Renouvier, Critique philosophique j 6« année, n

2. Voici, d'après Hoëfer, le problème auquel il est fait allusion dans ces lignes de Renouvier. Il offre un véritable intérêt, parce qu'il peut donner, même aux esprits les moins familiers avec la méthode infinitésimale, une idée de l'algorithme de Leibniz.

« Supposons qu'il s'agisse de partager en deux une ligne, de manière que le produit de ces deux parties soit le plus grand possible. Pour mieux nous faire comprendre, donnons à cette ligne une valeur numérique, par exemple 6. Ce nombre peut se partager de telle façon qu'on ait d'un côté, une progression ascendante, et de l'autre une progression

l'indéfini bt la quantité infinitésimale 153

est simplement l'indéterminé infiniment petit ou infinitésimal que Leibnitz emploie dans le calcul sous un signe particulier, mais en le traitant comme une grandeur réelle jusqu'au moment où il supprime, pour résoudre certaines classes de problèmes» tous ceux des termes des relations qui seraient nuls, si rinfinitésimal était nul. 3>

Que font donc, après Leibniz, tous ceux qui se servent de Talgorihme infinitésimal ? Us introduisent les grandeurs fictives que nous venons de définir dans les formules qui expriment les conditions du problème posé, et, lorsqu'elles lui ont communiqué un aspect nouveau et favorable à la solution, ils les écartent de la scène où elles ont joué le rôle principal, pour ne laisser en présence les uns des autres que les données primitives, c'est-à-dire, les quantités fixes qui, seules, sont en question. Paraître un moment, pour repré-^ senter une différence infiniment petite, soit au sens du prodescendante dont les tennes additionnés reproduisent toujours la même fiomme :

« Maintenant, au lieu d'additionner ces termes, multiplions-les. Le produit le plus grand, cas de maximimi, est celui où les deux nombres (facteurs) sont égaux : 3 X 3 = 9. Le produit minimum est celui où l'un des facteurs est zéro : X 6 = 0. Pour généraliser, appelons a une ligne droite donnée, et x une partie de cette ligne, Tautre partie sera a — X, Pour que le rectangle, produit des deux parties, soit un maximum,

il faut que x soit égal k(a — x) ou que a; = ^ . Si Ton désigne par e un

accroissement infiniment petit de x^ de manière que x + e = a; + 0, on aura :

X {a — a;) = a; + e (a — a; — c), d'où e (a -- 2a?) — e« = 0,

et en dernière analyse:

a ou * ~ "2 •

454 ilNFINI BT QUANiriTÉ

gréa, Boit au aens de la décroiBBanoe, vpuis dispacaitce xdès que le problème a été jniB en Bon vrai jour, tel «est le orôle ;eBfiaatiel de oes quantités tel gue Leibniz luirméme Ta .défim.

loi, iune sérieuse diffloulté ae présente. A^-Jt-on le «droitite xetranoher d'une équation l'une quelconque des quantitéBigui en font partie, et ne risque-t-onj)as, si on Beleipermel^ d'en troubler ^équilibre et d'en détruire l'exactitude ? £n .d'autres ieunes, l'absolue rigueur .qui est le .privilège des nurthéma* {tiques ine va-t*relle .pas oéder.la place à un système d'afpoMQh mations plus ou .moins .^andes ? Cette objection veat ^mom vplus d'une fois tourmenter la ^pensée de Leibniz,; mais il laie xépondait à lui-même et répondait à ses.adversaicefi^.gueJa ^grandeur retranchée n'étant pas une grandeur fixe^Jtâixrar Jie pouvait ;âti7e déterminée; parallèle à l-infinimeiit «petit dont die imite le mouvement spontané et progressif de «dèoraûssance, cette erreur devait êtretoujours moindre tqu'janeeDrâur assignée, si petite qu'elle fût. Écoutons sur ce point délicat de sa théorie le pfhilosophe lui-même ^ :

a Les grandeurs indéterminées dont nous parlons, écrit-il à Varignon, sont des incomparables relativement aux gran* deurs finies, ou encore relativement les unes aux autres, incomparables qui, pouvant être pris aussi petits qu'on veat dans les raisonnements géométriques, font l'effet des infiniment petits rigoureux, puisqu'un adversaire voulant contre- (dire àinotre énonciatioa, il s'ensuit par notre calcul que T^qp- Teur sera moindre qu'aucune erreur qu'il pourra ass^er, tétant en notre pouvoir, de prendre cet incomparablemjont petit assez petit pour cela, puisqu'on peut toujours prendre une quantité aussi petite qu'on veut... C'est sans doute en cdatpie consiste la démonstration rigoureuse du calcul iiffinitéfiimsCl dont nous nous servons. »

Telle est, si nous l'avons saisi dans ses grandes lignes^ la méthode originale «t féconde que créa Leibniz. Que cette méthode réussisse, c'est un fait ; on sait même que l'algorithme