Caruot, op. cit,t ch. ui

l'indéfini bt la quantité infinitésimale 165

Mais zéro étant un terme fixe, la prétendue variable Bx a atteint la limite de sa décroissance, et B est, aussi bien que A, rigoureusement égal à zéro *.

1. D'autres exemples, ' en montrant la fécondité de la méthode des indéterminées, mettront en une plus vive lumière le principe de cette méthode. Nous les empruntons à Touvrage déjà cité de Camot.

Il s'agit de prouver que Taire d'un cercle est égale au produit de sa circonférence par la moitié du rayon; c'est-à-dire qu'en nommant R ce rayon, % le rapport de la circonférence à ce même rayon, et par conséquent icR cette circonférence, S la surface du cercle, on doit avoir :

S = i- irR>.

Pour cela, j'inscris au cercle un polygone régulier, puis je double successivement le nombre de ses côtés jusqu'à ce que l'aire de ce polygone diffère aussi peu qu'on le voudra de la circonférence icR, et l'apothème aussi peu qu'on le voudra du rayon R; donc l'aire S différera aussi peu

qu'on le voudra de -s- tcR*; donc si nous faisons

S = i nR» - ç,

la quantité ç, si elle n'est pas égale à zéro^ pourra être au moins supposée aussi petite qu'on le voudra. Gela posé, je mets cette équation sous la forme :

/s - A ^rA + ç = 0,

équation à deux termes dont le premier ne renferme aucun arbitraire et dont le second, au contraire, peut être supposé aussi petit que l'on veut; donc, par la théorie des « indéterminées », chacun de ces termes particulier est égal à zéro ; donc nous avons :

S - y irR2 = ou S = i- uR2,

ce qu'il fallait démontrer.

Cet exemple peut servir de preuve ou de vérification à la théorie de Descartes. Non seulement il est acquis, au nom de la logique pure^ qu'une constante aussi petite qu'on le voudra doit être considérée comme nulle, mais encore la valeur de cette conception est justifiée par les résultats, puisqu'on arrive^ par cette voie, à une conséquence déjà certaine et que d'autres procédés ont mis hors de discussion. — On peut prouver de la même manière que deux pyramides de même base et de même hauteur sont égales entre elles. Concevons ces pyramides partagées en un même nombre de tranches toutes de même hauteur. Chacune de ces tranches pourra évidemment être regardée comme composée de deux parties dont l'une sera un prisme ayant pour base la plus petite des deux bases qui terminent la tranche, et l'autre sera l'espèce d'onglet qui entoure ce prisme.

Si donc nous appelons V, V les volumes des deux pyramides, P, P',

La conclusion qui se pLégage du théorème de Descartes est précisément, on le voit, celle à laqueUe Newton se rallie : une constante aussi petite que possible est absolument nulle.

les sommes respectives des prismes dont nous venons de parler, q^ q\ les sommes respectives des onglets, nous aurons :

Mais il est clair que P = P' ; donc :

V = P + ^, V = P + ^', et par suite :

et eufin :

Or cette équation peut être posée ainsi :

et pour les raisons énoncées plus haut V — V étant déterminé, g — g' doit se réduire à zéro ; il reste donc :

La valeur probante de cette démonstration résulte du fait de pousser la variable à sa limite. La variable est ici q — q'. Lorsqu'elle a atteint

Fig. 2.

le terme zéro, la différence devient rigoureusement nulle entre V et V.

En effet, si les quantités V et V sont fixes, elles représentent la limite du pouvoir décroissant de 7 — q\ Or, d'une part, rien ne peut arrêter dans le relatif ce pouvoir décroissant, de l'autre, on exige que ce pouvoir soit épuisé, puisque les quantités V et V sont fixes : l'exhaustion sera donc complète et les onglets deviendront nuls quand les tranches seront devenues de simples surfaces.

C'est en se fondant sur le principe de Descartes qu'on parvient à démontrer certaines proportions de la plus haute importance dans l'analyse infinitésimale ; on prouve par exemple que la limite de la somme de plusieurs variables est la somme algébrique de leurs limites, et encore

l'indéfini et la. quantité infinitésimale 167

Mais pourquoi? Précisément parce qu'elle est fixe. C'est ce qu'ont compris d'instinct tous les penseurs anciens ou modernes qui se sont posé cette question. Imaginons pour un moment qu'une quantité fixe aussi petite que Ton voudra ne soit pas égale à zéro, il en résultera que cette quantité ne peut s'approcher de zéro autant qu'on le veut, puisqu'elle est maintenue à distance de ce terme minimum, sans que jamais une telle distance, la quantité étant fixe, puisse être supprimée ou même diminuée ; or une telle conséquence est manifestement contraire à l'hypothèse.

On objectera peut-être qu'une seule chose est exigée par l'hypothèse, savoir que la grandeur approche du but autant que possible sans néanmoins l'atteindre. Il serait aisé de répondre que, puisque la grandeur est supposée fixe, il ne s'agit plus d'approximation, mais de proximité.

Dans l'exemple qui précède on n'a donc pas le droit de dire : « Bx s'approche autant qu'on le veut de zéro ; » mais : € Bx est aussi près que possible de zéro. »

Or ce qui est aussi près que possible de zéro ne saurait être que zéro lui-même, car s'il en différait la différence pourrait toujours être représentée par une quantité très petite, 9 je suppose; mais on peut prendre la moitié, le quart, le millième, le millionième de 9; il s'ensuivrait que ce qui est censé aussi près que possible de 0, en serait séparé par l'infini.

Il faut donc admettre qu'une quantité fixe aussi voisine que possible de sa limite, en réalité l'a atteinte, et le lemme premier des Principes^ si paradoxal qu'il semble au premier abord, possède à nos yeux une valeur logique incontestable.

Il est vrai qu'on peut se demander si Newton n'introduit pas arbitrairement une donnée fixe dans l'énoncé de sa proposition. Pourquoi, dira-t-on, ce temps fini et cette nécessité imposée à la grandeur d'atteindre un minimum déterminé avant Texpiration de tel délai? Si d'une part la limite

que la limite de leur produit ou de leur quotient est le produit ou Iq. quotient de leurs limites. (Voir Duhamel, Éléments du calcul infinités., t. I, p. 10 et 11.)

de son progrès est marquée à l'avance par la limite d*uae durée certaine et que de Tautre rien n'arrête son mouvement, on comprend assez qu'elle doive atteindre le terme vers lequel elle marche; mais, encore une fois, pourquoi ce terme? Gomment même le concevoir si la quantité peut vraiment croître ou décroître à Tinfini? Nous touchons à la partie la plus délicate de notre tâche. Une première observation à faire^ c'est que tous les savants de génie qui ont abordé le problème y ont laissé pénétrer un élément de détermination, Archimède, Galilée, Gavalieri, et tant d'autres, bien que persuadés de la mobilité indéfinie de la grandeur, croient d'instinct, mais avec une conviction profonde, inébranlable, que le progrès ou la décroissance de cette même grandeur trouve un invincible obstacle dans certaines anticipations de la pensée. Gomme ses devanciers, Newton affirme l'existence d'une limite, et s'il ne le dit pas en termes formels, il le fait suffisamment entendre en donnant un terme à la durée qui mesure le mouvement de la grandeur; c'est que, comme ses devanciers il subordonne l'idée du progrès indéfini à l'idée d'un point fixe qui marque un temps d'arrêt absolu. Que ce point puisse être atteint, du sein même de la grandeur dont on suppose le mouvement continu, c'est ce que nul des anciens géomètres n*a admis; autrement l'antinomie apparente deviendrait une contradiction dans les termes; tous cependant ont pressenti Texistence de deux points de vue distincts, opposés même, dont ils devaient, dans une certaine mesure, tenir compte : ici l'indétermination relative à notre ignorance ; là au contraire, la détermination nécessaire à la chose en soi, et connue de nous sinon dans la loi certaine qui Tengendre, au moins dans l'élément absolu auquel cette loi s'applique et que nous nommons indistinctement point d'origine ou limite.

On voit quelle est dans cette opposition d'idées la double raison d'être de la thèse et de l'antithèse. J'affirme que telle quantité croissante ou décroissante a sa limite ; voilà la thèse ; elle est parfaitement certaine dans l'absolu, la quan-

l'indéfini et la quantité infinitésimale 169

tité en soi devant être composée d'éléments déterminés euxmêmes, et, par suite, la série des divisions et des subdivisions devant, à ce point de vue, rencontrer un terme. Mais Tantithèse, dans le relatif, s'impose avec une nécessité presque égale : le moment de cette rencontre m'étant inconnu, ne puis-je pas, ne dois-je pas dire que le progrès de la quantité, telle qu'elle s'offre à mon imagination, est infini. Une seule restriction m*est imposée, et elle suffit à rendre la conciliation possible : l'infinité que j'affirme n'a rien de réel ; elle n'existe que pour mon intelligence et pour toute intelligence observant la réalité du dehors ^ A la lumière de cette synthèse, tout s'explique. Où sera maintenant la contradiction si je déclare que l'infini mathématique a un terme? Cet infini est le substitut mental du fini en soi; il faut donc qu'il finisse lui-même; s'il ne répond pas exactement à chaque

^ stade du progrès absolu, il faut du moins qu'il en dessine les limites vraies et que, par suite, il commence et se termine là où commence et se termine la réalité correspondante. La science, même à son insu, a toujours obéi à cette loi. Lorsque nous analysons la grandeur idéale, nous avons tous, dirait Pascal, une pensée de derrière la tête, et cette pensée, que nous en ayons ou non conscience, est une réminiscence de l'absolu. Ainsi, lorsque Newton déclare que c'est dans un laps de temps déterminé que la quantité croît ou décroît, c'esf qu'il songe, sans y réfléchir peut-être, au terme néces-

' saire que, dans la réalité en soi, la quantité doit atteindre. Ses devanciers qui fondent tous leurs calculs sur des anticipations de la pensée, font le même acte de foi en l'absolu. Mais que parlons-nous d'anticipations? Inexplicables si elles n'étaient des souvenirs, elles viennent d'une région supérieure à celle de la mathématique qui en fait usage, et, en les introduisant dans la science abstraite pour la vivifier, les grands esprits de tous les âges se sont montrés métaphysiciens autant que

1. Voir F. Ravaisson, La philosophie en France au XIX' siècle^ p. 134, 135, 136 et sqq.

Voir également Ch. Lévêque, La science de l'Invisible^ 2« partie, p. 137,

géomètres ; disons plus : ils ont subordonné la géométrie à la métaphysique comme le relatif à Tabsolu, toutes les fois qu'ils ont subordonné Tindéfini de la quantité mobile à un terme fixe. C'est pour nous, métaphysiciens toujours orientés vers la réalité véritable, qu'ils ont travaillé sans le savoir, lorsqu'ils ont demandé au calcul la vérification de cette grande hypothèse, lorsqu'à l'aide de procédés empruntés à leur science propre, et notamment par la réduction à l'absurde, ils ont victorieusement établi que l'idée de limite est toute autre chose qu'une chimère, et que les propositions vraies dans le fini réussissent et doivent réussir à l'infini.

Newton pouvait tirer du lemme premier des Principes des conséquences analogues à celles qu'avaient adoptées les premiers créateurs du calcul infinitésimal; c'est ce qu'il fit. Il démontra après Archimède l'égalité à la limite de trois figures, l'une curviligne, les deux autres polygonales, celle-là inscrite, celle-ci circonscrite à la première, et son procédé nous semble, au point de vue de la logique la plus sévère, irréprochable '.

1. Le pénétrant critique qui a su mettre en une si vive lumière Tim* possibilité logique du nombre infini, M. Renouvier, conteste la valeur de ces déductions. Voici comment il s'exprime au sujet du corollaire da lemme premier :

« Cette conception est inintelligible, alors que d'une part les variations supposées des polygones ne doivent pas avoir de terme, ni par conséquent de limite, et que d'autre part l'identité d'un polygone et d'une courbe est une idée incompatible avec les définitions comparées de f une et de l'autre. Les dernières raisons sont d'impossibles raisons. »

Impossibles, répondrons-nous, s'il faut vraiment épuiser l'infini pour les atteindre. Mais Newton était- il dupe du terme infini? Ne lui donnaitil pas^ avec plus ou moins de conscience, le sens antique et traditionnel du mot grec aueipov ? Qui empêche qu'on laisse subsister l'indétermination au sein de la quantité mobile, lorsqu'on connaît à priori sa limite? On ne peut confondre, il est vrai, la courbe avec une espèce quelconque de figure polygonale ; aussi, à notre sens, la seule objection décisive qu'on puisse adresser ici au grand physicien viserait moins le procédé en général que l'exemple qu'il propose ; on se demande si la courbe, cette ligne étrange dans laquelle chaque point semble déterminer un changement de direction, est vraiment, et au sens le plus rigoureux du terme, intelligible..

Ne devrait-on pas en mathématiques distinguer les limites nécessaires et certaines, des limites fictives, des limites d'imagination?

Voici d'ailleurs le texte même auquel fait allusion M. Renouvier:

M Lemma IL Si in figura quavis AacE, rectis aA, AE et curva acK

l'indéfini et la. quantité infinitésimale 171

Il prouva également, en se fondant sur le même principe, que la raison dernière de Taxe, de la corde et de la tangente entre eux est la raison d'égalité. Toutefois, ainsi que le fait

comprehensa^ inscribantur parallelogramma A6, Bc, Cd, etc., sub basibus AB, BC, CD, etc., œqualibus, et lateribus B6, Ce, Dd, figurse lateri Xa parallelis contenta, et compleantur parallelogramma aKbl, bLcm, cMnd,,. dein, borum parallelogrammorum latitudo minuatur et numerus aageatur in infinitum, dico quod ultimse rationes quas babent ad se invicem figura inscripta AK6LcMc{D, circumscripta AalbmcndoE et curvilinea AaàcdEt sunt rationes œqualitatis .

« Nam figurse inscripise et circumscriptœ differentia, est summa parailelogrammorum Kl + Lm + Mn + Do, boc est (ob œquales omniam bases) rectangulum sub unius basi Ké, et altitudinum summa Aa, id est rectangulum ABla : sed boc rectangulum, eo quod latitudo ejus AB in infinitum minuitur, fit minus quovis dato ; ergo, per lemma I, figura inscripta et circumscripta, et multo magis figura curvilinea intermedia, fiunt ultimo œquales. »

De même, ajoute Newton, les dernières raisons sont encore des raisons d'égalité lorsque les parallélogrammes sont de largeur inégale; et voici comment il le prouve :

« Lemma IIL Sit AF sequalis latitudini maximœ et compleatur parallelogrammum YAaf\ boc erit majus quam differentia figurée ins- a t

criptœ et figurse circumscriptse ; at latitudine sua AF in infinitum diminuta, minus fit quam datum quodvis rectangulum. »

Voici maintenant les conséquences qui en découlent :

« CorolL I. Hinc summa ultima parallelogrammorum evanescentium coincidit omni ex parte cum figura curvilinea. »

« CorolL //. Et multo magis figura rectilinea quse cbordis

Fig. 3.

evanescentium arcuum a6, 6c, cd comprebenditur, coincidit ultimo cum figura curvilinea.

« CorolL IIL Ut et figura rectilinea quse tangentibus eorumden arcuum circumscribitur.

« CorolL IV. Et propterea bse figurse ultimo non sunt rectilineœ, sed recUlinearum limites curvilinei. »

Partant de là Newton établissait le tbéorè me suivant, le plus important de tous, selon nous^ au point de vue de la métapbysique du calcul infinitésimal :

« Lemma IV, Si in duabus figuris AacE^ PprT, ut supra, duae inscribantur parallelogrammorum séries, sitque idem amborum numerus, et, ubi latitudines in infinitum diminuuntur, ratione s ultimœ parallelogrammorum in una figura ad parallelogramma in altéra, singulorum ad singula, sint esedem, dico quod figurse duse AacE, PprT, sunt ad invicem in eadem illa ratione. »

N'est-ce pas dire, après Cavalieri, qu'au fond la limite n'est que Télé-

remarquer M. Renouvier, la pensée du grand géomètre devient parfois indécise et flottante ; il semble que, tout en résolvant dans le sens de ses devanciers Tantinomie posée par le calcul infinitésimal, il ait hésité à admettre certaines conséquences logiquement impliquées dans sa théorie, notamment l'existence d'éléments derniers ou d'indivisibles. Il ne peut se résoudre à admettre l'hypothèse de Cavalieri, qu'il juge inconciliable avec l'absence de commune mesure entre certaines grandeurs * ; aussi s'exprime-t-il parfois en termes qui déconcertent le lecteur et feraient croire que la méthode des limites n'est plus que la méthode des infiniment petits de Leibniz. N'osant aller jusqu'au bout de sa pensée, on dirait que Newton revient en arrière, au risque de se contredire lui-

ment générateur, et que dans des figures égales Télément générateur est répété un même nombre de fois?

L'objection du nombre infini avait déjà été adressée à Newton et aux mathématiciens de son temps par Berkeley^ dans un ouvrage curieux qui a pour titre The analyst or a discourse addressed to an infidel mathematician (1734). Cet ouvrage donna lieu, en Angleterre et en France, à des •débats animés. Buffon, entre autres, ne pouvait pardonner à Fauteur d'avoir avancé que le calcul infinitésimal ne réussit que par hasard.

A plus forte raison, Berkeley rejetait les infinis de divers ordres négligeables les uns par rapport aux autres. Un des problèmes les plus intéressants qu'il ait agités à ce sujet est le suivant : Quel est Taccroissement que reçoit un rectangle lorsque ses deux côtés reçoivent à la fois différents accroissements que Ton suppose aussi petits que possible? Si Toii procède par les méthodes ordinaires, on a :

(A H- a) (B + 6) = AB H- aB H- A6 H- aô,

ce qu'on exprime en disant que l'accroissement du rectangle se compose des rectangles respectifs de chacun des côtés avec l'accroissement supposé de l'autre, plus du rectangle des deux accroissements supposés.

Dans le calcul, on ne tient aucun compte de a6, qui représente le rectangle des accroissements, parce que ab est une quantité infinitésimale du second ordre, c'est-à-dire à l'infini, comme grandeur, des côtés du rectangle proposé. Or c'est là ce que contestait au point de vue d'une logique exacte l'auteur de V Analyst : « In rébus mathematicis errores guam minimi non sunt contemnendi. »

Nous sommes ici, contre Berkeley, de l'avis de Newton et de Leibniz, qui pouvaient d'abord répondre que leur procédé était justifié par ses conséquences et qui auraient pu d'ailleurs se fonder sur des raisons d'ordre théorique que nous exposerons plus tard.

1. Cette opinion nous semble étrange; on ne s'explique ce jugement de Newton que si l'on suppose que le célèbre physicien prenait les éléments de Cavalieri pour de petites grandeurs.

l'indéfini et la quantité infinitésimale 173

môme ; on sent que l'illustre physicien est troublé par l'opposition du nombre infini et de la limite nécessaire; il ne voudrait surtout, sous aucun prétexte, introduire le déterminé dans l'indéterminé, le fini dans Findéâni de la grandeur.

« On objectera, dit-il *, que, si certaines raisons dernières des quantités évanouissantes sont données, des grandeurs dernières sont pareillement doimées, en sorte que toute quantité se composera d'indivisibles, contrairement à ce qu'Euclide a démontré touchant les iacommensurables au X« livre des Eléments ^ ; mais l'objection s'appuie sur une fausse hypothèse :

i. « Contendi potest quod si dentur ultimœ quantitatum eyanescentium rationes , dabuntur et ultimœ magnitudines ; et sic quantitas omnis constabit ex indivisibilibus contra quod Euclides de incommensurabilibus in libro decimo Elementorum demonstravit. Verum hœc objectio falsœ innititur hypotbesi. Ultimœ rationes illœ quibuscum quantitates evanescunt, rêvera non sunt rationes quantitatum ultimarum, sed limites ad quos quantitatum sine limite decrescentium rationes semper appropinquant, et quos propius assequi possunt quam pro quavis data differentia, nunquam vero transgredi neque prius attingere quam quantitates

minuuntur in infinitum Igitur in sequentibus si quando faciii rerom

imagination! consulens dixero quantitates quam minimas, yel evanescentes, vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitudine determinatas sed cogita semper diminuendas sine limite. » (Op, citai., ibid,)

2. On se reportera avec intérêt au texte d'Euclide et & la démonstration que Nev^ton invoque contre les partisans de la théorie des indivisibles; il nous semble que cette démonstration ne saurait les atteindre ; on va d'ailleurs en juger. — L'illustre géomètre commence par établir que les grandeurs conmiensurables sont entre elles dans le rapport d'un nombre à un autre nombre^ et la preuve est aisée à faire par la définition môme des commensurables, qui veut qu'on puisse porter un nombre exact de fois sur les grandeurs en question une même commune mesure. Euclide s'attache ensuite à la proposition inverse :

Prop. 6. « Les grandeurs incommensurables ne sont point entre elles dans le rapport d'un nombre à un autre nombre. »

npÔTaatç ç\ Ta 0L(ri\L\ijexpci (JteyéOyî wpoç aXXrjXa X6yov oùx ïx^t 8v àpiB(i.bc icpb; àpt6[i.6v.

Voici la preuve :

1S<rtco à(rj(jLtJieTpa toi lieylôy) A, B. — Aêyo) Sti to A Tcpbç xh B Xhyo^* oux ÏXt^ Sv àptOtJib; itpbc àpt0tJi6v.

Et yàp ïx^i To A nphç to B X6yov ov àpt6{ibc Tcpoc àpt0tJi6v^ <ri\L[Le,xpos ïfnaa To A Tû) B* oux k(n\ ôé, oux àpa xh A iipbç xh B X6yov ïx^^i ©te, etc.

L'auteur des Éléments a purement et simplement démontré que deux incommensurables ne sont point entre eux dans le rapport d'un nombre de grandeurs à un autre nombre de grandeurs, si petites qu'on les suppose, et en cela il n'a fait qu'analyser la notion géométrique de l'incom-

ces dernières raisons avec lesquelles les quantités s'évanouissent {quacum evanescunt) ne sont pas, à vrai dire, les raisons des quantités dernières, mais les limites dont s'approchent incessamment les raisons des quantités qui décroissent sans limites, et dont elles peuvent approcher de plus près que d une diflférence donnée quelconque, mais qu'elles ne peuvent dépasser ni même atteindre avant que les parties diminuent à l'infini... Si donc dans la suite et pour faciliter l'intelligence des choses, je nomme certaines quantités les moindres, ou évanouissantes, ou les dernières, qu'on se garde bien de penser à des quantités déterminées de grandeur, mais qu'on entende bien qu'elles sont diminuables sans limites. »

Dans ce passage, Nev^on cherche visiblement à se disculper du reproche de vouloir composer la grandeur au moyen de quantités dernières et irréductibles. D'après lui, toute quantité est divisible à l'infini. Oui assurément, si l'on reste dans la quantité; mais est-il possible d'y rester? Voilà la question; l'idée de limite s'impose. Admettons pourtant avec Newton qu'entre la grandeur initiale et sa limite il y ait Tinfini. On pourra toujours demander si un tel infini est autre chose que l'infini de convention qui se confond avec l'indéterminé mathématique, et dans cette l^ypothèse, la seule acceptable, toute contradiction disparait.

mensurabilité ; mais il ne suit nullement de cette proposition que les incommensurables ne soient point entre eux dans le rapport d'un nombre d'éléments à un autre nombre d'éléments; s'il en était ainsi, les incommensurables ne pourraient ni être engendrés ni être conçus. Que serait-ce par exemple que deux lignes qui n'auraient absolument rien de commun, ni longueur, si petite qu'on l'imagine, ni élément? A quel titre les appeler lignes? Comment prendre sur l'une de ces lignes un point quelconque? Ce qui est vrai, c'est que, comme nous ne savons pas à quel moment l'élément générateur se rencontre dans l'absolu, nous ne pouvons jamais le supposer dans le relatif, et il nous semble dès lors que l'incommensurabilité n'a plus de limites. Mais une telle apparence n'a de raison d'être que dans l'enceinte de la grandeur où le géomètre doit nécessairement se confiner.

S'il en est ainsi. Newton pouvait, semble-tril, sans compromettre aucune proposition scientifiquement établie, admettre après Cavalieri Texistence d'indivisibles, et, de fait, limite et indivisible étant synonymes, la méthode des limites conduit nécessairement et quoi qu'on fasse à concevoir Texis* tence d'éléments ultimes et absolus.

l'indéfini et la quantité infinitésimale 175

Newton corrige lui-même sa pensée lorsqu'il dit : a On nous oppose qu'il n'existe pas de rapport dernier des quantités évanouissantes; car, avant qu'elles soient évanouies, leur rapport n'est pas le dernier, et, après qu'elles sont évanouies, il est nul La réponse est facile On doit entendre,

par la raison dernière des quantités évanouissantes, la raison non pas avant ou après, mais la raison avec laquelle les quantités s'évanouissent *. »

Cette explication ne peut guère laisser subsister de doutes sur le fond de la pensée du grand géomètre. Avant que les quantités soient évanouies, ce sont encore des quantités, et, par suite, elles peuvent décroître à Tinfini, la grandeur flottant indéterminée entre son point d'origine et le nombre qui la représente ; après qu'elles se sont évanouies, il ne reste rien, et le zéro absolu échappe à toute comparaison et à tout calcul; au moment même où elles s'évanouissent, elles atteignent la limite de leur décroissance, limite située à égale distance de la grandeur proprement dite et du néant pur, puisque, d'une part, entre la grandeur et sa limite, Tinfini mathématique s'interpose, et que, de l'autre, le néant pur est séparé de l'unité élémentaire par un abîme qu'aucune progression ne saurait franchir. Comment donc représenter la limite s'il faut dans le calcul la désigner par un nombre? Par le zéro de grandeur, c'est-à-dire par un symbole qui fasse entendre que la limite, sans être de la nature de la quantité, ne peut se confondre avec le néant absolu. Le zéro de grandeur est donc un zéro relatif,

« 1. Objectio est quod quantitatum evanescentium nulla sit ultima proportio quippe quse antequam evanescunt non est ultima, ubi evanuerunt, nulla eat. Sed et eodem argumento seque contendi posset nullam esse corporis ad certum locum pergentis velocitatem ultimam : hanc enim antequam corpus attinglt locum, non esse ultimam, ubi attingit, nullam esse. Et responsio facilis est. Per velocitatem ultimam intelligi eam qua corpus movetur neque antequam attingit locum ultimum et motus cessât, neque postea, sed tum quum attingit, id est illam ipsam yelocitatem quacum corpus attingit locum ultimum et quacum motus cessât.

(( Et similiter per ultimam rationem quantitatum evanescentium intelligendam esse rationem quantitatum non antequam evanescunt, non postea, sed quacum evanescunt.

« Pariter et ratio prima nascentium est ratio quacum nascuntur. »

zéro de composition ou d'étendue, non de réalité *. Phénomène digne de remarque 1 Plus Newton essaye de séparer sa cause de celle de Gavalieri, plus ses principes, qui au fond sont les mêmes, l'entraînent à des conséquences analogues. Gavalieri, avant Newton, avait très nettement aperçu la distinction qu'on doit faire entre la limite d'un évanouissant et le néant pur, entre Tabsence de grandeur et l'absence de quoi que ce soit, puisqu'il représentait ce milieu de l'unité élémentaire que l'imagination ne saurait se représenter mais que la raison conçoit et affirme, à l'aide du zéro relatif, du zéro qui n'exclut que la quantité ^

Malgré des hésitations dont nous avons saisi la trace, Newton fut donc peu à peu ramené à son point de départ, c'est-àdire à la doctrine constante de ses devanciers ; il ne voulut plus considérer que le dernier rapport, c'est-à-dire la limite même des évanouissants. Partant de ce principe que dans les sciences mathématiques aucune erreur n'est négligeable, il se refusa à introduire dans ses calculs ces infiniment petits qui décroissent toujours, mais n'ont jamais atteint, au moment où on les considère, la fin de leur décroissance. Aussi dans cet ordre de problèmes où l'on considère le rapport de deux variables, fonctions l'une de l'autre, qui tendent à s'annuler suivant une même loi, les relations ultimes furent-elles seules admises et représentées par le schème numérique ^' ôaction dont le numérateur comme le dénominateur marquent que les grandeurs qui diminuent ont enfin rencontré la limite de toute diminution, c'est-à-dire l'élément au delà duquel on n'aperçoit plus que le néant pur.

On a objecté à Newton que le rapport ^ répondant à une quantité quelconque % ne pouvait désigner telle relation plutôt

1. Nous parlons ici en général. Dans les problèmes particuliers le zéro en question est non-seulement un zéro de grandeur, mais encore le zéro de telle grandeur spécifiée et définie (voir plus loin le problème de la tangente).

2. Voir plus haut le théorème de Gavalieri relatif à la mesure de Taire du triangle.

3. Ce rapport est en effet le symbole de l'indéterminé mathématique.

l'indéfini et la. quantité infinitésimale 177

que telle autre ; mais il est aisé de comprendre que Tindétermination inhérente à ce symbole disparaît dès que l'on tient compte de la loi de continuité qui Ta fourni. Ecoutons sur ce point le judicieux auteur des Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitéstmal :

« Il ne faut pas perdre de vue que ces quantités nulles ont ici des propriétés particulières comme dernières valeurs des quantités indéfiniment décroissantes dont elles sont les limites, et qu'on ne leur donne la dénomination particulière d'évanouissantes qu'afln d'avertir que, de tous les rapports ou relations dont elles sont susceptibles en qualité de quantités nulles, on ne veut considérer et faire entrer dans les combinaisons que celles qui leur sont assignées par la loi de continuité, lorsqu'on imagine le système des quantités auxiliaires s'approchant par degrés insensibles des quantités désignées ^ et c'est là précisément ce qu'entend Newton lorsqu'il dit que les quantités évanouissantes sont des quantités considérées non avant qu'elles s'évanouissent, non après qu'elles se sont évanouies, mais à l'instant même qu'elles s'évanouissent.

c< Soit le cercle RMDIB (voir p. 178) ; menons la tangente MT et abaissons la perpendiculaire MP sur DB. Maintenant, par un point R, puis arbitrairement à une distance quelconque du point M, soit menée la ligne RS parallèle à MP, et par les points R et M soit menée la sécante RT', soit enfin abaissée la perpendiculaire MZ sur RS.

« Nous aurons évidemment T'P : MP :: MZ : RZ, et par suite

T'P ou TP -f TT' = MP ^. Cela posé, si nous imaginons

que RS se meuve parallèlement à elle-même en s'approchant continuellement de MP, il est visible que le point T' s'approchera en même temps de plus en plus du point T, et qu'on pourra par conséquent rendre la ligne T'T aussi petite qu'on le voudra. Mais ce système d'approximations indéfinies ne paraît pas suffisamment rigoureux à Newton; en effet, tant que RS ne

1. Par quantités désignées, Carnot entend des quantités déterminées, invariables.

MZ TP

coïncide point avec MP, la fraction fr^est plus grande que ir|p'

Ces deux fractions ne deviennent rigoureusement égales qu'au moment où MZ et RZ se réduisent à *. Il est vrai qu'alors

Fig. 4.

MZ

P^ est aussi bien égale à toute autre quantité qu'à ^^ puisque g est une quantité absolument arbitraire; mais, parmi les di-

i. C'est-à-dire so réiluisent h deux points limites coïncidant en M.

l'indéfini BT la. quantité mi^INITÉSIMALE 179

MZ TP

verses valeurs qu'on peut attribuer ^ &/* ^ ^^ 1^ seule qui

soit assujettie à la loi de continuité et déterminée par elle; car, si Ton construisait une courbe dont Tabscisse fût la

quantité indéfiniment petite MZ et l'ordonnée proportionnelle

MZ à ^ , celle qui répondrait à l'abscisse nulle serait représentée

TP par ^rrp et non par une quantité arbitraire. Or c'est ce qui

distingue les quantités évanouissantes de celles qui sont simplement nulles. Ainsi, quoiqu'on général on ait :

on ne peut pas dire d'une quantité évanouissante telle que

MZ, MZ = 2MZ =3MZ , car la loi de continuité ne peut

assigner entre MZ et MZ d'autre rapport que celui d'égalité ni d'autre relation que celle d'identité *. » Ce n'est donc que dans le cas où le zéro serait considéré

comme absolu que le symbole ^ deviendrait le synonyme de

l'indétermination pure ; le zéro relatif qu'admettent à la fois Cavalieri et Newton représente la quantité au moment où elle s'évanouit, c'est-à-dire la limite ; et, comme telle limite est étroitement liée à telle grandeur, le zéro relatif a toujours une signification déterminée.

D'autre part, nulle erreur, si petite qu'elle puisse être, n'est plus à craindre, puisque la limite marque Tépuisement complet, absolu de la quantité.

Résumons-nous. La méthode des limites, qu'elle se nomme méthode d'exhaustion, méthode des indivisibles ou méthode des premières et dernières raisons, est d'une rigueur absolue et n'a contre elle qu'un algorithme d'un usage moins facile et l'ambiguïté du terme infini. Il est certain que, si Ion donne à ce terme sa signification littérale et rigoureuse, la méthode des limites implique une contradiction flagrante; comment en effet se représenter la limite d'une quantité qui par hypo-