Carnot, ibid.^ loc. citât

'2. Carnot, Hnd.

l'indéfini et la quantité infinitésimale 193

notre imagination; en réalité, elles se réduisent à zéro, parce que les relations que la grandeur mobile entretient avec la grandeur fixe ont précisément pour effet de pousser la première à sa limite. Disons donc que les incomparables, très utiles en vue de fixer la pensée du calculateur et de lui fournir un schème sensible, deviennent nuls, en vertu non de leur définition, mais de leurs rapports. On ne fait, en définitive, qu'écarter une fiction et que rentrer dans la vérité des choses, lorsque, le calcul auquel ils sont nécessaires une fois teripiné, on les supprime; et cette suppression peut se faire aussi impunément que s'il s'agissait du zéro de Fermât ou des zéros de Gavalieri et de Newton; que dis-je? Il est logiquement indispensable qu'elle ait lieu; autrement, la limite revêtirait l'apparence de la grandeur et troublerait ainsi le résultat définitif. Bref, les infiniment petits peuvent être introduits, mais il est de toute nécessité, si Ton tient à obtenir une formule exacte, qu'on les retranche.

Pour mettre la théorie en pleine lumière, prenons un exemple, celui de la tangente, auquel nous avons de nouveau recours, parce qu'il est à la fois d'une extrême simplicité et d'une portée considérable, et traitons d'abord le problème au point de vue de Leibniz.

On propose de mener une tangente au point donné M de la circonférence MBD (voir fig. 5, p. 194).

Soit G le centre du cercle, DGB Taxe; supposons l'abscisse DP = x, l'ordonnée correspondante MP = y, et soit TP la sous-tangente cherchée.

Pour la trouver, considérons le cercle comme un polygone d'un très grand nombre de côtés. Soit MN un de ces côtés. Prolongeons-le jusqu'à Taxe. Ge sera évidemment la tangente en question, puisque cette ligne ne pénétrera pas dans l'intérieur du polygone. Abaissons de plus la perpendiculaire MO sur NQ parallèle à MP, et nommons a le rayon du cercle. Cela posé, nous aurons évidemment:

MO tp^ TV NO ~ MP ■" y •

D'autre part Téquation de la courbe étant pour le point M, yy = 2 a X — XX, elle sera pour le point N :

Fig. 5

l'indéfini bt la quantité infinitésimale 195

(y + -N0)2 = 2 a (a? + MO) = (a? -f M0)«.

Otant de cette équation la première trouvée poiy le point M, et réduisant, on a :

MO 2y + no

NO ■" 2a — 2x — MO '

Egalant donc cette valeur de ^q à celle qui a été trouvée ci-dessus et multipliant par y, il vient :

y (2y + NO) ^^^ — 2a — 2a? — MO'

Si donc MO et NO étaient connues, on aurait la valeur cherchée de TP; or ces quantités MO, NO sont très petites, puisqu'elles sont moindres chacune que le côté MN, qui par hypothèse est lui-môme très petit; donc on peut négliger sans erreur sensible ces quantités par rapport aux quantités 2y et 2x — 2a auxquelles elles sont ajoutées. Donc l'équation se réduit à :

TP = — ^ a — X

ce qu'il fallait trouver *.

Raisonner ainsi serait raisonner conformément à la théorie de Leibniz ; or il arrive en fait que non seulement l'erreur n'est pas sensible, mais qu'elle est absolument nulle. L'équation

est de la plus parfaite exactitude, et c'est l'équation dans laquelle entrent les infiniment petits MO et NO qui serait inexacte si on leur donnait une valeur quelconque. On peut s'assurer aisément de l'exactitude de l'équation purgée d'infiniment petits, en cherchant TP d'après le principe que la tangente est perpendiculaire à l'extrémité du rayon ; car il est visible que les Ijriangles semblables CPM, MPT donnent :