III

Diverses applications des règles de calcul données dans le

§ précédent.

( 20 ) J’ai lieu de penser que le lecteur ne verra pas sans quelque intérêt l’usage que je vais faire des règles de calcul données dans le § précédent, pour analyser et comparer différents systèmes d’échelles musicales diatoniques , chromatiques et enharmoniques.

Je vais d’abord faire voir comment les rapports par quotients des nombres de vibrations, transformés, au moyen de ces rè-

gles, en rapports par différences, donnent 1 échelle chromatique du tempérament égal , qui, procédant par i2es parties d’octave, fournit un étalon très-commode de mesures musicales.

fl faut partir des faits bien constatés, i° que deux cordes désignées par ut (i) et ut (2) sonnant l’octave l’une de l’autre , la corde ut (2) , qui est supposée sonner l’octave aiguë , fait , pendant un même temps , deux fois autant de vibrations que la corde ut (1); 20 que si une 3e corde émet un son formant avec celui qui est rendu par la corde ut (1) , un intervalle de n demi-tons, ou i2es d’octave, cette 3e corde fera un nombre

2'2 de vibrations pendant que la corde ut (1) en fera une( le principe de la formation des tables de logarithmes acoustiques est, ainsi qu’on le verra , dans le § 4, lié à cette propriété ).

Il suit de là que pendant la durée d’une vibration de la corde ut (i),les nombres de vibrations faites par les cordes émettant des sons qui forment, avec celui de cette corde ut (i), à l’aigu, les intervalles o, 1 , 2,3,4? etc. , demi -tons (ou 1 2es d’octave)

sont respectivement 212, 212, 2", 212, 212, etc. ; or, appliquant à ces nombres la règle de calcul de l’art. 17, et prenant les logarithmes dans la table (2), on trouve que les mesures vraies en demi-tons (ou i2cs d’octave) des intervalles correspondants

sont ^ log. 2,-^ log. 2, ^log. 2, — log. 2, ^ log. 2, etc.,

c’est-à-dire, d’après la valeur log. 2=12, la suite des nombres naturels o, 1 , 2 , 3 , 4? etc. , commençant à zéro , ou à la comparaison du son de la corde ut (1) avec lui-même, qui donne zéro d’intervalle musical (*).

(*) Voyez la 2e note de l’art. 3.

Ainsi voilà lechelle chromatique du tempérament égal , ou X étalon des mesures musicales vraies , lié aux phénomènes acoustiques; j’ai donné, article 3, un tableau (B) des rapports par quotients de la partie diatonique de cette échelle dont voici la transformation en intervalles vrais , avec l’intercalation des sons chromatiques :

ut # ré b

ré

ré #

mi b

la # sol b

sol

sol fr la b

la # si b

(21) Je passe à la transformation de l echelle chromatique dont j’ai donné la partie diatonique dans les tableaux des articles 3 , 6 et 7 , et qui est as^ez ordinairement celle qu’on donne pour type dans les traités de musique ; voici comment les auteurs de ces traités en représentent les sons.

Ut #

ré #

fa #

sol#

la #

ré b

ré

mi b

sol b

sol

la b

si b

Un musicien, ayant ce tableau sur le pupitre de son fortepiano, accordé, suivant l’usage, d’après le tempérament égal , et constituant un étalon de mesure musicale , conforme à la partition (E) ci-dessus , non-seulement sera bien embarrassé de reconnaître dans quel sens une note de l’échelle (F) diffère ( à l’aigu et au grave ) de la note correspondante de son étalon,

mais n’apercevra meme pas s’il existe une différence entre ces notes. L’aspect des nombres |, l/â, etc., ne lui fera certainement pas deviner que, sur un second instrument, accordé suivant la partition (F) , et qui aurait les ut à l’unisson du sien Y ut #, 1ère, le ré#, le sol et 1 esol#, seraient plus hauts que les notes correspondantes de son clavier , le contraire ayant lieu pour les mi, fa, la, si b, et si tq , et le seul fa U étant (avec les ut ) à l’unisson sur les deux instruments.

Les incertitudes seront promptement et bien facilement levées par l’emploi de la table (2) et des règles de calcul données dans le § précédent pour transformer en mesures vraies les notations symboliques établies sur des rapports de nombres de vibrations.

Je ne donnerai pas les détails des calculs que chacun pourra faire très-aisément d’après les explications données depuis l’art. (11) jusqu’à l’art. (17) , et je vais reproduire le tableau (F) en substituant aux nombres symboliques placés au-dessous des notes les intervalles vrais entre chacune de ces notes et le son fixe ut , intervalles exprimés en demi-tons ou 1 2“ d’octave ; au-dessous de ces intervalles seront ceux qui existent dans le tempérament égal , et on pourra vérifier, à vue, l’exactitude de ce qui vient d’être dit sur les dissidences des deux partitions. J’ai écrit, au-dessus des nombres indicatifs des intervalles, les noms des deux notes qu’un instrument à clavier ordinaire, accordé suivant l’une ou l’autre des partitions 1 ou 2 , est obligé de frapper sur la même touche; il sera question ci-après d’une échelle qui ne permet pas ce double emploi de touches. ,

On reconnaît ici non seulement l’existence des différences ci-dessus indiquées, mais les valeurs vraies et exactes de ces différences ; le tableau (G) les donne à la précision des iooes de demi-ton, ce qui est plus que suffisant, et on peut, si on veut, avec la table (2), les obtenir à la précision des dix millionièmes de demi-ton.

(21) J’ai observé, à l’art. 6, que les différences de 12 , i4 et 16 centièmes de demi-ton, que présentent les deux partitions du tableau (G) entre les notes de même dénomination, blesseraient des oreilles délicates si deux instruments^ respectivement accordés sur chacune de ces deux partitions , jouaient ensemble. Une pareille dissidence entre l’échelle établie de fait sur les instruments généralement employés pour l’accompagnement, et le système d’échelles musicales fournissant, dans les traités de musique , les données pour la discussion des accords , peut donner lieu à quelques observations qui trouveront leur place dans un autre écrit.

(22) Voici un tableau des intervalles partiels successifs entre les sons du tableau (G) n° 1 , qui fera connaître les détails de sa constitution.

Ut # ré b

ré

ré# mi b

mi fa b

mi #

fa # sol b

sol.

sol# la b

la # si b

si ut b

ut si #

3,oo

4,oo

5,oo 6,00

9,oo

ut # ré tt fa # sol # la #

ut ré b ré mi b mi fa sol b sol la b la si b si ut

On remarquera qu’à partir du fa # qui forme le point de partage de deux divisions égales de l’échelle, la série des intervalles partiels est la même , soit en descendant de droite à gauche depuis ce fait jusqu’au premier ut , soit en montant de gauche à droite depuis le même fats, jusqu’au second ut à l’octave du premier.

Une symétrie analogue de différences de part et d’autre de fait existe entre les échelles nos i et 2 du tableau (G). Si on prend le n° 2 pour terme de comparaison , les différences entre les nombres superposés à droite du fa# jusqu’au si inclusivement, sont — od,02; — o''v4; + od,i(>; +od,o4; -+od‘,ia; et on trouve les mêmes différences, à gauche du fa# jusqu’auréb ’nclusivement, mais avec des signes contraires , les deux premières étant positives et les trois dernières négatives.

(22)11 faut aussi faire attention à la forte inégalité qui existe dans le tableau (H) entre les plus petits et les plus grands

intervalles chromatiques ; les premiers sont mesurés par ~

de demi-ton , et les autres par 1 demi-ton et — , la différence

est de de demi-ton, elle est appréciable même aux oreilles

peu exercées. Cette différence doit influer sur l’expression musicale; ainsi, par exemple, dans l’accord de sixte superflue la b, /a#, l’énergie de la résolution du la^> sur le sol est atté-

nuée par la distance d’environ | de demi -ton qui affaiblit

l’appel réciproque des deux notes.

Un appel analogue entre la note sensible et la tonique doit avoir un caractère différent dans le ton de la et dans celui de #w’b, l’intervalle sol# , la étant sensiblement moindre que l’intervalle re , mi\> , etc. (i).

(a3) On voit par ces rapprochements, et par d’autres qu’il serait aisé de faire, que les épithètes majeur , mineur, superflu, diminué , données à certains intervalles, ne leur supposent pas des valeurs fixes , invariables. Les tableaux (D) art. 7 et (H) art. 21 , donnent aux intervalles appelés ton majeur et demi-

(i) Avant que les compositions musicales eussent perdu leur simplicité des xvie et xvne siècles, les facteurs employaient pour l’orgue et le clavecin, un mode d’accord particulièrement favorable à quelques modulations le plus en usage. A partir de l 'ut, une suite de 4 quintes ascendantes affaiblies, dont la valeur moyenne était de 6d, 9657843 (ou6d,97), conduisaient à un mi, qui, ramené dans les limites de l’octave du son fixe, donnait, sur ce son, l’intervalle 3d,863i37i (ou 3,86) de tierce juste. A partir de ce mi, 4 autres quintes ascendantes de même valeur moyenne que les précédentes, conduisaient à un sol # tierce juste du mi, et qui, ramené dans l'octave du son fixe, donnait l’intervalle 7a, 7262742 (ou 7d,73); on avait ainsi les notes ré , mi, fa # ou sol b, sol , sol# ou la b, la , si, données par la suite des 8 quintes ascendantes. Revenant ensuite à l 'ut son fixe, on descendait de 4 quintes fortes, dont chacune avait pour valeur moyenne 7d, o6843i4 (ou 7d,07) , et on arrivait à un la b qui, ramené dans l’octave du son fixe, donnait, sur ce son, l’intervalle 7d, 7262742 (ou 7d,73), c’està-dire se trouvait à l’unisson du sol#, obtenu par les quintes ascendantes. Ces quintes descendantes fournissaient les notes fa, si b ou la # , mi b ou ré Z, la b ou sol # , et l’échelle chromatique se trouvait ainsi complétée. .Te crois faire une chose agréable au lecteur, en lui fournissant les moyens

ton majeur , les valeurs respectives 2''',o4 et id ,82, aux intervalles appelés ton mineur et demi-ton mineur les valeurs respectives id ,12 et od ,70 ; mais ces valeurs non-seulement varient avec les divers systèmes de génération des échelles musicales , mais varient aussi dans une échelle donnée. L’échelle (H) art. 21 , offre des demi-tons id ,o2et od ,92 , moyens entre ceux ci-dessus désignés par les épithètes de majeur et mineur. L’échelle du tempérament égal (art. 20, tableau (E) ), et une autre échelle dont il sera question ci-après, ont plus d’uniformité dans leur composition; mais la première (celle de l’art. 20) n’a d’autre intervalle donné par la résonnance

de comparer cette échelle avec l’échelle (G) n° x ; on a , en effectuant les calculs ,

Échelle (G) n° 1. . .

Ancienne échelle. .

i° Intervalles à partir du son fixe ut:

Ut# ré b

ré

ré # mi b

fa # sol b

sol

sol# la b

la # si b

B,dÎ4

io,83

Tableau (H)

2° Intervalles partiels :

ut # ré # fa # sol # la #

ut ré b ré mi b mi fa sol b sol la b la si b si ut

Ancienne échelle. . .

du corps sonore que l’octave ; la seconde n’a que l’octave et la quinte.

Divers systèmes d’échelles peuvent offrir , dans une partie plus ou moins considérable, des combinaisons de sons qui les composent, des intervalles, des accords fournis par la résonnance du corps sonore ; mais cette précieuse propriété ne peut pas s’étendre à toutes les combinaisons des sons , d’une même échelle diatonique , et à plus forte raison de ceux d’une échelle chromatique.

Les intervalles naturels de tierce mineure, tierce majeure, et quinte, sont, respectivement, en demi-ton, ou I2es d’octave 3d- ,16; 3d ,86 et ^ ,02. ( Voyez l’art. 7. ) Notre système métrique des intervalles fournit un moyen bien commode de connaître et de comparer l’altération que subissent ces intervalles naturels dans les divers accords parfaits majeurs et mineurs fournis par les notes de l’échelle du tableau (G) n° 1 , art. 20. Voici le tableau de ces accords:

NOTES