quantité croissante ou décroissante n'ayant, au point de vue subjectif de la science, plus rien de commun avec cette quantité. Le second cas, celui où le zéro serait absolu, n'exprime, comme dans le problème des courriers, qu'une

1. Dans la fonnule à l'aide de laquelle Cavaiieri détermine .l'aire du triangle, le sommet est représenté par zéro qui n'a alors visiblement qu^une valeur relative.

impossibilité radicale ; on veut dire alors vraisemblablement que la distance qui sépare la quantité du néant pur, n du zéro absolu, est telle qu aucune multiplication de ce néant par lui-même ne parviendrait à la combler; elle ne serait comblée que si l'on pouvait passer à la limite des multiplications possibles (oo x = n), et Ton n'atteindrait la limite des multiplications possibles que si Ton atteignait celle du nombre, ce qui est absurde. »

Recueillons en quelques formules précises les résultats que nous a fournis cette étude sur la quantité mathématique.

1<> La quantité mathématique est de toutes la plus abstraite.

2» Le degré de son abstraction mesure le degré de son indétermination.

3° Cette indétermination toutefois n'existe qu'en deçà de certaines limites, décalque exact de la réalité en soi, souvenir de Fabsolu au sein de la quantité idéale.

4® L'incommensurabilité n'est qu'un corollaire de l'indétermination de la grandeur.

5® Comme la quantité mathématique se compose de deux éléments essentiels, le contenu indéterminé et la limite fixe, on peut distinguer en mathématiques deux sortes d*infinis. m

6° L'infini qu'on pourrait appeler dynamique désigne Tindétermination de la grandeur progressive ou régressive en deçà de la limite.

7° L'infini auquel nous donnons le nom de statique marque au contraire la limite d'une décroissance ou d'un progrès.

8° En résumé, l'infini qualifie tantôt le contenu tantôt le contenant de la quantité, tantôt sa matière, tantôt sa forme.

1. Bien qu'en arithmétique et en algèbre^ ces sciences qu*on pourrait appeler abstraites du second degré, certaines formules n'aient guère qu'une valeur de convention, il en est quelques-unes qu'on interprète

sans trop de peine : ainsi tt, qui est la formule de l'indéterminé mathématique et dont le quotient est toujours représenté parn^n représentant un nombre fini quelconque.