DÉFINITIONS PRÉLIMINAIRES ET DIVISION GÉNÉRALE DU SUJET

10 Définitions des termes indéfini et infini. — Jusqu'à quel |>oiDt il importe, avant toute discussion, de circonscrire exactement ce^ idées.

2" L'indéfini et Tinfini soit en grandeur soit en petites?!». — Quelles sont les quantités que ces termes peuvent qualifier.

Énoncé de la thèse et plan général.

10 Dans le réel ou le physique, Tinfini de prandour ou de petitesse est contradictoire, le fini seul est concevable. — Nécessité d'établir cette proposition : l^ en ce qui concerne la matière; 2* en ce qui concerne le lieu, la durée et le mouvement considérés comme quantités objectives. — Ëçi quel sens ou peut dire que les quantités de ce second groupe sont réelles.

2» Dans l'abstrait ou le mathématique, l'infini n'est qu»» l'indéfini. — Pourquoi? — Les quantités précédentes, y compris la matière, peuvent toutes être pensées, abstraction faite de certaines exigences extérieures ci objectives. — L'entendement leur impose alors sa loi propr»*, qui, dans l'abstrait, est celle de l'indéfini.

Commençons par fixer la signification des termes. Fini veut dire borné, et le sens de ce mot est si clair que, lorsqu'on remploie, nulle confusion n'est à craindre. Infini au contraire signifie sans bornes; mais ici l'équivoque est facile. Sans bornes veut dire, en effet, tantôt sans limites fixes, tantôt sans limites, quelles qu'elles soient. Une quantité en progrès continu est sans bornes, en ce sens qu'aucune limite précise ne la détermine; une quantité qui aurait atteint la limite des progrès possibles serait aussi sans bornes, mais à un titre supérieur. Voilà pour le même mot deux significations distinctes et opposées, l'une négative, l'autre positive. Ici, la pauvreté relative que nulle addition d'être ne pourra

combler; là, au contraire, la suprême richesse. D'une part, le besoin d'acquérir, de se développer sans cesse; de l'autre, la plénitude qui rend tout développement inutile et même impossible *.

Deux notions aussi distinctes doivent être caractérisées par des termes différents. Infini signifiera pour nous achevé ou sommé : achevé, s'il s'agit d'un être, sommé, s'il s'agit d'une quantité. Ainsi le nombre infini, s'il existe, sera à nos yeux le nombre limite, le nombre qui enveloppe tous les autres, sans être enveloppé lui-même par aucun. Le terme indéfini, au contraire, désignera toujours cette forme fuyante de la quantité qui s'accroît sans cesse sans que l'accroissement final soit jamais acquis.

D'après ce qui précède, le Fini et, s'il existe, l'Infini véritable, ne seraient pas sans analogie. L'idée de limite fixe semble convenir à l'un et à l'autre ; mais, appliquée au Fini, l'idée de limite équivaut à l'idée de borne ou de défaut; appliquée à l'Infini, elle marquerait plutôt l'achèvement ou la perfection; la limite, dans ce dernier cas, serait, non la limite de l'être, mais la limite des limites.

Revenons à l'opposition fondamentale de Tlndéfini et de rinfini. L'un et l'autre se développent soit dans le sens de la grandeur, soit dans celui de la petitesse. Cette distinction, entrevue par Platon 2, est devenue depuis familière aux savants et aux philosophes : de là les termes d'infiniment petit et d'infiniment grand.

L'Infiniment petit, au sens rigoureux du mot, peut se concevoir comme absolu ou comme relatif. — Absolu, c'est le néant pur, car la limite des diminutions possibles est zéro. — Relatif, c'est l'extinction de telle quantité, non de toute quantité. Un angle infiniment petit, par exemple, ne serait plus un angle ,

1. Il est bien entendu quUci nous faisons abstraction de la possibilité intrinsèque du nombre infini. Il ne s'agit, pour le moment, que de fixer avec exactitude le sens des termes.

2. nxàxwv ôuo zoL àneipa eTcoiricrsv, oxi xat eut ttjv a'j^r,v ôoxst Cirspêa/Asiv, xal el; oÎTtetpov Uvai, xa\ ItcI Trjv xaOafpeaiv. {Phys., liv. III, ch. viii.)