i.ll

quotient 1 024 est la dixième puissance de 2, on en conclut que la raison de la progression est 2 ; de sorte que cette progression est -fi-2:4:8:16:32:64:128:

$ 7. Des logarithmes,

UTILITE DBS I.0GABITHyK8.

La manière dont nous avons mis en regard les propriétés des proportions et des progressions par difTérence et par quotient , a fait ressortir l'analogie frappante qui existe entre les résultats dédnits des définitions des deux espèces de rapports. En poussant celte analogie jusqu'à ses dernières conséquences , on arrive à la connaissance des logarithmes au moyen desquels les multiplications sont ramenées â des additions , les divisions à des soustractions, les élévations aux puissances à des multiplications, et les extractions de racines à des divisions. Rt cependant on remarque avec peine que cette admirable découverte , faite il y a plus de deux siècles par le baron écossais Xeper (ou Mapier), ne se trouve point encore suffisamment naturalisée en France.

OniGIlUB BT PROPaiKTés DBS IX>GARITHUBS.

Si on compare deux progressions , l'une arithmétique, dont le premier terme soit scro , l'autre géométrique , dont le premier terme soit l'unité , telle que :

-0. 3. 6 . 9. 12 . 15. 18. 21 : 24 . etc. -rf ' 1 : 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : 64 : 128 : 256 : etc. les termes de la progression arithmétique sont appelés les logarithmes des termes de même rang dans la progression géométrique.

Si on ajoute les termes 6 et 12 de la progression arithmétique, et que l'on multiplie l'un par l'autre les termes 4 et 16 , qui , dans la progression géométrique , correspondent respeelivement à 6 et i 12 , la somme 18 et le produit 64 se correspondent dans les deux progressions.

Donc le logarithme d'un produit est égal i la sonme des logarithme^ des facteurt.

Le logarithme d'un quotient est égal à la diférence entre les logarithmes du dividende et du diviseur.

Le logarithme d'une puisêomee quelconque d'un nombre est égal au produit du logarithme du nombre par le degré de la puissance.

Le logarithme d'une racine quelconque d'un nombre est égal au quotient du logarithme du nombre par le degré de la racine i extraire.

Le système de logarithmes que l'on emploie ordinairement consiste dans l'ensemble des deux progressions. ^0. 1.2.3.4. 5. 6 4 1 : 10 : 100 : 1000 : 10000 : 100000 : 1000000 :

La seconde peut se mettre sons la forme ^ 1 : 10» : 10» : 10» : 10* : 10« : 10« :

TABLB8 DB LOGARITBUBS.

Pour que lej propriétés des logarithmes soient applicables à tous les nombres , il suffit de concevoir qoe l'on ait inséré entre 1 et 10, entre 10 et 100, entre 100 et 1000, etc. , un très-grand nombre de moyens géométriques , de sorte que , parmi ces termes intercalaires qui différeront très- peu les uns des antres , il y en ait deux qui comprennent le nombre 2 ; deux autres qui comprennent le nombre 3 , deux le nombre 4 , etc. Si l'on a inséré entre les deux termes consécutifs de la progression arithmétique, les mêmes nombres de dioyens équidifférents, ceux de ces termes intercalaires qui correspondront aux nombres les plus rapproché^Ç]^ |l^ 3 , de

é , dans U progrenion géométrique , {x>iimmt être considérés eomme les logarithmes de 2 , de 3, de 4 , et jouiront des propriétés précédemment énoncées.

Déduisons les ctraclères principaux de cette table des denx progressions fondamentales qui se correspondent

D*al>ord les logarithmes des nombres compris entre 1 et 10, entre 10 et 100, entre 100 et 1000, ou entre 1 et 10', entre 10^ et 10*, entre 10< et 10',... sont respectivement compris entre 0 et 1, entre 1 et 2, entre 2 et 3 , etc. . . Or, si Ton appelle caraetérUtiquê la partie entière d'un logarithnie , il s'ensuit que :

lo La caractéristique du logarithme d*un nombre est moindre d'une unité que le nombre des chiffres de la partie entière de ce nombre ;

2» La caractéristique du logarithme d'un nombre change seule quand on déplace dans ce nombre la virgule qui sépare les entiers des chiffres décimaux ; la partie décimale du logarithme ne change pas.

Ainsi Log. 13=Log. 1300— Log. 100=Log. 1300— 2. Log. 1245=Log. l,45-+-Log. 1000=Log. l,245-hL3.

Ou connaît donc , à prioriy d'après ces principes , la caractéristique ou partie entière du logarithme de tout nombre plus grand que l'unité.

Pour déterminer les caractéristiques des logarithmes àeê nombres moindres que l'unité , il suffit d'imaginer que les progressions primitives ont été prolongées en avant vers la gauche , suivant la même loi. Or, comme dans la première chaque terme est égal à celui qui le suit vers la droite , diminué d'une unité , et que dans la seconde chaque terme est égal à celui qui le suit vers la droite divisé par 10, on écrira :

TôR

Tïo "

• • lOUOO

Les caractères F, 2*, 3, 4... dans lesquels le signe — (moins) est placé au-dessus des nombres, indiquent que ces nombres sont négatift, qu'ils doivent être soustraits au lieu d'être ajoutés.

Si donc le logarithme de 2 est 0,30103, celui de 20 sera 1,30103, celui de 200 sera 2,J0103, celui de 0,2 sera 1,30103, celui de 0,02 sera 2,30103, etc...

Puisque l'on connaît toujours à priori la caractéristique positive ou négative d'un nombre quelconque plus grand ou plus petit que l'unité , il est inutile de mettre dans les tables les caractéristiques des logarithmes.