A COMPTER DE

ou intervalles

NOTES

V ut son fixe.

PARTIELS

NOTES

l 'ut son fixe.

PARTIELS

ut

fa #. . . .

ré b. . . .

sol

ut #

la b. . . .

ré •

sol #.. .

mi b . . .

la

ré # . . .

si b. . . .

fa b. . . .

la #

mi

ut b

io,863i5

fa

si t

mi # . . .

sol b . . .

ut

si #

fa #

ré b. . . .

Les intervalles de tons entiers, comme ut ré, ré mi, etc., sont de 2d',o3qi; les distances d’une note, soit au dièze de l’inférieure, soit au bémol de la supérieure, sont de od,go225; ces derniers intervalles partiels sont plus contractés que ceux qu’on pourrait leur assimiler dans le tableau (H), art. 22,, et dont la valeur est id,i2; la différence est de od,22. D’une autre part, ce tableau (H) donne bd, 70 entre ré # et mi, sol # et la, tandis que le tableau (L) conserve son intervalle régulier de od,90 entre les mêmes notes, plus fort que l’intervalle

od,70 de — de demi-ton. Mais laissant ces observations de

détail, que chacun pourra multiplier à volonté avec le secours des tableaux précédemment donnés, je vais, eu terminant ce 3e §, entretenir le lecteur d une propriété caractéristique de l’échelle du tableau (L) digne d’attention.

(28) On est frappé, à l’aspect de ce tableau, des dispositions respectives, entre deux notes distantes d’un ton, du dièze de 1 inférieure, et du bémol de la supérieure. Le dièze

est plus haut que le bémol d’environ ^ de demi-ton (od ,2346).

Cette répartition d’intervalles est incompatible avec l’emploi des claviers ordinaires, sur lesquels la même touche sonne le dièze de la touche à gauche et le bémol de la touche à droite. J’ai vu et entendu autrefois un clavecin que La Borde avait fait construire d’après les instructions de Roussier, et sur lequel chacune des notes du tableau (L) avait sa touche particulière; l’instrument accordé h quintes parfaitement justes , rendait très-sensibles les intervalles du ré b à l 'ut#, du mi b au ré# , etc. Quand on 11e faisait entendre, avec ce système, que de la mélodie sans harmonie, les appels et les solations procédant par demi-tons , dans les sens convenables, étaient énergiques; mais dès qu’on y joignait del’harmonie, la dureté des tierces blessait l’oreille ; ce sentiment pénible était surtout produit par les accords parfaits que les harmoniques de la corde sonore donnent immédiatement; l’oreille s’accommodait mieux des accords plus complexes , tels (pie la septième diminuée, la sixte superflue, qui même bien préparés, n’étaient pas sans effet; ce qui tient à l’énergie des appels et des solutions dont j’ai parlé plus haut.

(29) Je ne crois pas qu’il ait été construit un instrument à

clavier enharmonique, autre que celui dont je viens de parler ; les difficultés du toucher en rendaient l’usage impraticable; mais cette lacune dans les moyens d’exécution, par claviers, a été remplie, avec tout le succès désirable, dans les instruments à cordes pincées , par un homme de génie dont les amis des arts regrettent vivement la perte récente, M. le chevalier Sébastien Erard. Sa harpe à double accrochement , ordinairement désignée par le nom de harpe à double mouvement , satisfait aux conditions exigées pour une échelle enharmonique, au moyen de deux crans ou arrêts sur lesquels chaque pédale peut être successivement fixée; ce double accrochement est rendu praticable par un mécanisme aussi simple qu’ingénieux; chaque corde, représentative de trois sons, donne ainsi le bémol à vide, le bécarre au premier accrochement et le dièzeau second accrochement ; les détails du mécanisme sont ai rangés de manière qu’on peut disposer l’instrument soit pour l’accord à tempérament égal , soit pour tout autre système de tempérament, et dans aucun cas (sauf celui des doubles clièzes ou doubles bémols) ou ne se trouve obligé d’employer le dièze de la corde inférieure pour remplacer le bémol de la supérieure, et réciproquement: le doigté d’un trait donné est, ainsi, absolument indépendant de l’armature de la clef, qui peut porter depuis 7 d'èzes jusqu’à 7 bémols sans que cette armature ait la moindre influence sur la difficulté de l’exécution, etc., etc. (*).

(*) J’ai fait, au mois d’avril i8i5, un rapport très -circonstancié, sur cette harpe, aux sections de llnstitut royal de France des Sciences mathématiques et physiques et des Beaux- Arts; et j’ai publié postérieurement, à loccasion de la création d'un professorat de harpe au Conservatoire de

S iv.

Formules analytiques donnant les rapports entre les nombres synchrones de vibrations des cordes sonores et les intervalles musicaux correspondants à ces nombres ; application de ces formules au calcul des tables de logarithmes acoustiques ; progressions harm on iques .

(3o) Ce 4e § est rédigé en faveur de ceux des lecteurs qui ont fait quelques études, simplement élémentaires, de la par-

musique, une note sur ses avantages relatifs et à l'exécution musicale et à l’étude de l’harmonie : après avoir, dès l’origine de l’invention, examiné très-soigneusement le mécanisme adapté à l’instrument, j’ai pu par une longue expérience reconnaître que ce mécanisme remplissait également bien et les conditions musicales et celles de la solidité. Une harpe, à double accrochement ou mouvement , que je possède depuis un grand nombre d’années, est encore dans le même état de jeu qu’à l’époque de sa construction,- j’ajouterai que les hommes sujets à éprouver des fatigues de tête, par l’exercice journalier de la pensée, s’ils ont quelque connaissance, quelque habitude de 1 harmonie et de l’exécution musicale, trouvent dans la harpe une ressource de délassement qu’un autre instrument ne leur procurerait pas; de simples accords, quelques sons ossianiques , que le silence de la nuit rend si expressifs, amènent le calme, préparent le repos, assurent un sommeil doux et tranquille: ces effets tiennent au timbre de la libre animale dont l’action sur nos organes ne peut pas être remplacée par le son de la corde métallique: d’antiques traditions attestent des prodiges physiologiques opérés avec des harpes qui , certainement, ne valaient pas celles d Erard, et des laits, à ma parfaite connaissance, me donnent lieu de penser que ces traditions ne sont pas mensongères.

A propos de sons ossianiques , je ne puis m’empêcher de dire un mot du regret que j’éprouve , et qui est partagé par beaucoup d’amateurs de

tie de l’analyse algébrique relative aux fonctions exponentielles et logarithmiques; ils y trouveront des formules générales pour déterminer immédiatement et sans le secours des tables (i) et (2), les intervalles correspondants à des nombres synchrones de vibrations, ou réciproquement, et suppléer, au besoin , ces mêmes tables , si leur étendue ne suffisait pas à certains calculs qu’on aurait à faire.

Une des premières qualités que l’éducation musicale donne à l’oreille, est celle de la perception de l’égalité entre des intervalles musicaux. Cette éducation n’est même pas nécessaire pour l’unisson et 1 octave; l’oreille ne peut les méconnaître qu’à raison d’un vice d’organisation. Quant aux intervalles de

l’expression musicale, en voyant les harpistes d’aujourd’hui dénaturer un instrument enchanteur, lui faire perdre le charme qui lui est propre en l’assujétissant à rendre des difficultés auxquelles son organe naturel se refuse; j’ai entendu un très-beau concerto de Hummel, exécuté sur la harpe par un artiste d’un talent distingué, et écouté par une assemblée choisie avec une désolante froideur. Il est affligeant de voir la harpe, transformée en forte-piano insignifiant, neutraliser ainsi le génie musical par le défaut de discernement du musicien exécutant. J’ajouterai qu’une des qualités bien précieuses de cet instrument, celle d être éminemment propre à accompagner la voix , se trouve totalement négligée depuis 3o ou 4o ans ; il est vrai que, par des spéculations mercantiles, les graveurs mettent ordinairement, sur les titres des accompagnements, les mots forte-piano et harpe à la suite l’un de l’autre; mais il est aisé de voir que les auteurs de ces accompagnements ne connaissent, en général, que le forte-piano, et ne savent pas comment on pourrait tirer parti des ressources instrumentales qu’offre la harpe. Les recueils d’accompagnements de harpe, pour le chant, étaient très-multipliés vers la fin du siècle dernier, trop sans doute; leur totale disparition n’en est pas moins une lacune dans les jouissances musicales.

quarte et quinte, les instrumentistes de la plus basse classe perçoivent et effectuent leurs successions entre plusieurs cordes, dans l’accord de leurs guitares, mandolines, violons, etc. En général, un musicien à qui on fera entendre deux sons à un certain intervalle musical l’un de l’autre, pourra aisément, en partant d’un 3e son donné, entonner, soit avec la voix, soit avec un instrument libre, un 4” sou formant avec le 3e le même intervalle qui existe entre les deux premiers.

Le phénomène acoustique, duquel résulte cette égalité d intervalles, est l égalité des rapports entre les nombres synchrones des vibrations des cordes numérotées i, 2, 3 et 4- Supposons que les cordes n° i et n° 2 fassent pendant un temps t des nombres respectifs n' et n" de vibrations, et que les cordes n° 3 et n° 4 fassent pendant un même temps T des nombres respectifs de vibrations N' et N"; l’intervalle entre les sons des cordes nos i et 2 sera égal à l’intervalle entre les sons des

cordes nos 3 et 4? si on a ^7 =

(3i) Il suit de là que si plusieurs cordes numérotées o , 1, 2,3,4? 3, etc., sont tendues de manière à faire les nombres synchrones respectifs de vibrations,

na \na \na \na \na ; . . . na \...na ;

na k ; etc (1),

un même intervalle musical existera entre' les sons de deux quelconques de ces cordes, dont les numéros ne différeront que d’une unité, le rapport constant par quotient entre deux

termes consécutifs de la série précédente étant celui de i : .

(82) Je nommerai unité d’intervalle , cet intervalle commun, et son fixe , le son rendu par la corde n° o, celle qui fait un

nombre de vibrations =na^ = n, synchrone avec na^ , a 3

71 a , na , etc.

Je remarque ensuite que cette unité d’intervalle résulte de la sous-division en un nombre k de parties égales de l’intervalle entre le son fiixe et le son de la corde 110 k , celle qui fait le

nombre de vibrations naK , ou na, synchrone avec le nombre n de vibrations de la corde son fixe : cette remarque aura bientôt une application importante.

(33) L’intervalle entre le son fixe et le son de la corde d’un numéro quelconque m, sera donc égal à l’unité d’intervalle répétée autant de lois qu’il y a d’unités numériques dans m , ce qui revient à dire qu’on aura, pour mesure vraie de cet intervalle, le numérateur de l’exposant fractionnaire de a, dans le terme de la série (1) de l’art. 3i, qui donne le nombre synchrone de vibrations faites par cette corde numéro m.

De plus, ce mode de mesure n’est pas applicable seulement aux valeurs de m en nombres entiers ; on peut concevoir des nombres fractionnaires intercalés entre m et m -4- 1, et croissant par différences égales, ou finies ou infiniment petites.

Soit m 4- o un de ces nombres (on a w < 1) , le terme n a * ,

m oj

dont le rapport par quotient avec na ^ est a^ , se rappor-

tera à un son dont l’intervalle avec le son fixe se composera de l’intervalle m, en nombre entier d’unités d’intervalle, plus la fraction ci d'unité d’intervalle.

Soit l’indice général d’intervalle m + <t)=g,= un nombre quelconcjue entier ou fractionnaire, que je suppose d’abord

positif; le terme na' appartiendra à un son, formant avec le son fixe un intervalle composé d’un nombre d’unités d’intervalle et de fractions de cette unité égal à la valeur de g.

(34) La série (i) de l’art. 3i se trouve ainsi assujettie à la loi de continuité; on peut, sans limiter la généralité de cette

série, supposer n~ [ , et sera le nombre de vibrations faites par la corde à laquelle ce terme général de la série appartient, pendant que la corde rendant le son fixe fait une vibration.

Désignant par p ce nombre synchrone de vibrations , sa relation avec l’intervalle musical correspondant sera donnée par l’équation

de laquelle on déduit, pour faciliter les applications numériques, et en désignant par log. v les logarithmes tabulaires usuels ou vulgaires ,

[X log. v. a.—k. log. v. P (3).

Cette équation 11e donne pas seulement l’intervalle entre un son donné et le son fixe, 011 en déduit aussi l’intervalle entre deux sons quelconques produits par des nombres synchrones de vibrations. Soient p' et p" ces nombres, f et f les intervalles

correspondants rapportés au son fixe , on aura (écjuation (2)),

d’où

/ k n k o = ci , p — o ' :

et par suite,

log. v.a = ilog.v.^r) •

On pourra ainsi calculer immédiatement l’intervalle f f entre les sons correspondants aux nombres synchrones donnés de vibrations p' et p", sans avoir besoin de connaître les valeurs particulières de f et f'; et réciproquement, si l’intervalle musical entre les deux sons est donné, on en déduira le

rapport ^7 des nombres synchrones de vibrations.

(35) J’ai considéré particulièrement, dans l’établissement de

l’équation p ~a\ le cas des intervalles ascendants à partir du son fixe , c’est-à-dire le cas des valeurs positives de g; mais cette formule, qui établit la loi de continuité entre les termes de la série (1), art. 3i , est applicable aux valeurs de pi, tant positives que négatives, et il faut seulement savoir ce que désignent ces dernières valeurs.

Si on suppose la série (1), art. 3 1 , prolongée à gauche et

à partir de na ^ par la suite des termes

k JT ~k~ k ~T

na \ na ; n a ; n a ; n a , etc.,

le rapport par quotient de chacun de ces termes avec le ternie

immédiatement suivant sera a' ; donc, si ces termes, y com-

pris le premier na' , sont les valeurs de nombres synchrones de vibrations de cordes sonores, on pourra faire sur les intervalles musicaux des sons rendus par ces cordes au grave du son fixe , les mêmes raisonnements appliqués aux sons

rendus à l’aigu de c e son fixe, et la formule p = a^ énoncera une loi générale du système de cessons, en donnant à l’indice [j. le signe convenable dans chaque cas particulier.

(3 G) Représentant par p( et p 7 des nombres de vibrations synchrones entre eux et avec celles de la corde son fixe , supposant p > p//7 et désignant par pq et p./; les intervalles correspondants , on aura

ZÏ2 zhs.

d’où

L'exposant k est positif, parce que l’hypothèse P / > P// suppose que le son de la corde qui vibre p est plus grave, et conséquemment séparé du son fixe par un plus grand intervalle que le son qui vibre p . L’équation (6) est à l’égard des sons plus graves que le son fixe , ce qu’est l’équation (4) à l’égard des sons plus aigus que ce son fixe.

S’il s’agit de comparer deux sons , l’un plus aigu que le son

fixe, l’autre plus grave, respectivement produits par les nombres synchrones p'et px de vibrations, qui donnent les intervalles f et p.y avec le son fixe ; on aura

L’intervalle f + y., entre les deux sons est la somme des intervalles respectifs entre chacun d’eux et le son fixe.

(3y) Je passe à la formation des tables des logarithmes acoustiques.

If

Cette formation s’effectue au moyen de l’équation p = donnée article 33, dans laquelle, attribuant à p les valeurs successives i, 2, 3, 4 ? etc., on place ces valeurs en regard avec les valeurs correspondantes de pi; les secondes sont les logarithnles acoustiques des premières.

Une détermination préalable, fort importante , est celle de

la quantité constante ou de la base du système logarith-

mique ; a ^ est la valeur de p correspondant à p. = i , celle qui donne le nombre de vibrations d’où résulte le son à l’unité d’intervalle du son fixe ; il est convenable et même nécessaire que cette unité d intervalle ait, avec l’intervalle d’octave, un rapport très-simple et adapté aux habitudes musicales. L’octave peut, dans le classement des intervalles, être mise au

même rang que l’unisson, avec lequel elle est quelquefois confondue, même par des oreilles exercées (*), et on a deux partis à prendre remplissant l’un et l’autre les conditions demandées, savoir :

i° Celui de prendre, pour unité d’intervalle, l’octave elle-

même, auquel cas ona« = 2 et k= i , l’équation p = o^ devenant

La table N° i est calculée d’après cette formule; la colonne Nombres contient les valeurs successives de p, et la colonne Logarithmes acoustiques contient les valeurs correspondantes de

2° Celui de prendre, pour unité d’intervalle, le demi-ton du tempérament égal , ou le 12e d’octave, auquel cas on a a — 2,

et h — 12, l’équation p =a^ , dans laquelle on a

(*) La confusion a lieu particulièrement pour les voix ; j’ai été consulté sur cette matière, il y a quelques années, à propos d’une dissidence d’opinions entre quelques membres du Conservatoire de Musique de Paris; j’adressai à un de MM. les professeurs une note contenant diverses observations , et dans laquelle je me plaignais de la substitution qu’on fait fréquemment de la clef de sol à la clef d’«£, pour écrire les chants de voix d’hommes; ces chants se trouvent, ainsi notés, une octave plus haut qu’ils ne sont réellement chantés.

prenant la forme

Cette seconde forme est mieux adaptée aux habitudes musicales que la précédente ; un intervalle est plus aisément conçu , exprimé en demi-tons qu’en octaves et fractions d’octave, soit ordinaires, soit décimales; on se procure encore, en prenant le 12e d’octave pour unité d’intervalle, un second avantage, celui d’avoir, dans les instruments à touche, accordés suivant le tempérament égal, des étalons de mesures musicales.

La table 2 est calculée d’après la formule (9) ; la colonne Nombres contient, comme dans la table 1 , les valeurs successives de p, et la colonne Logarithmes acoustiques contient les valeurs correspondantes de X.

Il existe entre les systèmes logarithmiques donnés par les formules (8) et (9) une relation qui rend le calcul d’une des tables 1 ou 2 fort aisé, lorsque celui de l’autre est exécuté. Les logarithmes acoustiques de la table 2 sont duo-décuples des logarithmes de la table 1 , correspondants aux mêmes nombres; on voit, en effet, que, pour une même valeur de p,

dans les équations p = 2"' et p = 212, on a 2^= 212 , d’où X = 12 jJL.

(38) Les tables originales, desquelles les tables de logarithmes acoustiques 1 et 2 sont extraites, ont été calculées à 1 5 et 20 décimales , à l’époque où j’étais occupé de la confection des grandes Tables logarithmiques et trigonométriques, formant 18 vol. grand in-fol., déposés à l’Observatoire royal de Paris.

J’avais employé, pour tous ces calculs, la méthode manufacturière des différences, et i5o ou 200 calculateurs, à cpii il suffisait de savoir les deux premières règles de l’arithmétique, remplissaient les pages de mes in-folio (*). Cette méthode des différences n’est pas nécessaire dans le cas dont il s’agit ici, parce qu’on 11’aura jamais à calculer des tables de logarithmes acoustiques d’une grande étendue; mais si on se trouve dans le cas de faire quelques calculs isolés, on emploiera les valeurs numériques qui suivent.

i° TABLE I.

Nota. Les caractéristiques au-dessus desquelles on voit le signe — sont négatives, mais la partie décimale, à droite de la virgule, est positive.

^ log.v. p = |ziog.V. 2; lLz=y—^-—. log.V.p. Log. v. 2 = o,3oio2 99956 63981 = p ,

Log.v. 1

Log. v. p = 1,47860 97723 45675, Lo g.v.p'= o,52i39 02276 54325,

C) Voyez, sur mes grandes Tables logarithmiques et trigonométriques , le rapport fait par Lagrange, Laplace et Delambre, et inséré dans le tome V des Mémoires de l’Institut de France. J’ai publié diverses notices sur ces tables; l’une desquelles a été lue à la séance publique de l’Académie royale des Sciences du 7 juin 1824.