II
Description et usage des tables (1) et (2) de logarithmes
acoustiques .
(9) Il faut maintenant faire connaître les moyens par lesquels le tableau (C) , art. 6 , a pu être formé d’après les tableaux (A) et (B) , art. (3), et expliquer, en général, la composition des tables (1) et (2), ci-après, et leur usage pour déduire les valeurs vraies des intervalles musicaux des rapports entre les nombres de vibrations des cordes sonores correspondant à des durées égales.
Les tables (1) et (2) se composent, chacune de deux colonnes , l’une intitulée nombres , l’autre intitulée logarithmes. La première indique des nombres synchrones de vibrations, et la seconde donne soit en demi-tons (ou i2cs d octaves) et fractions décimales de demi-tons ( c’est le cas de la table (2)), soit en octaves et fractions décimales d’octaves (c’est le cas delà table (1)), les valeurs des intervalles pris dans le sens qui sera expliqué ci -a près.
L’octave prise pour unité d’intervalle a l’avantage d’être un type immédiatement donné par la nature , propriété qui peut, dans certains cas, motiver son adoption. Cette considération m’a déterminé à donner la table n° 1. Mais, en employant une
pareille unité, les 12 intervalles compris entre deux touches d’un forte-piano ( que je suppose accordé suivant le tempérament égal ) à l’octave l’une de l’autre , ne sont plus que des fractions décimales, et, en prenant le 12e d’octave pour unité, ces mêmes intervalles deviennent des nombres entiers, et un forte-piano (accordé comme il est dit ci-dessus) devient, ainsi que je l’ai déjà observé, un étalon de mesure musicale , sur lequel un intervalle quelconque peut être porté soit entre deux touches déterminées, soit à partir d’une touche son fixe jusqu’à l’intervalle séparant deux touches à demi-ton l une de l’autre. Ce type de mesure est donc plus conforme que l’autre aux habitudes musicales, beaucoup mieux choisi pour mettre en faveur, parmi les musiciens praticiens, le système métrique musical que je propose , et , par cette raison, les exemples de calcul , ci-après , sont donnés d’après la table N° 2.
(10) Les nombres de la première colonne des tables (1) et (2) n’y sont compris que depuis 1 jusqu’à 160; c’est plus qu’il ne faut pour les calculs auxquels les tables doivent être employées; je donnerai dans le § (IV), ci-après, les relations entre les logarithmes acoustiques et les logarithmes usuels ( ceux des tables de Callet, Lalande, etc. ), d’après lesquelles, étant donné un nombre quelconque de vibrations , on obtient le logarithme acoustique correspondant, et réciproquement; mais cette extension de moyens de calcul intéresse particulièrement, ou exclusivement , les théoriciens qui liront ce § (IV).
(11) Les tables (1) et (2) étant destinées à transformer les intervalles que représentent les rapports par quotients des nombres de vibrations, en rapports, par différences , de nom-
bres d’unités musicales vraies, si on a un nombre de vibrations isolé, 6 par exemple , il faut regarder ce nombre comme
représentant l’expression - , et énonçant qu’une corde sonore
fait 6 vibrations , pendant que celle qui rend le son fixe{f) n’en fait qu’une. Pour avoir f intervalle vrai entre les deux sons , il faut, en général , prendre la différence entre les logarithmes acoustiques du numérateur et du dénominateur ; mais ce dernier logarithme étant zéro dans le cas dont il s’agit ici , l’intervalle vrai sera donné par le seul logarithme de 6 , qu’on trouve dans chacune des tables (i) et (2) à côté du nombre 6, pris dans la ire colonne. Si on emploie la table (2), l’intervalle donné , exprimé en demi-tons , ou 1 2es d’octave , sera 3id,oi955oo , ou, en se bornant aux iooes de demi-ton, ce qui est plus que suffisant, 3id,02. On peut remarquer que le tableau (C), N° 1 , art. 6, ci-dessus, donne pour 1 intervalle entre 1 e sol et l 'ut , son fixe , un intervalle de 7*' ,02 , c’està-dire l’intervalle 3 1% 02 -+- 24'1' ou 3id,02 -h 2 octaves. La corde sonore qui fait 6 vibrations pendant que la corde son fixe en fait une, donne donc la double octave de la quinte du son fixe.
(*) J’ai appelé son fixe ( § I , art. 3) , la note ut de départ de l’échelle (A); il est bon, pour fixer les idées, de donner à cet ut une place déterminée sur le clavier , et celle qui me paraît la plus convenable est occupée par Y ut de la clef d 'ut , le 3e du grave à l’aigu dans les forte-piano ordinaires, dont la note la plus grave est fa , ou le 4e dans les forte-piano qui descendent à 1 ut au-dessous de ce fa. 11 sera question, dans le § V, de la détermination du nombre de vibrations, dans un temps donné, de la corde sonore qui rend le son fixe ; mais les règles du calcul, exposées dans la présente instruction sont indépendantes de cette détermination.
( 12) Lorsqu’un des ternies du rapport n’est pas l’unité , il faut employer deux logarithmes acoustiques. Exemple : La corde rendant le son fixe fait 8 vibrations pendant la durée
de 9 vibrations d’une autre corde. Le rapport est ^ , et pour
trouver l’intervalle vrai entre les sons rendus par les deux cordes, il faut du logarithme acoustique de 9 retrancher celui de 8 ; on a , table (2) en prenant les logarithmes à côté des nombres inscrits dans la ire colonne,
Log. 9= 38d-,o39iooo Log. 8 = 36d', 0000000
Log. f = 2d, 039 1000
L intervalle entre les deux sons est donc de 2d ,039 , ou 2d ,o4- C’est celui qu’on trouve art. 6 , tableau (C) N° 1 , entre le ré et Y ut son fixe.
J’ai supposé que l’un des sons dont on veut calculer l’intervalle était le son fixe; s’il s’agissait de déterminer l’intervalle entre deux sons quelconques par la connaissance du rapport des nombres de vibrations que font, dans le même temps, les cordes sonores qui émettent ces sons, la règle de calcul serait la même que celle qui vient d’être posée; l’intervalle serait donné par la différence entre les logarithmes acoustiques des nombres synchrones de vibrations des cordes sonores.
(i3) Ces nombres synchrones (*) de vibrations ne sont pas
(*) J’ai dit que l’expression nombres synchrones de vibrations désignait les nombres respectifs de vibrations faites par plusieurs cordes sonores
toujours donnés immédiatement; dans bien des cas, il faut les déduire de relations qui peuvent être présentées sons plusieurs formes, et qui, si elles n’étaient pas connues, rendraient les valeurs cherchées des intervalles entièrement indéterminées.
Il me suffit, pour l’objet que j’ai ici en vue, de considérer le cas où on connaît, pour chacun des deux sons dont on veut avoir l’intervalle , le rapport des nombres synchrones de vibrations faites par la corde qui rend ce son , et par celle qui émet le son fixe. Il sera convenu, de plus, que, dans l’expression des rapports, les nombres de vibrations de la corde son fixe seront toujours au dénominateur. Exemple : La corde qui émet l’un des sons dont on veut calculer l’intervalle , désigné par son a , fait 5 vibrations pendant que la corde son fixe en fait 3 ; l’autre son , désigné par son b , donne avec le même son fixe , désigné par f, 90 pour 8r ; les données
sont les deux rapports et’ pour avoir les intervalles
entre les sons a et b , on calculera , d’abord , par la règle de l’art. 3, les intervalles a, f, et b,f et la différence entre ces intervalles sera l’intervalle cherché.
On a , pour le son a ( table 2
log.
log.
Intervalle a, y! = 8 ,8435871
pendant un même temps. 11 ne faut pas confondre les mots synchrone et isochrone. Le premier se rapporte à la comparaison des mouvements de plusieurs corps; le second s’applique aux mouvements successifs et dégale durée d’un même corps, comme seraient les oscillations d’un pendule qui décrit de petits arcs.
On a , pour le son b ( table 2 ),
De Vautre part
log. 90 = 77d , 9022372 log. 81 = 76 , 0782000
Intervalle b , f. = 1 , 8240872 ... 1 d-, 8240872
Intervalle a , b-= 7 d-, 0190499
En jetant un coup d’œil sur le tableau (C) N° 1 , art. 6 , on reconnaîtra que le son a est la 6e note la de l’échelle diatonique, note cotée 8,84, qu’en mettant la 2 e note ré, de la même échelle, à la quinte juste au-dessous du la, on aurait le son b , l’intervalle a, b étant, d’après le calcul ci-dessus, de 7d ,02, mesure de la quinte juste ; on a vu, art. 7 , que la quinte ré, la de l’échelle diatonique (C) N° 1 , art. 6 , était plus faible que la quinte juste de od ,22.
(i4) On aurait pu faire le calcul précédent en prenant les sommes respectives des logarithmes du dénominateur 3 et du numérateur go, du numérateur 5 et du dénominateur 81 , et soustrayant ces sommes l’une de l’autre. Ce procédé tient à
ce que les rapports de vibrations ^ et des sons a et b avec
le son fixe , équivalent au rapport de vibrations jl * 82 entre
les sons a, b. Or, le logarithme de chacun des produits 3 x 90 et 5 x 81 est égal à la somme des logarithmes des facteurs , et
d’après la règle de l’art. ( 1 2), le logarithme de 1 a fraction ^ a
pour valeur , log. (3 x 90 ) — log. ( 5 x 8 1 ).
(i5) Les règles de calcul et les exemples qui précèdent mettent bien en évidence l’avantage du calcul des intervalles vrais par les logarithmes acoustiques, sur la représentation de ces intervalles par des rapports de nombres de vibrations;
on voit que, lorsque ces rapports ne sont pas donnés immédiatement, mais qu’il faut les déduire de relations entre les sons a et b {Vi oyez la notation de l’art. i3. ) et d’autres sons , non-seulement l’intervalle vrai a, b est dissimulé, mais que dans beaucoup de cas, les rapports constituant les données du calcul, ne laissent seulement pas reconnaître, à vue, lequel des deux sons a et b est plus haut que l’autre.
(i 6) Il reste à généraliser l’usage delà règlede calcul del’art. (i 3); pour simplifier l’écriture, je supposerai que a etb représentent les nombres de vibrations des cordes qui émettent les sons désignés art. (i3) , par les mêmes lettres , et que ces nombres sont synchrones, respectivement avec les nombres /' et f" de vibrations de la corde rendant le son fixe désigné art. cité
par f. Les données du calcul seront, en général , y et y, et elles
peuvent fournir quatre cas, savoir : i ° a y>f ; b > f; i° a > f\ b </"; 3° a </; b >/"; 4° « <f'\ b < /"; dans le Ier cas, qui est celui de l’exemple donné à l’art. (12), les sons a et b sont tous deux plus haut que le son fixe] dans le 2e cas, le le son a est plus haut et le son b plus bas que le son fixe ; dans le 3e cas, le son a est plus bas et le son b plus haut que le son fixe ; dans le 4e cas, chacun des sons a et b est plus bas que le son fixe.
L’opération à faire, dans les quatre cas, sur chacune des
fractions partielles y, et y, , consiste à retrancher le logarithme
du plus petit terme de cette fraction du logarithme de son plus grand terme. Désignant par / 'et/' les restes logarithmiques ai nsi
donnés, respectivement, par - et y, la différence entre r' et
r" sera l’intervalle musical entre les sons représentés par a et b , dans le ieretle4e des cas ci-dessus énumérés ; dans le Ier cas, le plus grand des restes logarithmiques tJ et r" correspond au moins grave des sons « et è, et le contraire a lieu dans le 4e cas.
Dans les 2e et 3e cas , qui peuvent être considérés comme n’en faisant qu’un , l’intervalle musical entre a et b est donné, non par la différence entre r et r" , mais par la somme de ees deux quantités. Celui des numérateurs a et b qui excède son dénominateur, correspond à un son plus haut que le son fixe, et le son correspondant à l’autre numérateur est plus grave que le son fixe (*).
Exemples : L’art. (i3) contient un exemple du Ier cas qui donne r' — 8,84; r" = 1,82; r' — r"= ad-,o2= l’intervalle musical entre les sons a et b, tous deux plus haut que le son fixe.
Soit pour exemple commun des 2e et 3e cas^ — ^ , on a , table (2)
Log. a:=log. i27=r83d ,8642i6a L°g-/— loS- 99 = 79 >5522794
Log. a — \og.fi'=r' = 4d'j3i ig36'8
O Les personnes qui ont l’usage du calcul logarithmique reconnaîtront que les 2e, 3e et /f cas comportent l’emploi de logarithmes négatifs ; j’ai cru convenable de ne pas me servir de cette expression qui est suppléée par lindicalion des rapports de vibrations correspondants à des sons plus aigus ou plus graves que le son fixe ; le calculateur le plus médiocre ne court aucun risque d’erreur en suivant exactement les règles posées dans l'art. (16), dont l’observation est on ne peut pas plus facile.
4d,3ii9368=r'
De Vautre part ,
Log./'' = log. 1 i3 ==8id-, 842 1473 Log. b =log. 85 =76 ,912691a
Log/" —log. b =r" — 4d-, 9194563 4d)9294563 = /"
Le son a plus haut de 4d',3i que le son fixe , est entre la tierce majeure et la quarte au-dessus de ce son ; le son b plus bas de 4d,93 que le son fixe, donne, à très-peu près, la quarte au-dessous ; l’intervalle entre a et b est de 9% 24.
Soit pour exemple du 4e cas
on aura ,
table (2)
Log./' =r log. l49 = 86d ,6300222 Log. a = log. 12 1 —83 ,0263588
Log./' — iog. a. =r' = 3d,6o36634 3d6o36634=/-'
Log-/' — log- 63 = 7 id-, 7273591 Log. b —log. 57 = 69 ,9946802
Log./'' — log. b =r" = id, 7326789 id, 7326789 = ^
Les sons a et b sont , d’après les explications précédentes, plus bas que le son fixe , le premier de 3d ,6o, et le second de id ,^3 ; l’intervalle 1^,87, de l’un à l’autre, est, à très-peu près, celui que les musiciens appellent seconde mineure , dont on voit la mesure entre le ré et le mi, ou le sol et le la , du tableau (D) art. (7). La différence n est que de ^ de demi-ton.
(17) Je passe à la transformation en intervalles vrais , des intervalles représentés par des rapports de nombres qui sont
élevés à des puissances ou affectés de radicaux. Tl est nécessaire, pour l’intelligence des explications qui suivent, de lire, avec un peu d’attention , la fin de la note de l’introduction.
On a vu , à la note citée, que tout nombre placé sous un radical pouvait être écrit sans ce radical à l’indice duquel on subs-
tituerait un exposant fractionnaire ; ainsi |/3 = 37; p/5T=5T;
\/ fi = 74x5 = 72°, y/ si — 83xo = 8 i5, etc. En général n, p, q, r et s désignant des nombres quelconques, on a
V n7=ns et la règle générale pour avoir le logarithme
d’un nombre mis sous la forme ns x p est de multiplier le logarithme du nombre n par son exposant entier ou fractionnaire; le produit donne le logarithme cherché.
Exemples calculés par la table (2).
log.473 =3 x log. 47 = 3 X 66,655 0662— igg,g65 ig86
loff
g- Y 292 = log. 29 5 = - — —-= 2 3, 3 1 83087 6
log. ^/,7j=log. ■7?x«=log. ,7 9 - ■^xl^i7==^>L49.°49554.
(18) Je vais terminer ce § par l’indication d’un mode de réduction des intervalles musicaux dont on a souvent besoin; il s’agit de ramener dans les limites de l’octave immédiatement supérieure au son fixe , tous les intervalles qui sortent de ces
limites tant à l’aigu qu’au grave, et dont le son fixee st un des termes extrêmes.
Dans le ier cas on retranchera de l’intervalle, que je suppose énoncé en demi-tons ou i2PS d’octave , le plus grand multiple de 12 contenu dans le nombre qui donne la mesure de cet intervalle. Ainsi étant donné l’intervalle 58%88 , cet intervalle contient 4xi2 ou 48 plus 10,88 ; ce dernier nombre est donc la valeur de l’intervalle rabaissé de L\ octaves, et ramené dans les limites de l’octave du son fixe ; c’est art. G , tableau (C) N° 1 , le si septième note de la gamme d ut, qui en forme le terme supérieur.
Dans le 2e cas ce sera le nombre donnant la mesure de l’intervalle au grave du son fixe qu’il faudra retrancher du multiple de 12 immédiatement supérieur à ce nombre. Soit l’intervalle, au grave du son fixe, mesuré par 3id02. Le multiple de 12 , immédiatement supérieur à ce nombre, est 3 x 12, ou 36; l’intervalle ramené dans les limites de l’octave sera donc 36 — 3 1 ,02 ou 4%98; c’est, article et tableau ci-dessus cités, l’intervalle de Y ut à un fa qu’on a haussé de 3 octaves , lequel fa devait être le plus grave du clavier du forte-piano, Y ut son fixe étant Y ut de la clef A' ut.
(19) Voici un dernier cas qui pourrait se déduire de ce qui précède, mais le lecteur trouvera plus commode d’en avoir la solution immédiate.
O11 a un nombre quelconque de cordes sonores numérotées ière, 2e, 3e, 4% etc.; on connaît les nombres synchrones de vibrations de la ière et de la 2e, de la 2e et de la 3e, de la 3' et de la 4e, etc., et on veut avoir les mesures vraies des intervalles entre les sons de la iiro et de l’une quelconque des autres.
La règle générale se conelura aisément d’un seul exemple :
Soient les rapports des nombres synchrones successifs de vibrations ,
Ce qui signifie i°que les deux premières cordes donnent le même nombre de vibrations pendant le même temps, et qu’étant ainsi à l’unisson , on peut les ranger toutes deux sous le n° 1 ; 20 que la corde n° 2 fait 9 vibrations synchrones avec 8 vibrations de chacune des cordes n° 1 ; 3° que le synchronisme des cordes n03 3 et 2 est 10 pour g; 4° que celui des cordes nos 4 et 3 est 16 pour 1 5 ; et ainsi de suite , jusqu’aux cordes nos 8 et 7 dont le synchronisme est 16 pour i5.
Pour trouver l’intervalle musical entre le son de la corde n° 1 et le son de la corde d’un n° quelconque après ce n° 1 que je désignerai par n° n , il suffît de savoir que le rapport entre les nombres synchrones de vibrations des cordes nos 1 et n se trouve en faisant le produit de tous les rapports partiels depuis et y compris le n° 1 jusques et y compris le n° n. D’après cette règle , on a , pour valeur du rapport entre les nombres synchrones de vibrations des cordes n03 1 et 8,
11 ne s’agit plus que de prendre dans une des tables 1 et 2 (je me servirai de la table 2 ) les logarithmes acoustiques de ces rapports, et 011 pourra former une table donnant i° les intervalles partiels entre deux sons consécutifs, 20 l’intervalle entre le Ier son et l’un quelconque des suivants'; voici le
calcul qui fournit un exemple cligne de remarque delà grande utilité de l’emploi du système logarithmique ,
Les logarithmes des rap-
ports -, — , etc. se cal-
culent, d’après la règle de l’art. 12, en prenant la différence entre les logarithmes du numérateur et du dénominateur de chaque fraction.
On voit que l’intervalle entre les sons nos 1 et 8 est de 12 demitons, ou une octave ; le logarithme acoustique 12 correspond
au rapport - des nombres synchrones de vibrations donnés par l’octave.
Les intervalles partiels et leurs sommes réduits à 2 décimales, ou aux iooesde demi-tons, redonnent les nombres dont se composent les tableaux (D) et (C) n° 1 ; ainsi en désignant le son n° 1 par ut , les sons suivants se trouvent être ceux de l’échelle diatonique , et c’est ce rapprochement qui a déterminé le choix de l’exemple.
PARTIELS
