AU CHEVALET

AD SILLET.

5o,ooo

Ut #

re #

fa #

7°>7ÏI

sol

sol a

la #

5o,ooo

*') Légalité des intervalles chromatiques de ce système d’échelle rend la table applicable aux cordes à vide de dénominations quelconques, en considérant chacune d’elles comme un ut de départ.

Cette table comprend deux octaves complètes, et on peut, sans avoir recours à la formule, lui donner une étendue arbitraire, attendu que les différences entre les nombres de la deuxième octave sont moitié des différences entre les nombres correspondants de la première octave ; qu’il en serait de même des nombres de la troisième octave par rapport à ceux de la deuxième, et ainsi de suite. (Cette égalité de différence peut être en défaut d’une unité de la troisième décimale, ce qui

tient à la suppression des décimales des ordres supérieurs, et n’est d’aucune conséquence pour les applications pratiques (*)).

(5o) J’ai à parler maintenant de la détermination du son

(*) Les instruments à manches et à divisions fixes n’ont pas toujours la justesse désirable ; je vais ajouter au moyen de division chromatique que fournit la table donnée dans le texte, deux procédés qu’on m’a engagé à faire connaître.

Le premier de ces procédés exige qu’on soit'muni d’un compas à quatre pointes, appelé compas de réduction , bien connu de ceux qui s’occupent des diverses espèces de tracés linéaires; mais celui dont il s’agit ici est d’une construction beaucoup plus simple et plus économique que les compas de réduction ordinaires. Comme il n’est destiné qu’à donner un seul rapport de longueur, l’axe de rotation des deux branches est fixe, et doit être placé de manière que le rapport constant entre fes distances des pointes de part

et d’autre de l’axe fixe soit celui de 1000

» : 943 — — ; les grandes branches

devront mesurer, sans faire entre elles un angle trop obtus, au moins 65o millimètres ( c’est la longueur assez ordinaire des cordes de guitare à vide), et si en établissant cette distance entre leurs pointes, les» deux branches opposées mesurent une longueur de 6i4'i”'i t, linstrument sera

sensiblement réglé ^à-^-de millimètre près^; et dans le cas où la vérification dont je parlerai tout à l’heure rendrait une petite correction nécessaire, on la fera aisément en usant tant soit peu les deux pointes dont la distance pécherait par excès.

Voici maintenant la manière de former un étalon de division chroma-

fixe. Sauveur s’étant occupé de cette question en l’année 1700, et ayant employé un moyen fort ingénieux (voyez le volume

tique pour un instrument donné, une guitare par exemple : ayant tracé une droite G D ( planclie ci-contre) sur une surface bien plane, on procédera ainsi qu il suit, savoir: i° on ouvrira les grandes branches du compas, que j’appellerai branches G, de manière que la distance entre leurs pointes soit égale à la longueur de la corde à vide, ou à la distance du chevalet au sillet, et on portera cette distance de C en S0, le chevalet étant censé en C, et le sillet en S0; 20 sans rien changer au compas, on le retournera, et plaçant une pointe des petites branches, que j appellerai branches P, au point C, on marquera, avec l’autre pointe, le point S,, qui sera la première division chromatique; 3° on prendra avec les branches G la distance C S, , et on portera avec les branches P la distance C S, pour avoir la deuxième division chromatique S2; 4° on prendra avec les branches G la distance G S2, et on portera avec les branches P la distance G S3 pour avoir la troisième division chromatique S3, etc., etc.

En continuant d’opérer de cette manière, on arrivera à la douzième division chromatique, qui doit se trouver au milieu de la distance G S0 ; c’est la vérification dont je parlais tout à l’heure, qui, suivant le sens de l’écart, s’il y en a , indique quelles sont les pointes qu’on doit retoucher , en supposant néanmoins que cet écart 11e tient pas à une inexactitude d’opération.

Si on divise une seconde octave, on arrive à une vingt-quatrième division chrojnatique, qui doit se trouver au quart de la longueur G SQ , à partir du point C, etc.

Le second procédé n’exige que l’emploi d’un compas à deux branches ordinaire : sur un plan bien dressé et suffisamment grand, on trace deux droites G 11 et B A perpendiculaires l’une à l’autre; la longueur C B est assujétie à la seule condition do n’être pas moindre que celle de la corde pour laquelle on veut construire une échelle chromatique, et la longueur de B C doit être à celle de A B dans le rapport assigné ci-dessus de

1000 : q43 ou de 65o : 61 3--.

Les conditions remplies, on mènera l’hypoténuse C A, on portera sur G B un existait ce G S„ égale à la longueur de la corde cà vide, ou à la distanee*entre le chevalet et le sillet; On tracera la parallèle SD V„ à B A, le point VQ étant sur 1 hypoténuse G A; enfin on achèvera le parallélogramme G S0 V0 U, et on opérera ainsi qu’il suit:

i° Portez S„ V0 de C en S,, et de U en V,, vous aurez une première division chromatique S,; 20 tracez la ligne S, V, qui coupe la diagonale C en c,, et portez St vl de G en S2 et de U en V2, vous aurez une deuxième division chromatique S,; 3° tracez la ligne S2 V, qui coupe la diagonale G V„ en v, , et portez S2 c, de G en Sé, et vous aurez une troisième division chromatique S3 , etc. , etc.

Page qo.

de 1700 cle l’Académie royale des Sciences de Paris), crut avoir trouvé que le tuyau d’orgue à bouche , sonnant l ut à la double octave au-dessous de Y ut de la clef d 'ut , tuyau ouvert dont la longueur est d’environ 2m 6 ou 8 pieds, donnait 61

On se procurera, par l’un des moyens indiqués dans le texte et dans la présente note, des échelles qui assureront la justesse des divisions chromatiques; il serait à désirer que pour chaque espèce particulière d instrument, mandoline, cistre , guitare, etc., il y eiAit une distance bien déterminée et généralement convenue entre le chevalet et le sillet; on pourrait alors faire les tracés des divisions sur des règles de métal , qui deviendraient des étalons fixes et communs.

A propos de mesures communes, il est à remarquer que sur les daviers des forte-pianos français, anglais, allemands, italiens, etc., sept touches blanches, ou diatoniques, donnent une somme de largeurs égale à six pouces de pied-de-roi ; cette uniformité ne tient certainement ni à une convention entre les facteurs des différents pays, ni au goût des étrangers pour les mesures françaises; elle a son application naturelle dans les dimensions moyennes de la main.

La harpe exige des espacements de cordes bien différents de ceux des touches du forte-piano, d’abord parce qu elle n’emploie que les quatre premiers doigts de la main, et, ensuite, eu égard à la position du corps et des bras de l’exécutant par rapport au système des cordes ; les bras sont sujets à s’allonger et à se raccourcir dans toute l’étendue de ce système.

Sur les harpes des premiers facteurs, telles que la harpe d’Erard, dont j’ai parlé art. 29 du texte, la distance entre deux cordes, à l’octave l’une de l’autre, est de 110 millimètres pour l’octave la plus grave, réduite graduellement à 95 millimètres, étendue de l’octave la plus aiguë.

On voit que les moyens mécaniques d’exécution musicale ont, comme les systèmes métriques anciens et modernes, des types de mesures déduits des dimensions du corps humain, auxquelles la çoudée , la brasse , le pas , le pied , le pouce , etc., doivent leurs origines. Le nouveau système métrique français a une origine différente ; il est établi d’après les dimensions du sphéroïde terrestre.

pulsations par seeonde. Treize ans après, des recherches sur la corde vibrante, dont il conclut des formules équivalentes aux formules (1) et (2) de l’art. 47 ci-dessus, le conduisirent à des résultats qui donnaient, dans les mêmes circonstances, des nombres doubles de ceux qu’il avait trouvés d’abord ; il expliqua ces différences en disant que dans ses expériences sur les tuyaux les battements observés n’avaient été sensibles à l’oreille, et, par conséquent, comptés que de deux en deux , au lieu que dans les calculs relatifs aux cordes sonores , l 'allée et le retour sont comptés chacun pour une vibration.

La corde sonore qui est à l’unisson de Y ut à deux octaves au-dessous de Y ut de la clef, fait donc, d’après les déterminations de Sauveur , 122 vibrations par seconde. Pour vérifier ce résultat, j’ai pesé une corde de laiton, de celles que les facteurs désignent par le n° 7, et qui, longue de im 4$, sonnait, sous une tension de i5ooo grammes, l’unisson du fa à deux octaves au-dessous du fa de la clef. Le poids de cette corde était de 1 2sriUnmes,783; ainsi on a ( ière équation (2) de l’art. 47-)

,8088 x i5ooo

Par une autre expérience j’ai trouvé qu’une corde de fer de omètre,5825 de longueur , du poids de oBia‘u"‘e, 61 5 et sous une tension de 1 1 134 grammes, donnait un son plus haut que Y ut

de la clef de — d’octave; la formule ci-dessus citée donne,

dans ce cas ,

En ramenant les nombres de vibrations donnés par les deux

calculs précédents à celui que donnerait la corde montée au ton de l 'ut , 2e octave au-dessous de Y ut de la clef, on a

Par le Ier résultat, n= 182,29;

Par le 2me résultat, ri=i3o,36.

Observant ensuite que Y ut dont il s’agit ici est celui du ton d’orchestre actuel, plus haut d’un demi-ton, ou environ ~ d’octave quel’wfde l’ancien ton d’église, employé par Sauveur, on a ultérieurement , en ramenant le ton d’orchestre au ton d’église , le nombre de vibrations donné par Y ut double octave au-dessous de Y ut de la clef, à l’unisson duquel se trouve le tuyau d’orgue à bouche, de 8 pieds, ouvert , savoir:

Détermination de Sauveur 122,00.

Premier résultat ci-dessus 124

Deuxième résultat 123

(5i ) Ces diverses déterminations ont entre elles un accord aussi satisfaisant que la nature de ce genre de recherches peut le permettre ; 011 en conclut que le son formant la limite, au grave, des sons musicalement appréciables, celui que fournit le tuyau d’orgue dit le 32 pieds, donne 3i vibrations par seconde, Y ut qui se trouve vers l’autre limite, à 8 octaves au-dessus, donnant 3i X 28 = 7936 vibrations dans le même temps.

(52) Il est aisé, d’après ce qui précède, de résoudre physiquement le problème du sou fixe, son dont la détermination est fort importante en musique. Il serait convenable et désirable que ce son fût établi sous la condition de comprendre les nombres de vibrations donnés par les ut des différentes octaves , dans la série des puissances de 2 , et l’adoption de

ce système n’occasionnerait pas de changement sensible dans le ton d’orchestre actuel , car en prenant le nombre 32 pour celui des vibrations de l’ut à l’unisson du 3a pieds de l’orgue, on ne ferait que changer la série

3 1 , 6a, 124, a48, 496, etc.,

en celle-ci

3a, 64, 128, 256, 5i2, etc.

Pour connaître exactement la différence d’intonation qui err résulte pour \ut de la clef, on a , table 2 ,

Log. acoustique 5 12 = 9 x log. 2= 108,0000000 Log. acoustique 496 = log. (4 x ia4)= io7,45o355y

Diflf. = 0,5496443

L ut de la série des puissances de 2 est plus haut de ~ de

demi-ton, et je ne dois pas omettre de dire que cette évaluation de l’intervalle entre les deux ut est bien plus musicale, ou plus intelligible pour les musiciens, que si on l’énonçait,

suivant l’usage, par la fraction

4ÿë’

on a de plus , dans le cal-

cul qui précède, un exemple du parti qu’on peut tirer dans une infinité de cas, des tables 1 et 2, lorsque les nombres de vibrations excédant 160 peuvent se décomposer en facteurs.

(53) L’ut de la clef, ou le son de 5i2 vibrations par seconde étant pris pour son fixe, il ne s’agit plus que d’avoir un moyen immédiat d’obtenir ce son sans être obligé de recourir à un type préexistant , et par le simple calcul de la tension

que doit avoir une corde métallique donnée. La première équation (2) de l’art. 47 donne la valeur de cette tension , savoir :

r» api

P = — - Il

Le poids p et la longueur absolue a de la corde entre les points fixes étant donnés par des pesées et des mesures exactes, posez n= 5 12, et tousles éléments du calcul de P seront connus.

Ayant pris une corde de fer du n° 1 , celle qu’on emploie ordinairement vers le milieu du clavier, je lui ai donné, entre les points fixes, une longueur de omètre,5825, une longueur de cette corde de 3mètres,40° pesait 5giammes,385; ainsi le poids de omètre, 5825 était de og,arame, 92259. Calculant la valeur

P = — y 8088 ’ on trouve * — grammes ;

c’est le poids représentant la tension de la corde lorsque le son quelle produit résulte de 5 12 vibrations par seconde; un diapason d’acier taillé à l’unisson de cette corde ainsi tendue, a donné 1 ut de l’orchestre italien à une différence près si petite quelle était à peine perceptible.

J’ai pris une autre corde blanche du numéro immédiatement plus gros que celui de la précédente, une longueur de 3'",4oo de cette corde pesait ygramines,2i5, ce qui donne igr,236i pour le poids d’une longueur de cette corde de om,5825 ; le poids tendant cpii ferait rendre à ces om, 5825 de corde Y ut de 5 12 vibrations par seconde, aurait pour valeur

T-, 0,5825 X 1, 2861 X (Sia)3 rx -1J

P = — c) 8188 ” — ï9243 grammes; mais la corde

n’a pas été capable de supporter ce poids: en le réduisant au quart, c’est-à-dire à 4dio8vamires,l75, le son produit a été exac-

tement l’octave grave de celui que j’avais obtenu par l’expérience précédente, c’est-à-dire Y ut de 256 vibrations par seconde.

(54) La corde de mon appareil acoustique mentionné cidessus, art. 3, note et art. /[8, avait d’abord entre ses points fixes, lorsqu’elle sonnait à vide, une longueur de om,6o2; et son poids, sur cette longueur, était de osra'mne,7445 : dans cet état, le poids capable de la faire vibrer 5i2 fois par seconde avait pour valeur

P__ 0,608X 0,7445 x(5ia)»__ «

r 9>8^88 — 1 [97° grammes.

J’ai voulu substituer, à ce nombre de grammes, le nombre rond de 12000, afin d’avoir, pour celle de mes échelles qui donne le tempérament égal , 6000 à la demi-octave au grave (/à# ou sol b), et 3ooo à Y ut octave entière au grave. Ce léger changement de poids correspondait à une augmentation

de longueur de la corde d’environ * millimètre ( omill,55 ) , ou de de la longueur primitive; mais avant que cet allongement fût opéré, la variation de tension de 22 grammes sur 12000 très-peu près ne produisait pas sur l’intonation

un effet perceptible même aux oreilles les plus exercées et les plus sensibles. On pourrait être curieux de connaître la valeur exacte de l’intervalle entre les sons respectivement dus à ces tensions de 12000 et 11978 grammes de la corde à vide de mon appareil; mais quoiqu’on sache, par les formules de l’article 47 » T116 les nombres synchrones de vibrations d’une même

corde, de longueur donnée, dont on fait varier la tension, sont entre eux comme les racines carrées des points tendants,

le rapport