TP

y (2y + NO) 2a — 2x — MO'

approximative en apparence, est déjà exacte en soi, pourvu que l'on sache l'interpréter et regarder comme nulles les valeurs fictives MO et NO, qui, d'une part, indéfiniment décroissantes, sont, d'autre part, ajoutées à des quantités fixes

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ou retranchées de ces mêmes quantités. Fondés sur le principe même de la méthode des indéterminées, nous ne voulons lire sous les quantités arbitraires MO, NO que le zéro de Fermât, ce zéro représentant exactement, pour nous, l'état d'un infiniment petit que ses rapports avec des grandeurs constantes ont poussé à sa limite. Les métaphysiciens du calcul infinitésimal ne s'y sont pas trompés; ils ont fait voir, Lagrange entre autres, que, en substituant leurs infiniment petits ou leurs incomparables au zéro dont nous parlons, Barrow * et Leibniz n'avaient guère créé qu'un système nouveau de notation. Rien ne nous semble plus certain. Le schème seul diffère; la valeur exprimée reste la même, c'est-à-dire absolument nulle.

Que voulons-nous dire en effet lorsque nous posons la première équation"? Que les côtés du polygone doivent être aussi petits que possible pour que cette équation soit exacte? Soit; mais, dans le cas où toutes les valeurs corrélatives sont déterminées, où il est entendu, par exemple, que la tangente existe, qu'on l'a enfin rencontrée, la décroissance des côtés MO, NO ne peut plus être considérée comme indéfinie, et l'expression « aussi petits que possible » n'a plus qu'un sens, celui de limite. Si donc nous laissons subsister, dans la formule primitive, des apparences de quantités, comme MO, NO, c'est avec l'arrière-pensée d'en purger la formule finale et d'annuler en fait ce qui en droit est déjà nul sous un schème de convention.

Carnot affirme que, en retranchant de l'équation définitive les infiniment petits, on supprime une cause d'erreur; nous dirions plutôt une occasion ou un prétexte d'erreur, car enfin on n'a le droit d'éliminer les infiniment petits que parce que déjà ils ne comptent plus comme quantités. Dans le problème de la tangente, par exemple, la formule finale est moins, à notre sens, la formule primitive rectifiée que cette même

i. Barrow, 1630-1677, maître de Newton. 11 montra combien l'analyse moderne diffère peu de la méthode d'Archimède et simplifia la méthode de Fermât.

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formule exprimée comme elle doit l'être lorsqu'on donne aux termes MO et NO leur valeur exacte. Descartes a donc, si nous ne nous trompons, pénétré au cœur de la théorie ; c'est une pensée de notre immortel géomètre qui doit réconcilier Leibniz et Newton,

Si nous avions maintenant à répondre aux objections qui furent adressées à Leibniz et aux partisans de son algorithme, il nous semble que nous le ferions sans trop de peine.

— Le procédé infinitésimal est-il un procédé d'approximation ?

— Nullement; les faits sont pour nous, ils attestent que nos formules sont d'une exactitude rigoureuse; l'algèbre ordinaire conduit à des résultats absolument identiques à ceux que nous obtenons par le calcul de Finôni.

— Mais alors, l'erreur réduite à zéro, la quantité infinitésimale a atteint sa limite, et, comme cette limite est à l'infini, il faut que l'inépuisable ait été épuisé. Flagrante contradiction !

— La contradiction est inévitable, nous l'avouons, si l'on ne tient compte que de la quantité infinitésimale ; considérée en elle-même, isolée de tout rapport, une telle quantité ne peut atteindre le terme de ses divisions possibles; mais ce n'est là qu'un élément du problème, et le problème veut être posé avec toutes ses conditions. Or voici une de ses exigences : la quantité infinitésimale se trouve en relation avec des quantités fixes; dès lors elle s'annule, non pour des raisons intrinsèques ou résultant de son essence même, ce qui impliquerait en effet une contradiction formelle, mais pour des raisons nouvelles et tout extérieures, qui tiennent à l'introduction de grandeurs constantes, et corrigent, en la restreignant, la définition de l'infiniment petit. La quantité qui d'elle-même, et en obéissant aux seules lois de sa nature, décroîtrait sans cesse, voit, par suite d'un obstacle venu du dehors, se terminer sa décroissance; la théorie de Leibniz est ainsi ramenée à la théorie de ses devanciers. En tout état de cause, il faut admettre, d'une part, une grandeur qui ne se

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refuse à aucune division et qui, considérée en elle-même, diminuerait à Tindéfini; de Fautre, une limite directement ou indirectement imposée à cette grandeur; directement^ si Ton pose en principe que l'absolu est au terme du relatif, c'est le cas d'Archimède, de Cavalieri, de Newton ; indirect tementy si Ton dissimule derrière des quantités fixes qui l'impliquent, l'intervention nécessaire du même absolu, c'est le cas de Leibniz et de tous ceux qui ont adopté ou adoptent la méthode infinitésimale.

En définitive, cette pensée de derrière la tète que nous avons surprise chez tous les devanciers de Leibniz, cette idée absolue de limite, nécessaire à la science, Leibniz crut pou« voir s'en passer; mais ses calculs étaient disposés de telle sorte qu'elle y pénétrait à son insu et malgré lui, corrigeant secrètement les erreurs que sa théorie eût laissé s'y introduire. Phénomène étrange! Les procédés du philosophe n'étaient rigoureux qu'au nom même et par la vertu efficace d'un principe qu'il aurait voulu proscrire * î

Nous avons cherché à concilier les divers systèmes en les ramenant à une pensée unique. Il n'est pas jusqu'aux concep* tiens plus modernes de Lagrange qui ne s'expliquent, semblet-il, par le principe que nous avons invoqué. Lagrange, on le sait, écarte de parti pris toute considération d'évanouissants, de limites, de fluxions et même d'infiniment petits, pour n'admettre dans ses calculs que des quantités finies. Les difl'érentielles sont simplement des grandeurs très petites ; elles ont toutefois un caractère spécial qui permet de les distinguer des grandeurs ordinairement employées dans le calcul : elles demeurent toujours indéterminées^ de sorte que, pendant tout le cours des opérations, on reste maître, ainsi que le fait re-

1. Est-il besoin de faire observer que les considérations qui précèdent expliquent l'annulation réelle, et par suite la suppression légitime d'un infini d'ordre quelconque comparé à un infini d'ordre supérieur? Une variable ne peut indéfiniment décroître que par rapport à un terme fixe, sans quoi, sa décroissance serait inintelligible ; or ce terme fixe est Tinfini d'ordre supérieur qui, en vertu des principes précédemment posés, doit l'annuler.

marquer Carnot, de les rendre aussi petites que l'on veut, sans rien changer à la valeur des quantités dont on cherche la relation. Au fond, il n'existe entre ce point de vue et celui auquel s'était placé Leibniz aucune différence essentielle, un incomparable étant de toute nécessité, à un moment queU conque de son progrès, une quantité finie. Leibniz insiste sur la loi de décroissance indéfinie de la quantité arbitraire ; Lagrange cherche plutôt à mettre en lumière ce fait qu'une telle décroissance n'est possible que par une série de moments, et qu'à chacun de ces moments répond une grandeur toujours plus petite, mais toujours finie. Lagrange semble donc avoir conçu les infiniment petits de Leibniz avec plus de netteté que Leibniz lui-même, qui les avait qualifiés beaucoup moins pour ce qu'ils sont en réalité à chaque étape que pour ce qu'ils pourraient être s'ils passaient sans fin de l'une à l'autre.

« Il est facile, dit Carnot, de remarquer l'analogie qui existe entre la théorie des fonctions analytiques et celle du calcul infinitésimal.... En effet, les différences prises sans rien négliger, comme on le fait dans la théorie des fonctions analytiques par la formule de Taylor, sont des séries. Or, comme l'observe Lagrange lui-même, tous les problèmes dont la solution exige le calcul différentiel dépendent uniquement du premier terme de chacune de ces séries, et toutes les méthodes n'ont d'autre but que de détacher et d'isoler, pour ainsi dire, ce premier terme du reste de la série. Le calcul différentiel ordinaire remplit immédiatement son objet, en négligeant tous les autres, comme s'ils étaient nuls.... Dans la théorie des fonctions, on les fait réellement entrer dans l'expression des conditions du problème, et on les dégage ensuite par diverses transformations, fondées sur ce que tous ces termes ont pour facteur commun un accroissement de variable qu'on est maître de supposer aussi petit qu'on veut, tandis que le premier terme delà série reste indépendant. »

Il résulte de cet exposé que dans le calcul des fonctions, aussi bien que dans le calcul infinitésimal, c'est le principe de

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Descartes qui fonde la légitimité des procédés, et le principe de Descartes n'est qu'un appel à l'idée de limite.

Résumons-nous : la quantité mathématique renferme deux éléments : l'un, relatif, répond à son contenu et mérite le nom d'infini, parce qu'il est pour nous souverainement indéterminé; l'autre, absolu, sert de terme et d'origine à la grandeur. L'analyse infinitésimale fait appel à ces deux notions, qui lui sont également indispensables, parce qu'elles sont toutes deux essentielles; cependant elle ne les met pas toujours en une égale lumière : de là deux méthodes, l'une objective, qui tient compte de l'idée de limite; l'autre subjective, qui se fixe ou prétend se fixer dans la quantité décroissante. Au fond, nous l'avons vu, ces deux méthodes n'en font qu'une, car la grandeur mathématique veut être analysée tout entière, contenant et contenu ; toute abstraction qui élimine l'un de ces termes est violente : à l'insu même de l'opérateur, le facteur éliminé reprend sa place, et corrige, sans que d'abord on s en aperçoive autrement que par le résultat, les calculs que son absence eût faussés.

La mathématique et la physique, qui semblent d'abord si opposées, sont loin d'être étrangères l'une à l'autre. La grandeur réelle prête à la grandeur abstraite le plus important des deux éléments qui la constituent, la limite. Le contenu des choses nous échappe, nous n'en saisissons que le dessin : ce dessin, à la vérité, comme tout ce qui est absolu, ne peut être représenté aux yeux : nul n'imaginera jamais la surface, la ligne ou le point; c'est pour cela même le plus sûr de notre science.

Ce qui passe et passera toujours notre intelligence finie, c'est la loi de génération qui, dans le réel, ajoute l'élément à l'élément et crée ainsi les divers degrés de la grandeur ; mais telle est l'industrieuse activité de la raison, qu'elle réussit dans une certaine mesure à compenser cette ignorance fatale. Le champ de l'indéterminé, ouvert devant elle, paraissait devoir être à jamais stérile : elle l'exploite, en y multipliant à rinfini ses points de repère, qui par là deviennent

aussi voisins qu'on le désire des points de repère véritables; le calcul infinitésimal n'a pas d'autre objet : qu'il différencie ou qu'il intègre, il propose une méthode de génération toute subjective, mais ajustée, dans la mesure de nos moyens, à la réalité des choses. Le miracle de la science humaine , c'est d'avoir su adapter l'infini et le continu de la pensée au fini et au discontinu de la nature.