OC OC | I OC
forme l’équation
correspondante à (a), on la trouvera identique; la même identité aura lieu pour l’équation
correspondante à ( 6 ).
Si on continue la série des harmoniques depuis ~ jusqu a^,
et qu’on prenne, table 2, les logarithmes acoustiques des intervalles entre les sons consécutifs et celui qui est rendu
par ^ de longueur, on aura l’échelle
ut, 0,00
ré, 2,04
mi, 3,86
ça, 5,5 1
sol, 7,02
si, 10,88
Ut, 12,00
qui est une espèce d’échelle diatonique où l’on retrouve les notes ré, mi, sol, si, de l’échelle n° 2 du tableau (K), art. 24- Les notes désignées par ça, Xa et ci, sont, respectivement, à od, 53 au-dessus, od , 43 au-dessous, et od’, 27 audessous, du fa, du la et du si b de la même échelle du tableau (K).
Continuant encore la série des harmoniques , depuis -L
jusqu’à^-, on a une nouvelle octave divisée en 16 parties,
dont les intervalles, à compter du son rendu par le ^ de la corde, sont, table 2,
ut, 0,00
ré, 2,q4
mi, 3,86
ça, 5,5 1
sol, 7,02
sol, 7,02
‘ Xa , 8,4i
si, 10,88
it,45
Ut, 12,00
Cette échelle peut être assimilée à une échelle chromatique, quoique les intervalles partiels y soient très-sensiblement différents de ceux qui existent entre les notes des échelles du tableau (K).
L’octave qui suit l’échelle (N) est comprise entre les har-
moniques ^
cette octave est divisée en trente -deux
parties , et constitue ainsi une espèce d’échelle enharmonique; on aura les intervalles entre les sons de cette échelle et le son
rendu par ^ de la corde, en retranchant 60 de tous les logarithmes acoustiques, depuis celui de 32 jusqu’à celui de 64-
(44) peut remarquer que les sons de l’échelle (M) se retrouvent tous parmi ceux de l’échelle (N) aux ire, 3e, 5e, 7e, 9e, etc., cases. Il en serait de même de l’échelle (N) par rapport à 1 échelle dite enharmonique , qu’on formerait entre
les sons rendus par le ^ et le ^ de la corde. Il est aisé de vérifier, d’une manière générale, cette propriété du système logarithmique binaire , qui a son analogue dans un système logarithmique quelconque.
Soit 2 n un des nombres de la colonne Nombres d’une des
tables 1 ou 2 ; on aura , en commençant par ce terme 2” , la suite de nombres et de logarithmes acoustiques correspondants qui complètent l’étendue d’une octave; et en prenant la table 2 pour exemple,
1 Nombres.
I log. ac.
<7'log.V.2n
q' log. v . ( 1 + 2")
q' log. v. (2 + 2")
<7 log* v.(3 + 2")
j Nombres.
lo<r. ac.
q’ log. v. (£+ 2")
q ' log. ■v.2n'4',
si on veut compter les intervalles , à partir des premiers termes de ces deux suites, il faudra diviser tous les termes de
la première suite par 2.'1, et retrancher q' log. v. 2” de tous les termes de la 2e suite, et ces deux suites deviendront
Nombres.
log. ac.
loS-v'(ïr +■)
Nombres.
log. ac.
q log. v. 2
Qu’on fasse maintenant les mêmes opérations dans l’étendue
de l’octave comprise entre o!l+ 1 et 2^ + 2, laquelle est sousdivisée en un nombre d’intervalles double du nombre de ceux
qui partagent l’octave 2^ et 2?! + I, un terme quelconque de numéro pair de la nouvelle série logarithmique pourra être représenté par
q' log. v. + 1 ) = q' log. v. ^ + 1 ) ’
correspondant au nombre synchrone
on voit que les termes pris de deux en deux dans les séries
formées entre 2” + 1 et 2,!+2 seront identiques avec les termes consécutifs des séries (P). Des séries analogues, formées entre 2,i + 2 et 2^ + ^, donneraient les identités de 4 en 4? et ainsi de suite.
Il suit de ce qui précède que si la série des logarithmes acoustisques est distribuée en une suite d’octaves, commen-
cette propriété du système logarithmique binaire avait sou analogue dans un système logarithmique quelconque; ainsi, par exemple, la série des logarithmes vulgaires de ioooo à 100000 renferme (abstraction faite des caractéristiques) tous les logarithmes de 1000 à ioooo, de iooà 1000, de ioà ioo, de i à 10. Si on voulait former une table de logarithmes acoustiques très-étendue, il suffirait de calculer la dernière octave, qui donnerait toutes les autres au moyen de modifications des caractéristiques qui se feraient à vue.
(45) Ces suites d’octaves , successivement divisées en 8 , 16, 32,64, etc., parties, qu’offre la table de logarithmes acoustiques , rendraient cette table fort utile pour préciser les examens relatifs aux échelles musicales anciennes et à des échelles de peuples modernes qui renferment des intervalles plus petits que le demi-ton ; les intervalles partiels varient dans chacune de ces octaves et diminuent graduellement depuis le premier jusqu’au dernier. Pour avoir la valeur générale de ces variations , considérons l echelle comprise entre les
nombres synchrones 2" et 2W~+~ 1 ; et soient e et e + i , les numéros de deux intervalles consécutifs, numéros comptés à partir du son correspondant à 2"; l’excès du 2e intervalle sur le ier, ou l’intervalle partiel , aura pour valeur ( table 2 ), (*)
(*) L’équation (5) de l’art. 34, appliquée au cas de la table 2, donne
quantité qui diminue lorque s augmente; si, prenant pour exemple l’échelle comprise entre les nombres synchrones
64 et 128, ce qui suppose n = 6 , et ^ — 64 , on fait, dans la formule précédente, e = o, et s = 63 , la première valeur de e donnera
q' log. v. ^1 -t- = od-,2684i38 ,
et la deuxième valeur de e donnera
?' log- v- (1 + 63T64 357*38;
résultats conformes à ce que donnent, dans la table 2, les différences entre les logarithmes acoustiques de 65 et 64 , de 128 et 127.
(46) On a fait quelques tentatives pour former un système musical des échelles successives données par la série des logarithmes acoustiques ; ces logarithmes n’ont pas été mentionnés , et cependant ils auraient pu être d’une grande ressource pour l’examen du système proposé ; mais on représentait les
sons par les termes de la progression harmonique,
etc. , dont les dénominateurs sont les nombres synchrones des
v'-x'=HV^lo«-v- = (0;
log. \.a u y p' faisant p'= 2^ + e, p" = 2n-t-e-f- 1 , on a
X"~ V=y' log.v.
— q' log. v.
tables i et 2. Les premiers de ces termes étant manifestement compris dans la résonnance du corps sonore, on en concluait qu’ils étaient tous donnés par la nature, et que le nombre et la variété de leurs échelles offraient des ressources sans bornes au génie musical; ainsi la petitesse des intervalles partiels admissibles n’était point limitée. O11 a vu , à l’article précédent, que ces intervalles, dans les derniers sons de l’échelle comprise entre 64 et 128, se réduisaient à od, i4, un peu moins
de - de demi-ton.
Le système dont je parle a été présenté avec détail par M. l’abbé Jamand , chanoine de Sainte-Geneviève, dans un ouvrage publié en 1769, et ayant pour titre : Recherches sur la théorie de la musique. On lit dans cet ouvrage, pages 222 et 223, les phrases suivantes : « Nous ne craignons pas de « dire que toute suite de sons, dont les expressions seront a une progression harmonique, telle que le premier terme « sera double du dernier, formera l’échelle d’un mode parti- « culier, qui prendra son nom de la note qui répondra au cc premier terme de la progression : or, comme tous les nom- « bres possibles peuvent chacun devenir le premier terme « d’une progression harmonique, il s’ensuit qu’il peut y a avoir une infinité de modes dans le sens où nous prenons « le mode majeur et le mode mineur; ce que l’on peut déduire « légitimement de la formation de ces deux modes. Si la na- <c ture offre au peintre une infinité de couleurs différentes, « pour qu’il puisse traiter tous les tableaux qui existent dans « son imagination, elle offre de même au musicien une infi- « nité de modes différents pour qu’il puisse exprimer les diffé- « rents sentiments dont il peut être affecté. »
I/esprit de système, et, à ce qu’il paraît, une imagination exaltée, ont égaré M. l’abbé Jamard; mais ses rêveries sont agréables à lire (*).
(*) Les lecteurs qui auront accordé quelque attention aux quatre premiers § de mon instruction élémentaire , pourront juger si j’ai bien réalisé la promesse de mettre les procédés , par lesquels on obtient les mesures vraies des intervalles musicaux et la théorie de ces procédés, à la portée, soit de ceux qui ne savent que les premières règles de l’arithmétique , soit de ceux qui n’ont étudié que les éléments du calcul algébrique. Le seul genre de mérite que je me permettrai de réclamer d’avance, en faveur de cet opuscule, est celui d'être le premier où la matière qui en fait l’objet soit mise en corps de doctrine régulier et complet, présentée avec tous les développements qu’exigent les applications musicales. D’après la connaissance que j’ai de ce qui a été publié jusqu’à présent en musique, je ne découvrirais pas sans étonnement l’existence d’un traité ou mémoire qui piàt remplacer le mien.
Cependant les logarithmes, que j’ai appelés acoustiques , ont été signalés, depuis long-temps, par de célèbres théoriciens; il y a près d’un siècle que le grand géomètre Léonard Euler en a fait quelque usage dans son Tentamen novæ Theoriæ musicæ , etc., Petropoli , i 7 3y; où il a donné, page io3 , les huit premiers logarithmes de la table i. On trouve, dans le volume de 1774 ( imprimé en 177 6 ) de l’ Académie de Berlin, un mémoire de Lambert , intitulé Remarques sur le tempérament en musique , où des mesures vraies d intervalles , en i2cs d’octave, sont employées. Les logarithmes se trouvent aussi mentionnés dans quelques autres publications sur les théories musicales ; mais on chercherait vainement, dans tout ce qui a été mis au jour sur ces théories , même l intention d’une exposition raisonnée qu’on puisse assimiler aux traités que nous avons sur l’arithmétique , la géométrie , etc. Les tables qui sont les instruments d'évaluation ( les tables 1 et 2 ), sont indiquées dans Euler et Lambert , mais n’y sont pas données; ce qui est relatif tant à l’emploi qu’à la composition de ces
Formates analytiques relatives à l’acoustique musicale ; applications aux instruments de musique , ci la détermination du son fixe , aux tuyaux d’orgues ouverts ; moyen proposé pour avoir, sur le forte-piano , l'étendue entière des sons admissibles en musique ; orgue expressif de Sébastien Erard.
(4- 7) Les détails qui suivent sont extraits de la seetion iv de la IIe partie de ma Mécanique analytique ; j’ai donné, dans cet ouvrage, depuis l’art. ia36 jusqu’à l’art. 1261 , une solution analytique générale du problème de la corde vibrante, et les applications de cette solution à plusieurs questions d’acoustique musicale, parmi lesquelles se trouve celle de la détermination du son fixe.
Voici la signification des lettres qui entrent dans les formules :
a = longueur de la corde entre les points fixes.
, p = poids de la corde entre les mêmes points fixes.
II ■— poids de la corde sous l’unité de longueur. k = poids de la matière de la corde sous l’unité de volume. r =. rayon de la corde.
instruments de calcul paraît, pour la première fois, dans les quatre § que termine la présente note.
Je m’estimerais heureux si la tâche que j’ai essayé de remplir pouvait , en introduisant quelques améliorations dans les études et les discussions musicales , profiter à l’art enchanteur auquel j’ai dû, dans le cours de ma longue vie, tant de jouissances et de consolations.
P = le poids mesurant la tension de la corde.
n — nombre de vibrations de la corde pendant une seconde , prise pour unité de temps.
t = durée d’une vibration de la corde.
j = intervalle musical exprimé en i2es d’octave, entre les sons de deux cordes à l’une desquelles se rapporteraient les quantités a, p , et P, ci-dessus définies; les quantités analogues , relatives à l’autre corde , étant at, pt et P,.
g = force accélératrice due à la pesanteur = 9 mèt , 8088, à la latitude de Paris. Log. g — 0,9916167.
7 r = demi-circonférence qui a l’unité pour rayon = 3, 1 4 1 $9 ; Log. TC = o, 497r499-
O11 a les relations qui suivent entre les quantités ci-dessus définies.
n=*ÀT-;T = (0
» = ^ = v/sï = ^ = -^P= (a)
T v ap al/n ari^itk v 7
Log. p = log. p) ±y log. (2 • ) = log. P ) ... (3)
( Le signe log. indique des logarithmes vulgaires ).
iî = 0,0,6017 16659 43997.
Dans le cas où une même corde de longueur donnée est successivement tendue par les poids P et P/? l’équation (3) devient
Log. P = log. P ±7 a
Les signes -+- et — du terme j ü s’appliquent, respectivement, aux cas où le son dù à la tension P est plus aigu ou plus grave que le son dù à la tension P, (*).
a étant la longueur initiale d’une corde sonore, qui sous une tension déterminée donne un son pareillement déterminé , quand elle vibre sur toute cette longueur a; si la corde, conservant sa tension, est raccourcie par un chevalet mobile, ou autre moyen analogue, de manière à vibrer successivement sur différentes longueurs désignées par la variable z; il y aura, pour chaque valeur de z , un intervalle y entre le son rendu sous cette longueur et le son rendu sous la longueur a: prenant le 12e d’octave pour unité d’intervalle, on a la relation suivante entre z et j :
Log z = log. a — log. 2 = log. a tùj (5)
(*) J’ai lieu de penser que les équations (3) et (4) sont données ici pour la première fois.
Voici une formule que je n’ai point insérée dans le texte, parce quelle est de pure curiosité : Ç étant la longueur du pendule dont les oscillations sont synchrones aux vibrations de la corde sonore, on a
La construction d’un semblable pendule 11’est pas praticable, sa plus grande longueur n’atteignant pas un millimètre; en effet, si on applique la formule précédente au son le plus grave de notre échelle musicale, celui que rend le tuyau d’orgue appelé par les facteurs le 32 pieds , qui donne 32 vibrations par seconde, on trouve £ = oraiM , 97 ; et tout autre cas, pris dans notre échelle musicale, donnerait une longueur plus petite.
(48) Les équations (4) et (5) de l’article précédent peuvent avoir des applications utiles pour des déterminations relatives à l’acoustique musicale. Par la première, étant donnée, la tension initiale P, d’une corde qui conserve une longueur constante, on détermine les poids P, ou P, ± m, dont il faut successivement composer la charge totale de la corde sous les tensions variables P, pour obtenir des intervalles donnés entre les sons de la corde, sous ces tensions variables, et le son initial sous la tension P;. Par la seconde, la tension restant constante, on détermine les longueurs successives, correspondantes à des intervalles donnés entre le son de la corde raccourcie et le son de la corde sous la longueur initiale.
premier exemple; application de la formule (4).
La corde, sous une tension initiale de 3ooo grammes = P , donnant le son ut , on veut connaître le poids P qui lui fera donner le son la de l’échelle (G) , n°2, art. 20 , ou (K) , n° 2 , art. 24. Ce son la est coté sur les deux tableaux (G) et (K), 8, 84 = y, ou, si on veut deux décimales de plus, en calcuant j immédiatement d’après le tableau (F) , art. 20, on aura j = 8d ,8436 , et l’équation (4) deviendra
Log. P = log. 3ooo + 8,8436 x 0,05017 2 ,
et, effectuant le calcul,
8,8437 x o,o5oi 7 2 = 0,44370 Log. 3ooo =3,47712
1 grammes.
Somme = log. P =3,92082 P = 833,4-
Le la, 9% 0000 de l’échelle du tempérament égal, exigerait
un
poids de 8485 grammes, et le /a, q'1 , o5865 de l’échelle enharmonique (L) , art. 27 , en exigerait un de 8543 grammes.
deuxième exemple; application de la formule (5).
La longueur initiale de la corde est de 602 millimèt. — a; quelle est la portion de cette corde qui donnera le son mi # de 1 echelle enharmonique (L), art. 27 ? Le mi# est coté 5d-,2i 5 =j, et l’équation (5) devient
Log. z = log. 602 — o,o25o86 x 5,2 1 5 , et, effectuant le calcul,
Log. 602 = 2,77959 65 o,o25o8f> x 5,21 5 =0,1 3o8235
■ " 1 1 mdl.
Différence = log. z = 2,6487730 ; z = 445, 42-
Il faut raccourcir la corde de 6o2mi11 — z — i56,ni"', 58, et les 445mi,\42 restants sonneront le mi # à l intervalle de 5d', 21 5 avec l’ut son fixe.
On peut ainsi, en donnant au facteur /, dans les termes a j et ü> 7 , la suite des valeurs qui constituent une échelle diatonique, chromatique ou enharmonique, calculer fort aisément la table, soit dune série de poids, soit d’une série de longueurs propres à faire rendre cà une corde, dont la tension et la longueur initiale sont données, tous les sons dont ces échelles se composent. Mon appareil acoustique, ci-dessus mentionné ( note de l’art. 3), réunit ces deux moyens de faire varier les intervalles ; une corde métallique verticale, chargée de 3ooo grammes , sonne l’ut de la clef d’ut , dont il sera parlé ci-après, et un assortiment de poids ajoutés successivement
les uns aux autres et aux 3ooo grammes, fout rendre à la corde des séries de sons assujétis à différentes lois. D une autre part, diverses échelles donnant à vue, sans verniers, la précision de
— de demi-ton, ou — L- d’octave, peuvent, la tension demeu-
