PARTIE THÉORIQUE

L'influence du fluide entraîné sur le mouvement d'un pendule de torsion a été très souvent utilisée pour la détermination du coefficient de viscosité des gaz.

O. Meyer [22, 23] fit l'étude mathématique de ce problème et utilisa pour cela un disque oscillant dans un milieu illimité. Maxwell [24] chercha à préciser les conditions en faisant osciller un ou plusieurs disques entre des plans fixes.

Depuis lors, de nombreux travaux ont été entrepris avec l’une ou l’autre méthode, le corps oscillant étant de formes variées (disque, sphère, cylindre). La bibliographie complète de ces travaux a été publiée par Pedersen [25], Reynolds [26] et Vogel [27]. Parmi les travaux contemporains il convient de citer ceux de Itterbeek et de ses collaborateurs [28 à 33), qui ont déterminé par la méthode de Maxwell la viscosité d’un certain nombre de gaz aux très basses températures et en fonction de la pression.

Dans tous les cas, la viscosité se mesure à partir de l’amortissement du mouvement du pendule dans le fluide étudié. La détermination de la période n’est nécessaire que pour le calcul du moment d'inertie de l'équipage mobile, ou parce que sa valeur est

utilisée dans l’expression donnant le coefficient de viscosité ; la détermination rigoureuse de la période n’est pas indispensable. Hoare [34] a tenté, sans succès d’ailleurs, de mesurer la viscosité des liquides à partir de la période d’un pendule de torsion.

Brillouin [45] a montré les difficultés de la théorie, et l'absence de solutions simples et rigoureuses même dans les cas les plus élémentaires : oscillations d’un plan ou d’une sphère.

Le but de la présente recherche est différent et le problème peut être posé de la facon suivante : un disque de rayon R et de hauteur L oscillant d'un mouvement sinusoïdal autour de son axe, dans un espace illimité, ou limité par une enceinte extérieure, mesurer l'influence du milieu entraîné sur la période d’oscillation.

Il faut remarquer d'emblée que, du point de vue expérimental, les déterminations demandent une grande précision. Dans la présente étude, par exemple, la précision des mesures est de l’ordre du centmillième et la variation relative de la période dans les conditions ordinaires, de l’ordre du dix-millième. L’approximation des mesures est donc d'environ 100/ dans les cas défavorables.

Pour cette raison, la théorie supportera certaines approximations et la mise en équations du phénomène s’en trouvera simplifiée.

Les auteurs cités plus haut n'ont, en général, pas relevé cet aspect du problème. Cependant Bouasse [46] à fait les approximations qui lui ont permis de calculer l'influence du milieu entraîné sur la période Nous extrairons l'essentiel de ses calculs en les complétant, étant entendu qu'ils ne sauraient être considérés comme rigoureux. Dans bien des cas, la théorie sommaire rend suffisamment compte des résultats expérimentaux.

Dans l'étude mathématique qui suit, les oscillations du pendule de torsion seront toujours supposées sinusoïdales, non amorties, le pendule oscillant librement.

Quatre cas seront successivement envisagés :

1. Disque infiniment mince oscillant autour de son axe dans un milieu illimité.

2. Cylindre infiniment long oscillant autour de son axe dans un milieu illimité.

Ces deux cas permettront de calculer l'influence du fluide sur la période d’un disque d'épaisseur finie oscillant en milieu illimité.

3. Disque infiniment mince oscillant autour de son axe à faible distance d’un plan fixe.

4. Cylindre infiniment long oscillant autour de son axe concentriquement à un cylindre fixe de rayon un peu supérieur.

Ces deux derniers cas s’appliqueront à un disque de hauteur finie oscillant dans une enceinte fermée l’enveloppant complètement (milieu limité).

Dans les cas 1 et 3 la théorie suppose un disque de rayon infini, le passage au disque de rayon fini se fait en négligeant l'influence des bords. De même, dans les cas 2 et 4 le passage au cylindre de longueur finie se fait en négligeant l'influence des bords supérieur et inférieur.

Premier cas. Disque infiniment mince, milieu jillimité [(46), pages 250 et 255].

Soient :

T : période d'oscillation du disque, 0 : élongation au temps #,

0, : amplitude,

{A : vitesse angulaire au temps #, : vitesse angulaire maximum,

R : rayon du disque.

On a :

CR DUT Ô— bjeinnt avecn —=-—— Q— 6j" n. cos nt — 9; cos nt

Le gaz entraîné par le mouvement du disque oscille en bloc dans des couches parallèles infiniment

minces avec une période égale à celle du disque. Mais les particules du gaz oscillent avec une amplitude qui décroît rapidement d’une couche à la suivante en s’éloignant du disque et avec un retard croissant par rapport au mouvement de celui-ci.

Soit w la vitesse angulaire d’une particule du gaz à une distance z du plan (z compté vers le bas).

Supposant nul le glissement du gaz au contact du disque :

O—— OM pour z — 10 et comme le milieu est illimité :

OO pour AE ©)

Soient encore : y : coefficient de viscosité du gaz, p : densité du gaz ; l'équation hydrodynamique relative au fluide est donnée par :

Cette équation est identique à celle de la conduction de la chaleur, elle amène à la solution :

en posant pour simplifier :

m A JP —A [TP il 27 nT

Le mouvement du gaz est donc sinusoïdal et amorti selon une loi exponentielle. Il existe un déphasage fonction de z égal à mz.

Calculons le couple supplémentaire agissant sur le disque et dû au gaz entraîné. La tension tangentielle qui agit sur la surface du disque est à distance re

formule découlant directement de la définition de la viscosité.

La force élémentaire sur le disque à la distance r vaut :

2rxrdrT et le couple élémentaire :

dé rr dril

En remplaçant T par sa valeur et en intégrant de O à R, le couple total sera :

nm Q, (cos nt — sin nt)

qui peut également s’écrire :

r R4 1 dQ C=— @ ie — 2 nm | Les)

Ce couple se compose de deux termes :

un terme proportionnel à la vitesse, il agit sur lamortissement ;

un terme proportionnel à l'accélération, il pro-

duit l’effet d’un accroissement du moment d'inertie du disque, il agira donc sur la période.

L'augmentation apparente du moment d'inertie du disque sera :

7 R° mm R‘ | D.

ns TI P 1 Ron

et en tenant compte des deux faces du disque : RE DEN nn IL

Si T : période dans le vide,

T': période dans l'air ;

C'est la variation de la période, due au gaz entraîné, d’un disque oscillant, infiniment mince, sans tenir compte de l'influence des bords.

Deuxième cas. Cylindre de hauteur L et de rayon R, milieu illimité [(46), page 269].

Un calcul analogue au précédent donne pour l’augmentation apparente du moment d'inertie :

A1, = RL Yrp1T ll

1 Cette formule a déjà été proposée par O.-E. Meyer [(22). p. 73].

L'augmentation apparente totale du moment d’inertie pour le disque de rayon R et de hauteur L vaudra (formules II et IID) :

SA 0 R° CG je 1 Ve nt

Enfin l'effet cherché sur la période d’oscillation du disque vaudra :

NN mr ARMOR Te Per Lio Ne) (Es en 2 SE sc

Troisième cas. Disque infiniment mince de rayon R, milieu limité [(46), page 260]. (Fig. 1)

Si h, distance du plan mobile au plan fixe, est assez petit (de l’ordre du millimètre), on peut supposer qu'il existe une décroissance linéaire de la vitesse du fluide entre les deux plans. Posant le glissement nul, on aura :

La vitesse d’une particule du gaz à la distance z sera dès lors :

avec : pour z

et pour eh D— 0

Pour évaluer l’action du gaz entraîné sur la période d'’oscillation du disque, il faut calculer son énergie cinétique. Dans ce but, on déterminera l'énergie cinétique d’un tore de rayon r d'épaisseur dr et de hauteur dz. L'énergie cinétique totale s’obtient par une double intégration :

qui donne en tenant compte des deux faces du disque :

x R* (2 énergie cinétique du gaz entraîné — cu th — Au même instant, l'énergie cinétique du disque est :

Tout se passe donc comme si le moment d'inertie du disque avait augmenté de la quantité :

AI, — ph VI

Quatrième cas. Cylindre de rayon R et de hauteur L oscillant concentriquement à un cylindre de rayon un peu supérieur [(46), page 270]. (Fig. 2)

Soit h la différence des rayons des deux cylindres:

Ce cas se traite comme le précédent, il n’y a qu'une seule variable r.

En supposant de nouveau une décroissance linéaire de la vitesse du fluide entre les deux cylindres, il vient :

L'énergie cinétique du fluide en mouvement vaudra :

[rŸ(R + h—7r)?] dr

x p L (2? | Be 3

EUR c'est-à-dire en négligeant les termes en h? en regard

des termes en h:

c (2 énergie cinétique du gaz entraîné — - rpLR°h Ai

d'où pour 4 Te

3 rpLR°h VII