CHAPITRE II
l'indéfini et la quantité infinitésimale
Objet propre du calcul infinitésimal. — Différences que présentent à première vue théories et algorithmes. — Les théories seules nous intéressent. ~ On peut^ malgré leur variété apparente, les ramener à deux principales.
Définition de la méthode objective. — Elle est fondée sur Tidée de limite et tient compte dans l'analyse de la quantité, de Télément absolu.
Définition de la méthode subjective. — Elle écarte de parti pris l'élément absolu ou la limite. — Ce que c'est que Tinfinitésimale de Leibniz. — Son mode d'emploi. — Comment on procède dans la méthode subjective.
10 La méthode objective.
Ses deux points de vue. — Méthode d'exhaustion ou méthode soustractive. — Archimède.
Méthode additive. — Cavalieri. '
Conséquences logiques qui résultent du succès de Tune et l'autre méthode. — n existe entre la limite et la grandeur un rapport inconnu de nous.
A la thèse d' Archimède^ à l'antithèse de Cavalieri succède la synthèse de Newton.
La méthode des premières et dernières raisons à la fois additive et soustractive.
L'antinomie posée par le premier lemme n'est que l'antinomie des deux points de vue subjectif et objectif qu'enveloppe la définition de la quantité mathématique.
La valeur logique du premier lemme démontrée par cette définition même.
L'idée objective de limite prédominante dans la théorie des premières et dernières raisons. — Le zéro relatif de Cavalieri et de Newton. — La formule -g- ne représente l'indétermination que si le numérateur et le
dénominateur ont une valeur absolue. — Le zéro relatif n'est que le zéro de grandeur (limite ou unité génératrice).
Conclusion :
La méthode qj^jective ou méthode des limites, tenant seule compte des deux éléments de la quantité mathématique, est la seule qui soit absolument fondée en raison.
2» La méthode subjective.
Eyellin, ^^
Comment Leibniz essaye de la justifier. — Ses raisons acceptées par M. Renouvier, qui regarde l'erreur commise dans l'algorithme comme moindre que toute erreur assignable. — Pourquoi, malgré ces autorités, la théorie nous semble défectueuse. — L'erreur moindre que toute erreur assignable est toujours supérieure à une erreur nulle.
Conséquences nécessaires de la théorie de Leibniz. — Ou l'infini existe, ou l'erreur subsiste.
a. L'infini existe. — Bemouilli, Fontenelle.
