Lettre à Varignon, Dutens, .III

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dont «lie use est de tous celui dont le maniement est le plus facile,; mais il n'est pas douteux que laiméthode des limites réussisse également. Faut-il croire que l'une et l'autre aient une égale valeur théorique ? C'est la supposition qui parait jd!abord :1a plus vraisemblable : toutefois, lorsqu'£^près un moment de réflexion, on est arrivé à constater les divergences de vues.qui les séparent, il est difficile de se défendre d'un doute sérieux, et l'on se demande si J' une d'elles jnoins fondée en raison, ne péussirait pas, en d^pit .môme des consi- .dérants qu'elle iavoque. La réponse à cette question n'est pas, possible sans une étude plus détaillée des deux théories. Nous l'essayerons, non sans une .extvôme et trop légitime .défiance de nos forces, décidés d'ailleurs à ne nous attacher dans cette analyse qu'à ce gui relève de la Ipgique pure et est de nature A intéresser la spéculation proprement dite, c'^sl^à^dire la onétsy^ysigue.

11 est remarquable tout d'abord que la première méthode dans l'ordre des temps, celle qui s'est le plus spontanément offerte à Tesprit humain, soit là méthode des limites. On dut icomprendre et l'on comprit en effet de bonne heure la parenté qui unit certaines figures , le cercle et ie polygone par exemple ^ Il est même probable qu'à l'origine le cercle fut plus d'une fois mesuré à l^de du polygone soit inscrit soit circonscrit dont on multipliaift les côtés ^n d'enfermer dans des limites de plus en plus éHroHes rerreor qu'il fallait «e résoudre à commettre ^.

De là à l'idée d'une exhaustion totale il n'y a qu'un pas.

]i. JHovs ifaisions toutee nos tréaerves en .oe qui ccuaceme ia posaibilité intrinsèque du cercle ; nous restons ici au point de vue purement intuitif du géomètre.

^. Le procédé qui .consiste à enrouler un .fil sur la oirconférenoe d'un cerceau et à comparer la longueur de ce fil développé à la longueur du diamètre du même cerceau est un procédé analogue, le fil ne dessinant jamais une forme exactement circulaire.

Est-a possible de le franchir? Existe-t-il quelque moyen de supprimer la différence et d'épuiser l'intervalle qui sépare les deux tracés? Ce problème s'imposa aux méditations des premiers géomètres : Anaxagore, dans sa prison, cherchait, dit la tradition, à carrer le cercle; Hippocrate de Chios donna la mesure exacte du ménisque ou de la lunule ^ ; mais ce ne sont là que des essais sans valeur au point de vue de la théorie générale, qui n'était pas même pressentie encore. Il était réservé au plus grand génie mathémati(}ue de l'antiquité de se faire, des rapports de la quantité variable et du terme fixe vers lequel elle s'achemine, une idée assez précise pour que la méthode des limites fût dès lors fondée. Sans doute, la courbe fut mentalement assimilée par Archimède à une ligne brisée d'un nombre infini de côtés ^ mais le moyen de faire accepter cette hypothèse, qui semblait impliquer contradiction-? Il parut plus sûr à l'illustre géomètre de faire de la circonférence la limite commune de deux périmètres, l'un enveloppant, l'autre enveloppé, et épuisant tous deux, en sens opposé, l'espace intermédiaire; la quantité prenait ainsi une sorte de mobilité spontanée, et l'intervalle, diminuant toujours, finissait par disparaître, lorsque de part et d'autre le terme du progrès était atteint.

Telle est l'idée maîtresse d' Archimède. Voyons sur quels principes elle se fonde et quelles conséquences en découlent.

Le point de départ de la théorie est fourni par l'opération elle-même; à mesure que l'on fait croître la grandeur, dans le cas présent, par exemple, à mesure qu'on multiplie les côtés des deux périmètres, l'exhaustion semble de plus en plus voisine.

La loi de continuité, survenant ensuite, permet à l'opération ainsi ébauchée de se renouveler en quelque sorte d'elle-même et de se répéter sans fin.

L'entendement affirme toutefois l'existence d'un point d'ar-

4 . La lunule est l'espace compris entre deux arcs de cercle inégaux.

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rivée, c'estrà-dire d'une limite fixe, au progrès que la loi de continuité engendre.

Mais là est précisément la difficulté. Le progrès, s'il est continu, est indéfini, et, s'il est indéfini, il n'a pas de limite. Cette apparente antinomie dut firapper vivement Tesprit d'Ar-^ chimède, et l'on sait jusqu'à quel point elle exerça depuis le génie des Newton, des Leibniz, de tous les penseurs enfin qui ont regardé en face et abordé de front le problème. Si la limite est à l'infini, elle n'existe pas, et, si elle n'est pas à l'infini, où est-elle, et à quel moment la concevoir? Pourquoi s'arrêter ici plutôt que là dans la division de cette quantité uniforme qu'on appelle la quantité mathématique? Comment introduire des points de repère fixe au sein d'une grandeur en elle-mâme indéterminée? Cependant l'idée de limite n'est pas un rêve; elle existe ; nous la possédons. Qu'est-elle donc et pour quelle raison l'entendement est-il si invinciblement conduit à affirmer la fin de toute décroissance comme de tout progrès? La li-» mite ne serait-elle pas, en définitive, le terme nécessaire de la grandeur qui s'évanouit, et par suite ne devrait-elle pas entrer sous forme d'élément dans la composition de cette grandeur, comme entre dans le total d'une addition l'unité intégrante? Nous inclinons à croire que s'il s'est posé ces questions ou des questions analogues, Archimède opta pour l'affirmative sans toutefois se rendre un compte exact des conséquences qu'elle entraînait. Ce que personne ne contestera, c'est qu'il admit à priori et comme d'emblée que les propositions géométriques doivent réussir à l'infini. Or un pareil succès n'est possible que si la limite existe et si elle entretient quelque rapport avec la grandeur.

Mais comment justifier cette admirable anticipation ? Com* ment faire la preuve évidente pour tous de cette découverte de génie ? Archimède adopta dans ce but une méthode d'un caractère absolument négatif, celle de la réduction à l'absurde, qui lui permit d'établir que toute supposition contraire à la sienne enveloppait une contradiction. C'est ainsi qu'il réussit à démontrer un certain nombre de propositions qui

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sont entt*ée0 comme autant de théorèmes incontesté» dan» Ik^ science *, mais qui avaient à ses yeux une valeur apodictique' toute spéciale, puisqu'elles donnaient à son Hypottièëe un appui solide, puisqu'elles lui permettaient d'affirmer qtt'eutre la grandeur et sa limite il existe un rapport certhin:

Un grand' nombre de philosophe&et de géomètre» smcienir crurent d'instinct à l'existence de ce rapports QuelqoesMins^ d'entre eux, usant du double procédé découvert par .^rchi'^ mède et recommandé par son exemple, démontrèrent même' que les rapport» découverts entre les quantités commensal rablë» pouvaient être* étendus aux quantité» incommensora^ blés *; vérité d'une suprême importance* et qu'il ncm» fliut' soigneusement recueillir. S'il' est possible^ dëF passer av^ef^^ »iccès d'un domaine à l'autre, c'est smis doute" pairsep qu*U^ est possible de passer avec succè» de la grandeur à ssr limite; le commensurable et l'incommensurable entretenant^ prétd«^ sèment entre eux les mômes- rapportëi

Et cependant Tantinomie subsistait. lia réduction à! l'aB*surde prouvait, à n'en pas douter; que le progrè»' au^ sen» de là multiplication comme^ au sen» de Ift division a^ un*

terme; mais ce terme situé à l'infini j^emblait tbujours'^ à'quii

1; ÂrcUimède établit ain»i que la secrftice convexe âVui-o6n0'dit)H eii' égaie à Taire du cercle qui a pour rayon la moyenne proportionnelle, entre le côté du cône et le rayon du cercle de la base.

Il prouva de la même flsçon que Taire totale de la spUère'eBt^qtiadtiiidè d'un de ses grands cercles, et que celle de Tune quelconque de ses zone»est égale à la circonférence du grand cercle multipliée par là hauteur dé cette zone. (Voir Camot, Réflexions sur la' métaphysique dwcaUul' infini'^ tésimalj ch. III.)

D*une façon générale, les anciens géomètres, Ibrsqu'fls se trouvaient' en face d*un problème qui impliquait l^nfini, proeédaient; ainsi que 1er fait remarquer Carnot, par voie d'exhaustion, autant que possible bHatérale, puis de rédiiction à Tabsurde.

Partant de cette vérité, par exemple, que les aires des polygones sem-^ blables sont entre elles comme les carrés de leurs côtés homologues, ile en concluaient que les cercles de différents rayons sont entre eux comme les carrée de ces'rayonsi (Euclide, 12^' livre, 2* 'propos.)

Même mode de démonstration s'il s'agissait d'établir que les volumes dès sphères sont entre eux comme lès cubes de leurs diamètres; que lès pyramides de même hmiteur sont comme leurs bases; que le côiie esl le tiers d'un cylindre de même base et de même hauteur.