Berkeley. The analyst. Voir la note p

l'indéfini et la. quantité infinitésimale 181

leur actif tant de méthodes diverses soient des succès de hasard ?

On comprendra notre hésitation à entrer dans ce grave débat ; mais la solution qu'on demande est après tout du ressort de la logique; à ce titre, il nous sera permis de la chercher.

Disons -le sans détour, il nous parait certain que, si la méthode de Leibniz réussit, c'est pour des raisons étrangères à celle que le grand métaphysicien a fait valoir et analogues à celles qui assurent le succès de la méthode des limites : nous allons essayer de le prouver.

L'incomparable est une quantité véritable. Comment donc expliquer qu'on puisse le retrancher d'une formule sans en troubler l'équilibre et sans nuire au résultat?

On se souvient de la réponse de Leibniz :

« L'incomparable fait l'effet d'un infiniment petit rigoureux, puisqu'un adversaire voulant contredire à notre énoncialion, il s'ensuit par notre calcul que l'erreur sera toujours moindre que celle qu'il pourra assigner... »

Un des interprètes les plus autorisés de la pensée du philosophe fait sienne cette ingénieuse théorie et l'expose de façon à lui donner toute la vraisemblance qu'elle comporte M)'après lui, la méthode infinitésimale est une méthode d'approximation, mais d'approximation indéfinie, et c'est l'indéfini de l'approximation qui en fait la rigueur, a Cette méthode, dit-il, permet l'introduction de quantités continues quelconques dans le calcul, sous le symbole de celles qui, étant mesurables et demeurant indéterminées, ne diffèrent des premières que d'une quantité arbitrairement petite. Or, tout autant que la substitution est seulement supposée et qu'on ne sort pas des relations exprimées en général pour en venir aux opérations arithmétiques, la théorie est pleinement rigoureuse. Il est vrai que l'on considère systématiquement au lieu des quantités proposées d'autres quantités; mais l'erreur est indéterminée, toujours inassignée et arbitraire, et a posteriori on prouve qu'elle est inassignable et nulle en ce sens, puisque

1. Renouvier, Critique philosophique^ 6® année, n* 2; Essais de critique générale, Logique , t. ï, p. 408,409.

le géomètre a toujours pu envisager une différence moindre que celle qu'on objecte, quelque petite qu'elle soit. »

En d'autres termes, la limite et la grandeur étant incommensurables, on crée pour les besoins du calcul des infiniment petits aussi voisins que possible de la limite, mais de la même nature que la grandeur, et par suite commensuraUes avec elle.

Le problème peut se généraliser. « En résumé, dit M. Renouvier, les propositions de géométrie élémentaire par lesquelles on se propose d'établir des rapports entre deux quantités incommensurables A et B doivent pour la rigueur se réduire à la convention suivante : — Si A est la limite de figure d'une série de quantités a, a', a' et si B est la limite des figures d'une série de quantités b, b\ b', etc., etc., respective-

ment commensurables avec les premières, ^ sera le symbole

d'un rapport arithmétique tel que j— , dont les termes a°^ et b»^,

demeurant indéterminés peuvent être supposés différer géométriquement de A et de B par une figure de grandeur moindre qu'une quantité assignée ou assignable de fait, quelque petite que soit celle-ci; en sorte que Terreur attachée à la considération de la variable au lieu de sa limite géométrique, ou de la limite géométrique au lieu de la variable, seule et toujours commensurable, ne puisse être assignée, et doive nécessairement être tenue pour nulle dans la théorie ' . »

Le principe sur lequel s'appuient Leibniz et les partisans de sa doctrine est, on le voit, celui-ci : une erreur, dès qu'elle est inassignable , devient nulle. La doctrine vaudra ce que vaut cette proposition; examinons-la.

Il convient de remarquer, en premier lieu, que la quantité infinitésimale et l'erreur à laquelle sa suppression parait

1. Cf. DuhauicI^ op. cit., t, I, ch. vi. — Voir également la préface du même ouvrage : u Dans toutes ces recherches on fait un fréquent usage d'un principe général très-simple qui consiste en ce que la limite d'une somme d'infiniment petits n'est pas changée quand on aljlère ses éléments de quantités infiniment petites par rapport à eux-mêmes. »

l'indéfini KT la quantité INFINITÉSIMALK 183

devoir donner naissance, sont deux termes qui varient parallèlement. Que cette quantité décroisse sans fin, Terreur diminuera toujours sans jamais disparaître ; que cette même quantité au contraire ait une limite, et Terreur pourra se réduire à zéro. Je demande maintenant ce qui se passe lorsque je traite une formule algébrique par le procédé infinitésimal. Au moment où, dans Téquation sur laquelle j'opère, je supprime la variable pour ne plus laisser subsister que des quantités déterminées, je puis mettre un contradicteur au défi de signaler une erreur précise, la variable n'ayant elle-même rien de déterminé; mais il ne s'ensuit nullement, en bonne logique, que cette erreur devienne nulle; pour qu'elle fût telle, il faudrait que la quantité infinitésimale qu'on retranche de Téquation eût, de degrés en degrés, atteint la limite 0. Alors, mais alors seulement, la formule que Ton traite resterait exacte. Il n'en est point ainsi dans la réalité des choses : par définition , Tinfiniment petit peut toujours décroître, sans jamais rencontrer le terme de ses divisions ; il en résulte que Terreur à laquelle sa soustraction donne lieu, toujours inférieure à une erreur assignée, est toujours supérieure à une erreur nulle. — Qu'on veuille bien se placer au cœur même de Thypothèse de Leibniz et se rendre un compte exact de ses exigences. — L'incomparable introduit dans le calcul est une quantité, et une quantité dont le jeu, bien qu'indéfini, n'est possible qu'au sein du domaine de la grandeur ; il lui est interdit d'en sortir et de se confondre jamais avec sa limite; quelque multiples que soient les réductions qu'on imagine, Tinfiniment petit demeure infiniment divisible; il ne saurait ni franchir ni même atteindre la ligne d'enceinte en deçà de laquelle il évolue ; c'est à peine si Ton peut dire qu'il s'en approche, puisqu'il en est toujours séparé par Tinfini. Vous pouvez donc tant que vous le voudrez soutenir que Terreur occasionnée par sa suppression est toujours plus petite, à un moment donné, que celle qu'on propose; je soutiendrai, de mon côté, qu'elle est toujours plus grande que ne le voudrait celui qui croit pouvoir la négliger. J'ajou-

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terai que le même intervalle qui sépare l'incomparable décroissant de sa limite, sépare Terreur subsistante de l'erreur nulle, et cet intervalle est, par définition, infranchissable. Que m'importe, après tout, de savoir que Terreur que je commets est toujours moindre que je n'imagine, si je suis sûr de la commettre, si je sais d'avance qu'elle flottera entre telle erreur que je conçois et Terreur zéro que je me vois forcé

d'exclure ?

On comprend qu'une telle conception ait donné lieu à de graves malentendus. Dans la méthode des limites, l'idée préconçue d'un terme vient corriger ce qu'a d'excessif Thypothèse de l'infini. On a toujours pressenti, nous l'avons vu, qu'un infini qui a sa limite, doit être un infini de convention, une fiction utile dont on peut ne pas toujours rendre compte, mais qu'on ne saurait prendre absolument au sérieux. On n'en saurait dire autant de Tinfini de Leibniz. Ou Ton suppose que toute erreur a disparu du calcul, et alors, qu'on le sache ou non, on déclare que Tinsommable est sommé, que ce qui est sans terme est terminé; ou Ton recule devant cette contradiction, et dès lors le calcul n'est plus qu'approximatif. Il est très remarquable que tous les esprits d'élite qui se sont attachés à la théorie de Leibniz l'aient poussée jusqu'à Tune ou à Tautre de ces deux alternatives : — ou Tinfini existe, — ou Terreur subsiste; — il n'y a pas logiquement de milieu. La première opinion fut professée par les frères Bernouilli et par Fontenelle, la seconde par Buffon au dix-huitième siècle et dans le nôtre par le mathématicien philosophe Auguste Comte.

L'argumentation de Jean Bernouilh était certes de nature à embarrasser l'auteur du nouveau calcul. « Si vous admettez, lui disait-il, qu'une série convergente, sommable, de termes décroissants à Tinfini suivant une certaine loi, existe réellement, il est nécessaire que tous ces termes existent et avec eux le dernier de tous, qui est donc un infiniment petit réellement donné ; et de même pour une série croissante, à commencer par celle des nombres naturels 1,2,3,4 S'il existe

l'indéfini et la quantité infinitésimale 185

une infinité de ces termes, il doit en exister un infinitième, par la même raison que dix exigeraient le dixième en rang des dix, et cent le centième en rang des cent... Et Tinfinitième à son tour ne marque pas une limite, puisque tout nombre peut incontestablement être augmenté d'une unité et de deux, et de trois... C'est seulement une série nouvelle qui commence, toute formée des nombres infinis de grandeur, et le cas est analogue pour le décroissement et les infinis de petitesse *. »

« Fontenelle, dit Renouvier, admit, comme Bernouilli, l'existence réelle du nombre infini après les nombres finis, puis des nombres infinis à la suite du premier d'entre eux, puis des nombres infinis du second ordre que la logique oblige à considérer par rapport à ceux du premier, quand on a une fois considéré ceux-ci par rapport aux nombres ordinaires et finis. Comme il n'y a pas moyen de s'arrêter dans cette voie, on arrive à une infinité d'infinis successifs et à une infinité d'infinités d'infinités... ce qui ressemble à une gageure ridicule. Même phénomène mental dans Tordre de la descente. U y a des lois géométriques, démontrées, indéniables, qui obligent à poser telle quantité variable comme décroissante comparativement à une seconde quantité, dans le même rapport que celle-ci, décroit comparativement à une troisième; il suit de là que si la seconde devient infiniment petite par rapport à la troisième, la première doit de toute nécessité devenir infiniment petite par rapport à la seconde, qui est déjà infiniment petite. Si l'on attribue la réalité à Tinfiniment petit, il faut également l'attribuer à Tinfiniment petit du second ordre, et puis à celui du troisième ordre en vertu d'un raisonnement semblable, et cela sans fin ^ »

On peut s'étonner de voir Bernouilli et Fontenelle admettre, au nom même et en vertu de l'hypothèse de Leibniz, la réalité du nombre infini. Cependant si Ton se place un moment au point de vue du grand métaphysicien, on com-