L'erreur subsiste. — Buffon, Aug. Comte

Comment expliquer que la théorie de Leibniz, bien qu'irrationnelle, donne naissance à des calculs exacts, et que l'algorithme réussisse?

Principe invoqué par Descartes pour fbnder la méthode des indéterminées. — Ce principe repris et développé par Carnot.

Toute variable en relation avec des quantités fixes passe à la limite. — L'absolu reparaît malgré Leibniz dans la quantité qu'il épuise ou qu'il intègre, et orée à lui seul la valeur de son algorithme.

Les infinis de divers ordres.

Conclusion. — La méthode subjective serait une méthode incomplète et donnerait naissance à des erreurs appréciables si l'infinitésimale n'était annulée.

Une seule théorie est rationnelle, la théorie objectivent fondée sur. la définition de la quantité mathématique, laquelle à son tour est fondée sur la définition de la quantité en soi (voir les six premiers; chi^[âtr8s).

Nous croyons avoir recueilli les éléments indispensaBlës, non à la solution (une telle témérité serait sans excuse) mais à la position rationnelle du problème infinitésimal ag|té pac les mathématiciens depuis des siècles. Chacun sait quel merveilleux instrument de précision là science possède dans Talgorithme créé par le génie de Leibniz; les procédés^ (pii le constituent sont aujourd'hui nettement définis, et personne^ depuis longtemps, n'hésite plus ni sur leur valeur pratique ni- sur leur mode d'emploi ; mais liei question de savoir à quel titre ils sont légitimes, quelle loi oa quel pidncipe de raison en justifié l'usage, parait encore loin. d*âtk*e résolue,, et,, lorsque dans ces hautes régions du calcul on cherche à s'élever jusqu'à la théorie pure, il semble qu'on abandonne les vérités solides de la science, pour les incertitudes de la métaphysique; les termes d! ordinaire si piéds de la mathématique deviennent plus vagues; les malentendus abondent, et les systèmes se multiplient; on dirait quala milieu favorable au succès de la pensée scientifique lui échappe, et que l'air respirable lui manque; des hommes td& (pie

l'indéfini et la quà-ntité infinitésimale 147

Cavalieri, Newton, Leibniz, Lagrange, proposent des expli- <;alîons différentes, parfois opposées. — Que faire ? — Aban* donner le problème sous prétexte que Talgorithme réussit et que dès lors là théorie pure importe peu? On ne saurait s*y' résigner, et d'ailleurs lé besoin dé s'élever dans toutes les directions de la pensée aux* principes supérieurs déjoue les plus fermes résolutions. — L'aborder' db confiance en vue' de le traiter pour son propre compte ? — Si une telle ambition était permise, ce serait à un esprit aussi rompu aux pra-tiques de la science que familier avec lés spéculations de la métaphysique^ le divorce qui depliis trop Ibtigtemps se-pare ces deux ordres dô travaux et maintient dans un isolb^ ment stérile dés études que lés pensenn» d'une' autit^ époques avaient su si utilement associer, rend une senfiblàblétentative' à peu près impossible. — Une voie sfetile nous est ouvertfe : nous attacher à Ib trace dès maîtres, noter les divergences^ qui les séparent , et' recueillir soigneusement les traits dé ressemblance qui les unissent. Il semble que ces analogies profondes doivent avoir leur raison d'être dans la vérité absolue dés choses. Une telle supposition paraîtra plus vrai^mblable encore, si les analogies dont nous parions résultent comme une conséquence naturelle et rigoureuse des principes posé» dans^ le précédent chapitre.

Essayons^ de déterminer exactementlà nature du problème' que nous allons aborder. Le calcul inflnitéisimar a, si' nous ne' noustirompons^, pour objet propre, là gôiiération et rôpuiseraent de là quantité continue: Il s'àgif, Ibn^u'on applique* ce calcul* à là grandeur, dé fixer en formules précisa la loi dii moovemeut idéal qui lui permet dé croître ou de décroître par volé dé progression insensible. Le mouvement ainsi cdnçtt* flotte entre des points dé repère déterminés, qui' parfois sioW absolus' ef marquent des temps d*arr6t définitif^, parf&is n'ont' quHme valeur provisoire et conditionnelle, s'ètageant, à titre d'infinis de divers ordres, à une distance indéfinie les uns* des auttes.

Pour atteindre le but, deux méthodes^ seulement^ en dépit

148 INFINI BT QUANTITÉ

de leur multiplicité apparente, ont été proposées, et à la réflexion on ne tarde pas à se convaincre que ces deux méthodes étaient et sont encore les seules possibles. — Nous avons distingué dans la quantité deux éléments ou, si Ton veut, deux facteurs indispensables, la quantité proprement dite et sa limite : la quantité, indéterminée et relative; la limite, fixe; Tune, dans son progrès ou dans sa fuite à Tinfini, inaccessible à l'entendement; l'autre, créée de toutes pièces par l'entendement lui-même, qui l'emprunte à la sphère de la chose en soi ou de l'absolu. Cette distinction peut être représentée aux yeux. Qu'on imagine une de ces terres dont l'intérieur est inexploré et qui restent en blanc sur la carte du géographe, tandis que les côtes visitées sur tous les points laissent apparaître un dessin net et précis; c'est ainsi qu'en elle-même et dans la loi de son évolution la grandeur est non seulement inconnue, mais « inconnaissable 9 , bien que ses limites , décalque exact des limites de la quantité en soi, nous soient données avec le principe de contradiction ^

Ceci posé, on conçoit que deux procédés très différents puissent être proposés avec succès en vue de résoudre le problème infinitésimal. L'un, s'attachant au concept de la quantité elle-même, cherchera dans le caractère d'indétermination qui lui est propre un élément de solution ; on pourrait le nommer subjectif, car il ne fait jamais appel aux souvenirs de la réalité proprement dite ou de l'absolu. L'autre, au contraire, comptera parmi ses moyens d'investigation la poursuite des limites propres à chaque espèce de grandeur; il conviendrait par opposition au premier de le nommer objectif, la considération des limites étant, nous l'avons vu, étroitement liée à la théorie de la chose en soi.

Etudions de plus près le mécanisme et le fonctionnement de chacune de ces méthodes. — La méthode qu'on propose d'appeler objective est fondée sur ce principe que^ de division en division, la grandeur diminuant toujours, atteint à l'infini

i. Voir les premiers chapitres, relatifs à la quantité en soi.

l'indéfini kt la quantité infinitésimale i49

Ba limite et disparait comme grandeur. Il faut donc admettre que le mouvement idéal qui l'emporte et dont la tendance est visible dès les premières opérations que l'on réalise, est réglé par le principe de continuité mathématique,] usqu'au moment, incertain pour nous, mais déterminé en soi, où il atteint enfin le but. Ce but que nous anticipons, ce terme où la quantité expire, nulle régression mentale ne pourrait l'atteindre ; mais il est indispensable que la grandeur l'atteigne, car il faut de toute nécessité qu'elle finisse. Voilà, si nous ne nous trompons, l'idée mère, la conception dirigeante de la méthode dite des limites. Cette méthode offre deux aspects, selon qu'on épuise la quantité ou qu'on l'intègre. Dans le premier cas, son nom véritable serait celui que lui ont donné, à si juste titre, les anciens, qui l'appelaient méthode d'exhaustion; dans le second, la méthode est, au contraire, additive; les principes à ce nouveau point de vue demeurent les mêmes, la marche seule est différente; la limite devient l'élément et se trouve au point de départ, le tout à reconstruire est au terme de l'opération, cette fois toute synthétique, puisque nous sommons au lieu de soustraire ; mais quHl s'agisse de décomposition ou de recomposition, au point de vue objectif on tient et on doit toujours tenir compte des deux éléments ou des deux facteurs indispensables de la quantité, savoir la quantité elle-même et sa limite. Galilée et Gavalieri n'ont fait en définitive que retourner la méthode d'Archimède; et il n'est pas douteux qu'ils en aient eu pleine conscience, puisque l'auteur de la Géométrie des Indivisibles a lui-môme reconnu qu'à proprement parler il ne créait rien.

Une formule résumera ce développement. Dans la méthode objective des limites, qu'il s'agisse d'exhaustion ou d'intégration, la grandeur doit théoriquement se concevoir comme composée d'unités absolues dont le groupement nous échappe et nous échappera toujours ^ Que les savants qui ont adopté

1. C*est à Taide du terme infini qu'on introduit cette réserve dans les formules mathématiques.

cette méthode. se soient tous rendus un compte exact de ses* exigences et aient explicitement formulé la proposition précédente, là n*est,pas la question, et au fond peu Importe. Jl suffît qu'une telle conclusion soit logiquement enfermée .dans les prémisses qu'ils acceptent, pour que nous nous croyions Je droit de i'en faire sortir et, avec les réserves voulues., de la.leur attribuer.

iLa méthode qu'on propose de désigner sous le nom de méthode sul^tîective, est connue d'ordinaire sous le nom de méthode des infiniment petits. Ce qui la caractérise essentiellement, c'est qu'elle s'interdit toute vue, quelle qu'elle soit, sur l'absolu. Elle écarte de parti pris cej5 éléments d'une jportée objective, ces unités primordiales qu'invoque constamment la méthode des indivisibles, et i^efuse de les introduire dans ses .i^alculs, même avec la correction, indispensable dans le relatif, de rinûnité ou de l'indétermination de Jeur nombre. L'idée de .limite conçue comme le .terme d'une décroissance, idée si familière à la méthode d'exhaustipn , est^ {POur Jes mêmes raisons, relouée au second plantai elle ne disparaît tout à fait. A ce point de vue nouveau, nous restons enfermés dans la quantité, sans chercher jamais.à en sortir ; or c'est une vérité maintenant acquise, que le concept de quantité, lorsqu'joua en a écarté Tidée de limite ou d'élément, est A ce fioint s^ trait et y2(gue, qu'on peut le regarder comme une pure forme de la pensée, appliquant, sans plus tenir compte d'aucune donnée extérieure, saloi.de répétition indéfinie; un procédé tel que celui que nous décrivons est donc éminemment subjectif. — Voilà le point de départ. — Mais avançons. Comment, dans une telle donnée, se représenter l'épuisement et la génération de Ja ^grandeur? C'est ici qu'apparaît tout l'art d'une méthode que le ^génie de Leibnitz a Jbndée sur la plus ingénieuse.et en même temps .sur la plus utile des conventions. On fait appel à une unité de mesure purement jQctive^ .gui, par définition, n'ayant rien d'absolu, ni par suite de strictement élémentaire, résume et condense dans sa petitesse indéterminée, les propriétés caractéristiques de la quantité d'où on

L'INDÉFIM et la quantité nOFINITÉSIMALB 154

l!a extraite, 6t iloBt elle n'est que lia fréductian infinitésimale ; cette quantité toujours imultiple en puissance, ic'eiËt-^à«dire toujours divisible, échappe à l'œil qui la tdi'erche, ellefuit.«QQsla main qui veut la saisir^ c'est .un «extrait de .granûeur et par suite .une (grandeur yéritable, fii souple toutefois et si 'ôlaslique que mon seulement elle recule d'elle-même vers juie limite relative comme elle, «avoir l!inÛDiment petit d'ovdre inférieur, imais qu'elle ipeut, dans ces essais d-épuisement (que nen n'épuise, fournir sautant d'ordres d'infiniment ipetits inférieurs qu'il lest nécessaire onqu'on le désire. On rappellerait minimum de quantité si un jotiinimum n'était pas nécessairement absolu,; c^est plutôt une draction mobile, «dont ie idomiminateur, déjà incomparablement «plus grand que celui d'une autre fraction de même numérateur qu'elle, pourrait néanmoins grandir encore et sans limites ; «ébauche • d'unité iplutèt qu'unité véritable. — Dans le vivant, il faut, pour trouver l'unité définitive, descendre jusqu'il l'élément inoi^aniqae ; mais on peut s'arrêter à moitié route, à l'unité relative et proiViisoire de la cellule, qu'il est permis de ^comparer au composé "Vivant tparce qu'elle est de même nature que lui, et qui d'ailleurs, ainsi que la quantité infinitésimale, <peut se fragmenter spontanément et se irépéter sans fia; le «avant qui adopte la méthode auloijeictive dont inous «parlons slarrête, lui aussi, à Télémeiït oi^anique de la quantité : il se irefuse à poursuiviie l'élémeilt véritable, l'élément absolutqu'il déclare aussi incompatible avec la !grandeur mathématique que l'atome de matière larute avec le tout organisé tet «vivant.

iQomme la méthode objective, la métiiode subjective pité* sente deux aspects différents, selon qu'il s'agit de tarir ou d'intégrer une quantité; la diflEôrentielle représente la différence iiBBaKiesable de ricfiniment petit -à «a limite, "et ila^6omme (tes diBërfiniielles est l'intégrale.

On se fera une idée, si inconiplôte qu'elle «oit, de l'utihïè [spéciale et du mode d'emjiloi des ^^andeuis xéduites dmft nous parlons, si l'on remarque qu^à titre de «quantités .elles penvent l^iiimement avoir accès dans une ïor-

mule algébrique quelconque; en effet, on ne saurait trouver, entre les infiniment petits et les quantités auxquelles on les compare, aucune disparité de genre, ainsi qu'il arrive nécessairement lorsqu'on met une grandeur relative en face de sa limite ou de son élément absolu ; c'est tout au plus si Ton pourrait constater une simple disparité d'espèce, très positive mais fort peu embarrassante dans la pratique entre des valeurs arbitraires et des valeurs fixes. C'est déjà un premier résultat : voici maintenant les avantages qui en découlent. Soumis aux lois générales du calcul et dociles aux manipulations que subit la quantité algébrique, les infiniment petits donnent naissance à des formules que sans eux on n'aurait pu obtenir, formules souvent inattendues, lumineuses, qui dégagent certains points de vue latents et mettent en relief certains aspects d'abord enveloppés du problème.

« Pour se rendre un compte plus exact encore des résultats qu'on doit à ce procédé, on n'a, dit M. Renouvier S qu'à se rappeler la méthode de maximis et minimis de Fermât, dans laquelle Lagrange et Laplace ont signalé le précédent le plus net et le concept propre (quoique en un cas très particulier seulement) de l'algorithme infinitésimal de Leibniz :

a Fermât faisait entrer dans Texpression algébrique d'une relation entre deux grandeurs , l'une de ces grandeurs augmentée de zéro, puis égalait cette relation ainsi modifiée à la même relation avant sa modification, opérait des réductions, retranchait à ce moment seulement les termes qui se trouvaient nuls en vertu de son hypothèse de la grandeur zéro et parvenait ainsi à l'inconnue cherchée '. Or ce zéro de Fermât