Voir Câmot, ch. IH

l'indéfini et la quantité infinitésimale ITOï

voulait expliquer son existenjce' dans^ sa* pensée; une impossibilité pure. Pour laquelle des deux propositions fallaitHi opter?' Archiraède tenait pour la thèse qui a£Brme l'exi»tence de la limite et qu*il avait maintes fois soumise à une vérification en règle; mais^ au point de vue de la logique et delà spéculation, l'antithèse fondée sur l'impossibilité d'épuiser l'inépuisable demeurait très forte, et l'on ne pouvait prévoir comment se concilieraient des vues en* apparences! opposées; A l'époque où les sciences mathématiques^ qui avaient langui depuis des- siècle», reprenaient une" nouvelle &veur; Galilée et! Gàvalieri' adoptèrent pour leur propre compte: le procédé des anciens. Ce* dernier alla jusqu'à déclarer que sa' méthode n'était qu'un corollaire' de la méthode dfèxhaustion, corolllBiire en effet, car Fauteur de là Géométrie des indivi'^ sibleB\ tout pénétré de- 1^ pensée d-âarchimède', n^ëut qu^à loi dév^pper pour en fkire sortir une conséquence d'une" portée capitale. Si dans l'analyse, Tinâni sépare* la grandeur' de bt' limite, dans la synthèse, la limite devenue Tunité intégrante doit être séparée par rinûni de la grandeur à réaliser ; toute quantité doit donc être considérée, à. ce point de vue, comme là synthèse d'un nombre infini d'éléments dé même nature que la limite ^ La ligne se conçoit comme composée de*

1. Nous avons déjà' donné à'Tàidë de plusiefurs théorèmes une idée dé la géométrie dë^indivisible». Nou^emprantons à l'ouwage déjà cité de Gàmot' le théorème suivant quipermettradlenprendiie'uneidée plus exacteencore.

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Soit AB (voir la figure 1) le diamëU^^ d'un demi-cercle A6B: Soient*

points, la surface comme composée de lignes, le volume comme composé de surfaces, à condition que ces points, ces lignes, ces surfaces, soient toujours en nombre infini.

La même difficulté, on le comprend, allait se présenter sous une autre forme. Comment, si le nombre des divisions est infini, aurait-on pu demander à Arcbimède, est-il possible d'atteindre le dernier quotient? Comment, si le nombre de multiplications est infini, pouvait-on demander à Gavalieri, obtenir jamais le dernier produit, c'est-à-dire la quantité elle-même? Ce grand géomètre, pressé d'objections, s'avoua impuissant à donner de sa méthode une démonstration rigoureuse, et il se préoccupa surtout d'en recueillir les résultats. Des savants distingués, entre autres Pascal et Roberval, suivirent ses traces et durent à la méthode des indivisibles le succès de leurs remarquables travaux sur la cycloïde. Au point de vue de la logique pure, la difficulté était toujours la même ; mais la méthode qui pose en principe qu'il existe un rapport, connu ou inconnu, entre la grandeur et la limite,

ABFD le rectangle circonscrit, CG le rayon perpendiculaire à DP. Soient de plus menées les deux diagonales CD, GF, et enfin par un point quelconque m de la droite AD soit menée la droite m, n, p, g, perpendiculaire à GG, laquelle coupera la circonférence au point n et la diagonale CD au point p.

Concevons que toute la figure tourne autour de GG comme axe, le quart de cercle ACG engendrera le volume de la sphère dont le diamètre est AB ; le rectangle AGGD engendrera le cylindre droit circonscrit, c'està-dire ayant même diamètre; le triangle isocèle rectangle GGD engendrera un cône droit ayant les lignes égales GG, DG, pour hauteur et pour rayon de la base ; et enfin les trois droites ou segments de droites mq^ nq, pg engendreront chacune un cercle dont le centre sera au point g.

Or le premier de ces trois cercles est l'élément du cylindre, le second est l'élément de la demi-sphère ; et le troisième du cône.

De plus, les aires de ces cercles étant comme les carrés de leurs rayons, et ces trois rayons pouvant visiblement former l'hypoténuse et les deux petits côtés du triangle rectangle, il est clair que le premier de ces cercles est égal à la sonmie des deux autres, c'est-à-dire que l'élément du cylindre est égal à la somme des éléments correspondants de la demisphère et du cône, et, comme il en est de même de tous les autres éléments, il s'ensuit que le volume total du cylindre est égal à la somme du volume total de la demi-sphère et du volume total du cône.

Mais on sait d'ailleurs que le volume du cône est le tiers de celui du cylindre ; donc celui de la sphère en est les deux tiers ; donc le volume de la sphère entière est les deux tiers du volume du cylindre circonscrit, ainsi que l'a découvert Archimède.

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réussissait néanmoins toujours ! Tel était Tétat de la question, lorsque Newton survint et y appliqua son génie.

C'est dans les Principes mathématiques de la philoso^ phie naturelle que Newton a exposé la méthode des « premières et dernières raisons d. Empruntons à Tauteur lui-même la définition de ces termes : « La dernière raison d'une quantité est le terme fixe dont cette quantité, considérée comme variable % s'approche sans cesse. » « La première raison d'une quantité est le terme fixe dont cette quantité, considérée comme variable, s'éloigne indéfiniment. » On voit, par ces seules définitions, que Newton cherchait à envelopper dans une vaste théorie les deux points de vue distincts de l'exhaustion et de Tintégration auxquels s'étaient placés successivement Archimède dans l'antiquité et Cavalieri dans les temps modernes. Newton donnait encore à ses premières et dernières raisons le nom de premières et dernières valeurs, voulant faire entendre par là que, dans sa pensée, la limite, qu'on la place au point de départ ou au point d'arrivée, entretient d'essentiels rapports avec la grandeur qu'elle permet d'épuiser ou d'intégrer. Si la limite est la dernière valeur d'une quantité évanouissante, elle en désigne une fraction dont le dénominateur nous échappe, mais qui ne saurait être rigoureusement nulle, puisque Ton admet qu'elle a une valeur ; et si, au sens de la multiplication, la limite est la première valeur de la quantité, il faut bien en conclure, encore que Newton ait plus d'une fois hésité à le faire, que c'est l'élément véritable, l'élément absolu de la quantité '. — Après Archimède, après Cavalieri, l'illustre

1. Newton appelle ftuente la variable qui croit ou décroît avec la durée; le mouvement de la fluente comme celui de toute grandeur mathématique est continu, mais selon le sens dans lequel on opère, il a ponr limite ou pour élément générateur la fluxion, La fluxion est ce Tninimntri qui répond au moment précis où le temps s^annule.

2. n n'y a aucune distinction à faire entre la méthode des limites et la méthode des premières et dernières raisons, ou des premières et dernières valeurs.

« Newton, dit Camot, n'en fait aucune : il emploie indifTéremment le nom de limite d'une quantité, ou dernière valeur de cette quantité; limite du rapport de deux quantités, ou dernière raison de ces deux

Anglais admettait donc d'une façon plus ou moins explicite le principe qui avait fait le succès de leurs travaux .

L'idée mère de la méthode des premières et dernières raisons se trouve indiquée dans le lemme premier des Principes. En voici la traduction :

a. Les quantités, et aussi les raisons des quantités qui, en un temps fini quelconque, tendent vers [l'égalité, et avant l'expiration de ce temps s'approchent de Tégalilé de plus près que ne le marque une différence donnée, deviennent égales *. »

La démonstration est la suivante :

« Si vous niez la proposition, supposez que ces quantités deviennent à la fin inégales , et alors soit d leur diiOférence dernière : elles ne peuvent donc s'approcher de l'égalité de plus près que la différence d. Or ceci est contre l'hypothèse*. »

Cette démonstration semble d'abord enfermer une pétition de principe. On demande en effet de considérer l'état des quantités variables, au moment où elles atteignent le terme de leurs variations ; or c'est précisément ce terme qu'il parait impossible d*accorder, puisqu'on est convenu à priori de les faire varier indéfiniment. L'antinomie déjà signalée reparaît ici à l'état aigu. Newton, comme tous ses devanciers, postule l'existence d'une limite; mais, si cette limite est à l'infini, comment la poser ou seulement la supposer ? Aux yeux de M. Renouvier, qui a consacré à l'étude de cette question

quantités. Je fais cette réflexion, ajoute-t-il, parce qu'il y a des personnes qui croient vaguement qu'il existe quelque différence entre la méthode des limites, telle que d'Alembert l'a exposée à rarticle Différentiel de V Encyclopédie, et la méthode des premières et dernières raisons, telle que Newton l'a exposée dans le livre des Principes. C'est absolument la même chose, et d'Alembert déclare positivement dans cet article qu'il n'y est que l'interprète de Newton. »