Critique philosophique, loc, citât

prendra que leur opinion a sa raison d'être. Que dis-je ? Dans cette donnée, elle est seule intelligible. L'arithmétique est, on le sait, un système de notations abstraites : ses nombres servent à représenter les fractions de l'étendue ou les phases successives du mouvement. Que la série :

ait pour limite le nombre 2, c'est ce qu'il est aisé de concevoir, si Ton subordonne ridée de l'indéfini àoelle de son terme nécessaire, le nombre indéterminé des divisions possibles de l'étendue ou des étapes possibles du mouvement, à la notion d'une borne dont l'absence dans la réalité en soi serait absolument inintelligible. L'infinité d'une série conçue comme elle l'est d'ordinaire dans la méthode des limites n'est donc qu'une infinité provisoire et virtuelle ^ Mais, du moment où l'on substitue à cet infini limité l'infinitésimal sans limites, la question change de face. Si l'on croit pouvoir, en vue d'éviter toute chance d'erreur dans les calculs, assimiler l'incomparable décroissant au terme dont il approche toujours, on franchit une distance par définition infranchissable, on épuise l'infini. En conséquence, il faut admettre, pour représenter la somme des divisions parcourues, l'existence réelle d'un nombre infini et celle d'un nombre infinitième répondant au dernier terme de cette somme ; l'arithmétique doit traduire dans son vocabulaire propre les événements qui se

1. Dans une série arithmétique, comme ceUe que nous venons d'indiquer :

1 + Y + y + "8-, etc.,

il est clair que l'idée de limite ne s'impose qu'en vertu des souvenirs de sciences moins abstraites, comme la géométrie et la mécanique. Si ces souvenirs étaient totalement effacés, on pourrait soutenir que l'idée de la limite 2, par exemple, n'existe pas. En effet, une limite qui ne peut être atteinte n'est pas une limite. — On pourrait la concevoir, répond-on, comme une chose dont on approche toujours. — Il est impossible d'approcher d'un terme si l'on ne doit finalement l'atteindre; dans l'infini, on n'approche pas; le mouvement même est con^adictoire.

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passent au-dessous d'elle, à une moindre distance de la réa* llté véritable, en géométrie et en mécanique.

Ce n'est pasjout. Dans la méthode objective que nous avons analysée la première, l'idée de limite absolue engendre et explique parfaitement Tidée de limite relative. On conçoit sans difficulté l'existence de certaines grandeurs étagées les unes au-dessus des autres et séparées les unes des autres par des séries d'insensibles transitions, indéterminées pour nous, déterminées en elles-mêmes. De la grandeur génératrice à la grandeur engendrée, il existe un intervalle que comble seule la loi de génération ; or c'est précisément cette loi de génération qui nous échappe ; en conséquence, autant d'intervalles semblables , autant, d'infinis , mais d'infinis de convention auxquels il est aisé de donner un sens compatible avec celui de limite. Plaçons-nous maintenant au point de vue de Leibniz. Chacune des quantités en question doit être réellement séparée par l'infini de celle qui la précède ou qui la suit. £n effet, chacune des séries qui servent de transition de l'une à l'autre devient dans Vhypothèse de l'infinitésimale ttne série sans fin qui néanmoins s' achève^ bref un infini qui se réalise. Dès lors, l'arithmétique est tenue de représenter par des symboles appropriés cet étrange phénomène ; il faut admettre des nombres infinitièmes du premier, du second, du n*" degré, ainsi que le demandent Bernouilli et Fontenelle. Ces deux mathématiciens, on ne saurait trop le répéter, n'ont fait que pousser à sa limite logique l'hypothèse de Leibniz, et, s'il en résulte des conséquences d'une absurdité palpable, c'est moins la faute des interprètes, dont les déductions sont rigoureuses, que celle de la théorie qui, les portant en son sein, devait successivement les produire au jour, comme la monade, la série continue de ses progrès.

La contradiction du nombre infini est si grossière, qu'un certain nombre de savants n'ont voulu voir dans la méthode de Leibniz qu'une méthode de simple approximation ; autre erreur, car la méthode réussit, et elle ne peut réussir, que si elle est absolument exacte. Ce n'est pas l'algorithme, valable,

on le verra, pour des raisons spéciales, c'est la théorie qu'il eût fallu critiquer. Quoi qu'il en soit, ni Buffon au xyiip siècle, ni plus tard Auguste Comte n'ont consenti à admettre que l'intervalle qui sépare l'incomparable de sa limite pût être comblé, et cette répugnance fait honneur à la rigueur de leur esprit. Ils affirment donc que, en prenant l'un pour l'autre, on commet nécessairement une erreur, et, que par suite la théorie infinitésimale ne fonde qu'un calcul d'à peu près. Buffon, après avoir établi que l'épuisement de l'infini est impossible *, essaye de montrer que les formules de la nouvelle notation ne seraient exactes que si Tinfini était réellement épuisé, et il en conclut que la méthode qui s'autorise du nom de Leibniz n'a rien de commun avec la vieille exactitude mathématique. Comte, citant la phrase célèbre dans laquelle Leibniz demande qu'il soit permis de négliger les infiniment petits ou incomparables vis-à-vis des quantité finies, comme des grains de sable par rapport à la mer, se fait de ce texte une arme contre la rigueur de la théorie qu'il critique, et va jusqu'à accuser son illustre adversaire de n'avoir entrevu que vaguement les véritables fondements de l'analyse. « Il est impossible, dit-il, de prévoir à quel point les opérations successives peuvent grossir ces erreurs premières dont l'accroissement pourrait même ainsi devenir quelconque. »

Nous ne savons ce que répondrait à une objection aussi précise et aussi nettement formulée un partisan des incomparables. Quant à la comparaison de Leibniz, il se peut qu'elle n'ait d'autre but que de rendre sa pensée accessible au vul-

1. Buffon critiqua sévèrement l'hypothèse du nombre infini. « Il paraît, dit-il, que les nombres doivent, à la fin, devenir infinis, puisqu'ils sont toujours susceptibles d'augmentation. A cela je réponds que cette augmentation dont ils sont susceptibles prouve évidemment qu'ils ne peuvent être infinis. Je dis de plus que, dans ces suites, il n'y a point de dernier terme, que même leur supposer un dernier terme c'est détruire l'essence de la suite qui consiste dans la succession de termes qui peuvent être suivis d'autres termes, et ces autres termes encore d'autres, mais qui tous sont de la même nature que les précédents, c'est-à-dire tous finis, tous composés d'unités. Ainsi, lorsqu'on suppose qu'une suite a un dernier terme, et que ce dernier terme est un nombre infini, on va contre la définition du nombre et la loi générale des suites. »

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gaire;il est certain toutefois que, si Tinfini ne s'épuise pas, la quantité infinitésimale n'est jamais annulée, et que par conséquent l'erreur subsiste, fuyante, mais réelle. La comparaison des grains.de sable a donc dû s'offrir d'elle-même à la pensée du grand métaphysicien, parce qu'elle a dans sa théorie une raison d'être ; nous ne ferons qu'une réserve : Les grains de sable constituent une quantité fixe dont il serait par conséquent toujours possible de déterminer le rapport à une autre quantité fixe, si grande qu'on l'imagine, tandis que l'incomparable varie arbitrairement entre une grandeur donnée et zéro, zéro exclu. L'erreur, dans la doctrine de Leibniz, est donc arbitraire, au lieu que dans la comparaison qu'il emploie, elle est déterminée et toujours la même. Mais une erreur arbitraire n'est point une erreur nulle, surtout si l'on pose en principe qu'elle ne peut, de diminution en diminution, atteindre la limite inférieure qui est zéro. C'est ce que ne voit pas le philosophe. Dans le passage relatif aux grains de sable, il dit textuellement : « J'ai donné un jour des lemmes des incomparables dans les actes de Leipzig, qu'on peut entendre comme on veut, soit des infinis à la rigueur, soit des grandeurs seulement qui n'entrent point en ligne de compte les unes au prix des autres. » Au point de vue de la théorie pure, cependant, comment confondre des infinis véritables parce qu'ils sont rigoureux, avec des infinis qui ne le sont pas ? Dira-t-on que dans cette dernière hypothèse le calcul d'approximation est au moins un calcul d'approximation indéfinie, faute, pour l'analyste, de pouvoir assigner un terme à l'erreur? La réponse est facile. C'est justement parce qu'on ne peut assigner de terme à l'erreur que l'erreur subsiste; c'est parce que l'approximation est indéfinie que c'est toujours une approximation et rien de plus. Soutenir, pour échapper à cette conséquence, que, de division en division, la grandeur infinitésimale s'élimine d'elle-même, c'est, nous l'avons dit, heurter un autre écueil, c'est, après s'être soustrait au reproche d'inexactitude, encourir celui de contradiction. Encore une fois, comment expliquerat-on que la grandeur décroissante parcoure un intervalle in-

défini et l'épuisé? Dans la méthode des limites, je sais ou du moins je pressens que ce qui est "pont moi indéfini Gét fini en soi ; or un intervalle fini, dlôfs même qu'il rtie sêlpsût inconnu, peut toujours être épuisé. Ici, au contraire, nulle arrière-pensée; sortir de la quantité, c'est sortir de l'Hypothèse; la limite n'est plus au terme d'une série subjectivement indéterminée, mais d'une série telle qu'il implique contradiction qu'on Tachève ; dans une pareille donnée, il est clair que l'assimilation de l'incomparable à sa limite, assimilâtioii pourtant nécessaire, lorsque l'on tient à purger une formule de toute erreur, réalise le nombre infini. Nous n'échappons aux objections de Buffbn et d'Auguste Comte que pour admettre, avec Bernouilli et Fontenelle, l'existence d'un infini de quantité dont l'impossibilité logique n'est plus à démontrer aujourd'hui. Comment donc expliquer que l'analyse infinitésimale réussisse? Les faits lui donnent raison; est-il possible que ta logique lui donne tort ? On va le voir, le succès des procédés qu'employait Leibniz est dû à de toutes autres raisons que celles qu'il croyait devoir invoquer; les opérations de l'algorithme donnent à sa méthode, sans qu'il paraisse en avoir suffisamment démêlé la cause, toute la valeur et toute la portée de la méthode des limites, la seule qui soit théoriquement valable. Après Archimède, Galilée, Cavalieri, Newton, Leibniz ne fait donc, sous couleur d'opposition, que prêter à cette méthode une forme nouvelle et la mettre en un nouveau jour; c'est du moins ce que nous nous proposons d'établir. Si nous parvenons à rendre sensible aux yeux cette admirable unité, nous n'aurons pas seulement travaillé, pour notre modeste part, à une justification de la raison pure, de cette raison tant critiquée qui pourtant se montre toujours d'accord avec ellemême ; nous aurons montré que c'est la notion métaphysique de limite qui vivifie à la fois le calcul ordinaire et le calcul infinitésimal ; que la mathématique enfin ne vaut avec tous ses procédés et sous toutes ses formes que par un souvenir du concret et de l'absolu, que par une vérité importée du monde de la quantité en soi dans le monde imaginaire du savant.

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Venons au fait. La raison véritable du succès de l'analyse avait été entrevue par notre immortel Descartes lorsqu'il se proposa de fonder sur un principe solide son calcul des indéterminées. Nous ne l'avons point oublié, le géomètre philosophe établit qu'une quantité arbitraire en relation avec une quantité fixe d'une part, et zéro de l'autre, devient fixe elle-même et atteint sa limite. Cette vérité r^oureusement démontrée n'est qu'un cas particulier de la loi suivante, non moins certaine :

Toute quantité arbitraire en relation avec des quantités constantes perd, par ce seul faitj ce qu'elle a en soi de mobile et d'indéfini^ et doit être portée mentalement à la limite de sa décroissance ou de son progrès.

Nous nous proposons d'établir la légitimité de cette loi en empruntant à l'un des plus fidèles interprètes de la pensée de Descartes, à l'auteur des Réflexions sur la metaphysique du calcul infinitésimal la remarquable démonstration qu'il en donne :

« Pour atteindre le but, la preuve doit franchir plusieurs stades successifs. Nous n'avancerons donc que pas à pas.

« I. Posons d'abord en principe que deux quantités non arbitraires ne peuvent différer que d'une quantité non arbitraire.

a En effet , les deux quantités proposées n'étant pas arbitraires, on ne peut rien changer ni à l'une ni à l'autre, et par suite on ne peut rien changer à leur différence ; donc cette différence n'est point arbitraire ^

(c II. Si cette première proposition est vraie, la proposition suivante l'est également :

a Deux quantités non arbitraires sont rigoureusement égales entre elles, du moment que leur différence prétendue peut être aussi petite qu'on le veut.

« En effet, soient P et Q, les deux quantités non arbitraires proposées; nous venons devoir que leur différence ne saurait être arbitraire : elle ne peut donc être supposée aussi petite qu'on le veut, ce qui est contre l'hypothèse; donc cette pré-