MAJEURES

ut #, ré b

ré #, mi b. ..... .

fa # , sol b

sol

sol #, la b

la # , si b

(*) On déduit les nombres du tableau (I) de ceux du tableau (G) n° i , art. 20, par de simples soustraclions; ainsi, pour avoir les intervalles qui constituent l’accord parfait majeur mi, sol#, si, on dit sol #, 8'1, x 4 — 3d,86 = 4J,28= irc tierce mi, sol#; ensuite si, iod,88 — 5o/#,8d,i4 = 2d,74= 2e tierce sol#, si ; la quinte mi, si — somme des deux tierces — 7d,02. 11 pourra arriver qu’une ou deux notes de l’accord se trouvent en dehors du tableau ; dans ce cas, on emploiera les nombres de ces notes, dans le tableau, augmentés de 12. Soit l’accord si, ré#, fa#, on aura les 3 nombres si, iod,88; ré#, (i2d + 3d,i6 = i5d,i6); fa # (i2d+6<l,oo == i8d,oo), et on opérera sur iod,88, i5d,i6; et i8d,9o, comme on a fait sur 3d,86; 8d,i4 et iod,88.

Comparant les accords parfaits majeurs et mineurs de ce tableau avec ceux de la fondamentale ut, qui occupent la ligne supérieure, et qui émanent de la résonnance du corps sonore, on voit que les plus grandes dissidences de quinte sont données

en moins par les accords sur ré et rni\> et égales à de demi-

ton. Les quintes sur fa# et «pèchent par excès de ~ de demi-

ton : toutes les autres quintes sont justes. Les tierces offrent des anomalies beaucoup plus fortes, quoique, pour les exigences de l’oreille, elles aient besoin, en harmonie, d’être plus justes que les quintes. Plusieurs tierces majeures de

4d 28 excèdent la tierce majeure naturelle de de demi-

ton. La même dissidence se trouve, mais en sens contraire, dans quatre tierces mineures , qui donnent 2d ,74? au lieu de 3% 16.

Le tempérament égal donne toutes ses tierces majeures de 4d ,oo, ses tierces mineures de 3d ,oo, et ses quintes de 7d-,oo ,

différant des intervalles naturels, respectivement, de +yg^, et — — de demi-ton, ou I2es. d’octave. Les quintes

sont sensiblement justes ; malheureusement la forte altération porte , en général, sur les tierces, et aucune modulation n’y échappe.

(24) Les rapprochements qui précèdent n’ont pas du tout , pour objet, de motiver des préférences entre les différents systèmes d’échelles chromatiques. Mon intention unique, en les donnant, est, ainsi que j’en ai prévenu, de bien faire sentir les avantages et la commodité des procédés de calculs

exposés dans la présente instruction pour des examens quelconques relatifs aux intervalles musicaux.

Un de ces examens les plus curieux est celui de l’échelle enharmonique dont il va être question, et qui est engendrée par une série de quintes justes.

Il faut d’abord avoir, par rapport au son fixe de départ, que je suppose être Y ut de la clef d ut, les mesures vraies de tous les intervalles, soit ascendants, soit descendants, formés par les sons donnant les quintes successives. Les quintes ascendantes correspondent aux notes sol, ré, la, mi, si, fa#, ut#, soit, ré#, la#, mi#, si# ; et les quintes descendantes correspondent aux notes fa, sib, mib, la b, ré b, solb , utb, fa l\ Je m’arrête dans chaque série à l’intervalle au-delà duquel il faudrait employer les doubles dièzes ou les doubles bémols. Les notes de cette seconde série peuvent être obtenues par une série de quartes ascendantes ; et c’est ce mode de calcul que je vais indiquer.

i° Quintes ascendantes. Le rapport, par quotient , des sons sole t ut , considéré quant aux nombres synchrones de vibra-

tions des cordes qui les font entendre, est conséquemment

le ré donnera ^ ^ , le mi donnera ^ ^ ^ , et ainsi de suite

jusqu’au si# qui donnera Ç ~ ^I2. Il faut donc, pour avoir les

valeurs vraies des intervalles correspondants à ces puissances ,3

successives de-, calculer d’abord par la table 2 (je suppose qu’on prend le demi-ton ou 12e d’octave pour unité d’intervalle ), le logarithme acoustique de - , qui (art 12) est égal à

i ,o 1 955 — 1 2d‘ ,00000 = y d,,o 1955 = l’intervalle vrai entre le son fixe de départ ut et le sol donnant sa ière quinte (*) et les mesures vraies des intervalles entre le son de départ et les sons

donnant les quintes successives 2e, 3e, 4e 12e, seront

les produits de l’intervalle premier 7d ,01955 par les nombres

2, 3, 4 1 2, conformément aux règles données § (2) art.

17; la table de ces produits se construit aisément par des additions successives.

20 Quartes ascendantes. Le rapport par quotient du son

qui donne la première quarte ascendante, à partir du son fixe,

considéré quant aux nombres synchrones de vibrations des

eordes sonores, est | ; on trouve ( table 2 ) le logarithme

acoustique de ce rapport = 24,00000 — 19, oi955 = 4d', 98045; faisant , sur ce logarithme , les mêmes opérations qui ont été

ci-dessus prescrites pour le logarithme de -, mais qui, dans ce second cas, ne s’étendent que jusqu a log. ( ^ j , on a les me-

sures vraies, en demi-tons ou i2es d’octave de tous les intervalles successifs formés par la série des quartes ascendantes.

Lorsque les deux séries d’intervalles de quintes et quartes ascendantes sont ainsi calculées , il faut ramener ees intervalles dans les limites de l’octave du son fixe ut, de départ, en se conformant à ce qui est prescrit, § II , art. 18, et on a

(*) La valeur Jà,02, donnée à l’intervalle juste de quinte, dans les tableaux (C) n° 1 , art. 6, et (G) n° 1 , art. 20, quoique réduite à 2 décimales,

ne diffère pas de la valeur rigoureuse de — — de demi-ton.

une échelle diatonique , chromatique et enharmonique, composée de 22 sons, y compris le son fixe de départ, sa réplique à l’octave, et le si#, qui dépasse l’octave, ce qui donne 21 intervalles. Ce serait abuser de la patience du lecteur que de placer ici les détails du calcul arithmétique; chacun pourra le faire avec la plus grande facilité, au moyen des explications précédemment données ; et je vais présenter, de suite, le tableau de la nouvelle échelle, en plaçant les sons qu elle renferme au-dessous des sons de même dénomination des échelles chromatiques nos i et i du tableau (G) , art. 20.

ré b

ut #

ré

mi b

ré#

fa b

mi #

sol b

3,oo

5,oo

fa #

sol

la b

sol#

si b

la #

ut b

si #

7,oo

9,oo

( Nota. La ligne n° 1 donne l’échelle du tempérament égal ; la ligne n° 2 donne l’échelle (G) n° 1 , art. 20, et la ligne n° 3 donne l’échelle enharmonique engendrée par une série de quintes justes ) (*).

(*) J’ai parlé dans le § (1), art. 1, d’une échelle enharmonique que

[2.5) \ oilà l’examen, l’analyse de l’échelle enharmonique donnée par une suite de quintes justes, rendus bien faciles par l’emploi des logarithmes acoustiques. Le bon abbé Roussier regardait cette génération par quintes justes, comme ayant servi de base à la formation des échelles musicales, égyptienne, grecque, chinoise, etc., et comme devant être adoptée par les modernes, exclusivement à toute autre; je parlerai, ciaprès, art. 28, d’un clavecin dont il avait dirigé la construction et qui était accordé suivant la partition du tableau (K) n° 3 ,

J. -J. Rousseau dit avoir calculée, et que j’ai citée comme exemple d’une erreur due vraisemblablement à 1 embarras et à l’obscurité du mode ordinaire de représentation des in'trrvalles ; la planche L de son Dictionnaire de musique contient deux échelles chromatiques de M. Malcolm , sur chacune desquelles sont inscrits les 12 intervalles partiels, représentés par des rapports de longueur; prenant les rapports inverses pour calculer d’après les nombres synchrones de vibrations, composant les rapports et opérant d’après les règles données art. 19, on trouve pour valeur des nombres synchrones de vibrations entre les deux ut extrêmes de la pre-

mière échelle

Yxr^Y=2

: 2 . Les facteurs de la deuxiè-

échelle son, (i|)’ X ($* x (ï§)* X (^)* x (f*)'

et on

a log. acoustique 2=; i2d. Ces deux échelles donnent exactement l’octave entre les sons extrêmes ; on peut voir à l’article Échelle du Dictionnaire de musique, les observations de J. J. Rousseau sur leur composition. Passant à son échelle enharmonique, fig. 3 de la planche L, et inversant les 19 rapports partiels de longueur, on trouve le rapport entre les nombres synchrones de vibrations des sons extrêmes , exprimé par le produit com-

posé des facteurs

2,292544 : on voit déjà que la somme des intervalles partiels entre les ut extrêmes excède sensiblement l’octave; pour avoir la valeur vraie de cet

le nombre des touches étant augmenté en conséquence ; Roussier représentait, suivant l’usage des auteurs de traités de musique,

excès, on prendra, dans la table 2, les logarithmes acoustiques des fac-

log. ac- 8d, 480691

Les nombres du deuxième facteur rentreront dans les limites de

3 log. ac. — 4 ,24o345 I ]a table 2, en observant que t-— . =

4 log. ac. 1 ,642354 1 -J ; ainsi le produit des deux

somme = i4d, 363390 I premiers facteurs = •

L’octave se trouve dépassée, par la somme des intervalles partiels, de 2d,36; si Jean-Jacques avait connu les logarithmes acoustiques, il se serait

bientôt aperçu de son erreur et aurait vu qu elle tenait au rapport par lequel il représente les intervalles ut# re b , fa# sol b et la# si b; en voyant le logarithme acoustique de ce rapport gTg, égal à id,4i 344^4 (ou id,4i), intexvalle inadmissible entre les notes ci-dessus désignées, il aurait facilement trouvé le rapport à lui substituer; ce rapport est

, et correspondant à un intervalle =od,62 qui se trouve dans

les limites convenables, et n’est pas la moitié de celui du Dictionnaire:

faisant la preuve, on a 3 log. ac.f^f^ = id, 876955, logarithme qui, mis

à la place de 4d,24o345, entre le ier et le 3e de ceux qu’on a additionnés ci-dessus, rend la nouvelle somme exactement égale à i2d; la correction

à faire à l’échelle de J. -J. consiste, ainsi, dans la substitution de à ( rapports de longueurs) dans chacune des trois places où se trouve le rapport erroné.

les sons par les nombres synchrones de vibration des cordes sonores, ce cjni , dans les cas analogues à celui du tableau (K.) n° 3 , exige des élévations aux puissances, et il. a couvert le papier d’une quantité énorme de chiffres, qui ne font pas* ressortir, à beaucoup près , les conséquences qu’il a voulu en tirer, aussi nettement, aussi rigoureusement que la seule ligne n° 3 du tableau (K).

Un des intervalles inscrit sur cette ligne n° 3, celui de tierce majeure , comparé à l’intervalle correspondant inscrit 'sur la ligne n° 2, offre un exemple bien connu du vice de l’énonciation des intervalles par les rapports des nombres synchrones de vibrations; le rapport de vibration qui donne

cette tierce majeure est et celui qui donne la tierce

naturelle' ^st ^ , ou ; on désigne, d’après ce résultat, la

différence entre les deux tierces par celle des nombres 8o et 8i , ce qui est tout - à - fait insignifiant, et induit en erreur, quand il s’agit d 'intervalles musicaux ; la mesure 'vraie et musicale de la différence entre la tierce résultante d’une série de quintes justes et la tierce naturelle est donnée par la

différence des logarithmes acoustiques de ~ et de , c’est-à-

dire quelle a, table 2 , pour valeur 4,0782' — 3,863 1 = o,2i5i

ou de demi-ton en se bornant aux deux décimales inscri-

tes dans les lignes 2 et 3 du tableau (K), qui donnent, pour la différence dpnt il s’agit, 4, 08 — 3,86 = od ,22.

(26) J’ai parlé , par anticipation, à l’art. 23 , de l’uniformité de composition de l’échelle n° 3 du tableau (K) ; les intervalles de même espèce y sont tous égaux à quelque son ou point de

départ qu’on les rapporte; cette propriété résulte nécessairement de ce que , en partant d’un son quelconque, tous les intervalles entre ce son et chacun de ceux qui entrent dans la ’ composition de l’échelle, se dérivent généralement d’une suite de quintes justes. Ainsi , tous les intervalles de seconde comme ut , ré ; ré, mi, mi , fait , etc., sont donnés par deux quintes justes ascendantes ; les intervalles de tierces mineures par trois quintes justes descendantes, ou trois quartes ascendantes; entre une'note^et la même note dtiézée, on trouve sept quintes ascendantes, le même nombre de quintes descendantes ou de quartes ascendantes existeentre une noteetla même notebémolisée , la note bécarre étant, bien entendu, prise pour point de départ, etc., etc. Tl est presque superflu de dire que tous les intervalles donnés par les répliques de quintes sont censés (art. 18) ramenés dans les limites de l’octave du sou de départ.

(27) L’analyse détaillée de l’échelle n° 3 du tableau (K) pouvant être de quelque intérêt pour ceux qui réunissent le goût de l’art à celui de la science, je vais donner un tableau de cette échelle, où se trouveront les différences offrant la succession des intervalles partiels chromatiques et enharmoniques entre chaque note et celle qui la précède, et mettant en évidence des propriétés caractéristiques de cette échelle. Les tableaux (D) art. 7, et (II) art. 22, avaient une destination semblable : le premier, pour les intervalles diatoniques , le deuxième, pour les intervalles chromatiques. L’unité d’intervalle

est toujours le 12e d’octave; le logarithme acoustique de - ,

sur les multiples duquel la table est formée, n’ayant que cinq décimales significatives, j’ai jugé convenable de les laisser^ mais on pourra n’en lire que deux.

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