IT <L

Si l'un veut évaluer une portion quelconque de la longueur de cette règle avec une approximation marquée par des diriè- ^ me» de millimètre , on prendra une ^ règle CD d'une longueur égale à neuf millimètres et on la divisera en dix ^ parties égales, ce qui est facile. La ^ partie à gauche de la figure représen'.e ces divisions marquées en chiffres arabes 1, 2, 3, 4, etc., et qui toutes diffèrent des divisions comprises sur AB entre A et la division ix. Maintenant si la règle CD a son extrémité C appliquée en un certain point de la grande règle, au delà de la division IV, comme on le voit sur la partie i droite de la figure, le nombre de dixièmes dont Torigine C est avsûQcée au delà de la division IV, ^^ est exprimé par le rang de la divi-

iion clf> Ja réglette CD qui se trouve dans le prolongement d'iiER* fies divisions de la règle AB. Ici c'est la troisième , df sorie que l'origine de la réglette est i 4 millim^res i'i , - ua delà du point A.

Ct [le réglette CD est ce que l'on appelle le vemier. Un pfut adapter à des instruments de précision des ii^riiu ri qui donnent facilement yj et même j^h ^^ ™''' liniotri\ Mais il faut faire usage d'un verre grossissant pour U lecture des divisions.

Du a aussi des verniers circulaires dont on se fera une LdL^u ra supposant que les règles de la figure précédente Èv ri'coerbent sur elles-mêmes en forme de cercle , dans le pUu de cette figure. Les verniers de ce genre servent i livalupt- les angles au centre ou les arcs correspondants à moins de 10 secondes sexagésimales. Sur certains cerclera rk'iLloés à la haute astronomie, on évalue même les anc^led à J- seconde près.

Lf nam de cet ingénieux instrument est celui de son inu'nl<?ur , habile malbcmalicien franc-comtois, qui flori^ïail au commencement du 17^ siècle.

Le rompa» de proportion , instrument dont l'invention a l'ir- disputée à Galilée par Balthasar Capra, un de ses i-U-^i'i ( jig. 47), est fondé sur le même principe que le compas de réduction , mais a beaucoup plus d'usages que celui-ci. Il se compose de deux règles d'égale longueur, réunies par une cbamière dont le centre est le point de concours des bords intérieurs des deux règles. Ces règles portent des divisions différentes intitulées /m />ar<t>« égales, les corde» ^ les polygones, le» planta les solide» , les métaux , etc. , dont la destination est expliquée avec détail dans divers traités spéciaux , et notamment dans \'u-i(ffjt^ du compas de proportion , par Osanam, édition rtiiie par Garnier.

l'otir parler seulement de l'échelle des parties égales , il i'jit facile de voir qu'elle sert à diviser une longueur doom e i'H parties proportionnelles à des nombres donnés. Siippoions , par exemple, qu'il s'agisse de trouver une liMTio dont la longueur soit à une longueur donnée comme 3 i^&l a 1 0. On ouvrira le compas jusqu'à ce que la dis- U^^c^' des deux points marqués 10, sur les parties égales, . sii I i]\sih à la longueur donnée, ce dont on s'assurera à ! ..lidr lYnn compas ordinaire ; la dislance des deux points [rinr<|iH'e 3 sera alors égale à la longueur cherchée.

L^i coastruction des éch^les , si utiles dans toutes les it|it>raliûi)s graphiques, telles que le tracé des plans et des rirli-^ , les dessins d'architecture et de machines, etc. , f^l encore fondée sqr les. propriétés ^^ triangles sem- Mnlilr* * ^y . . "

Supposons par exemple que AB (fig. 48) soit l'oniié

àittf^^H ç D K adoptée pour un

*"^" "" ziZ dessin, et qu'il

-P s'agisse d'ëva- ^P luer les diffé- ' rentes longueurs mesurées sur ce dessin à ^5 dunité près.

^* Sur la ligne

Afi prolongée, on prendra les longueurs BG, CD, DE, etc. , égales à AB ; puis ayant élevé aux points A, B, C, D, £, etc., des perpendiculaires indéfinies à AE, on comptera sur Tune d'elles, sur BB', par exemple, 10 parties égales, de longueur arbitraire, dont les extrémités sont marquées aux points de division 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, B*. Par ces points de division, on mène des parallèles à AE. Enfin , après avoir divisé aussi AB et A'B' en 1 0 parties égales, on tire des lignes obliques de la première division de AB, au point A' ; de la seconde division de AB à la première de A'B', et ainsi de suite. On voit alors que dans le triangle BIB*, la parallèle i la base qui correspond i la division 1 vaut -^ de IB', on ^-^ de AB ; que les parallèles suivantes valent successivement ,-fo»Tïo' ^^^'

Pour mesurer i cette échelle ainsi construite une l<vigueur prise au compas , on la porte sur Tune des parallèles à AE , de manière que les deux points du compas coïncident sensiblement avec deux points de division N et H, par exemple. On Toit alors que cette longueur se compose : 1» de N6 ou de 2 unités , 2« de MP ou des Y^ d'unité ; S'» de P8 ou de f^ , de sorte que l'expression numérique de la longueur est 2,36.

Le paniogràpke ou tingt est un instrument à l'aide duquel on peut immédiatement copier, d'une manière continue, une figure quelconque, en réduisant tontes les dimensions de cette figure dans un rapport donné. MNPa (fig. 49) est un parallélogramme composé de quatre règles qui tournent autour d'articulations ou de chevillettes placées aux quatre sommets. Un crayon est placé en a et une pointe est fixée en A , sur le prolongement de la règle NP, et de telle manière que la droite Aa prolongée passe par le point O que l'on maintient fixe.

En suivant avec la pointe A tous les contours d'une figure quelconque ABC , le crayon reproduira une figure absolument semblable ahc. Le rapport des dimensions de ces figures est celui de OA k Ou ou de OM à ON.

Les règles ON, aP portent donc des froos numérotés d'avance , pour que l'on puisse à volonté y placer les chevillettes et dessiner ainsi à une échelle déterminée.

zmi

La fignre 50 représente un modèle très-soigné, entiè* rement en cuivre dont les côtés sont divisés en centimètres.

H. Ernst, habile fabricant d'instruments de mathématiques, établit aussi ses pantographes avec des échelles à Vernier, et par ce perfectionnement, tout à fait analogue à celui que M. de Prony a apporté au compas de réduction, le pantographe acquiert une précision remarquable.

Le pantographe était décrit, dès 1631, dans un livre publié à Rome sous le titre : Pantagraphia , ieu art de- Uneandi rt» quaslibety etc.

g 7. Tracé dei figure» et solution des problèmes ou éléments de dessin linéaire.

On trouve dans ce qui précède tons les éléments nécessaires à la solution des principaux problèmes et au tracé des figures géométriques les plus usitées. Il a paru ji utile de résumer ici , dans leur

ordre logique, les problèmes les plus usuels relatifs au tracé des figures.

I. Diviser une droite CD en deux parties égales? — Des denx points C et D, comme centres , avec un rayon suffisamment grand , décrives les arcs de cercle qui se coupent en B au-dessus de CD, et en E an-dessous de la même ligne. Tires la droite BE, cette droite coupera CD en son milieu A.

Il n'est pas nécessaire que le rayon des arcs de cercle au-dessus de CD soit le même que le rayon des arcs de cercle au-dessous.

H. Par un point donné A sur une droite , élever une perpendiculaire à cette droite? — Prenei sur la droite donnée les distances égales AC , AD , à partir du point A. Les points C et D étant pris pour centres , achevés , comme dans le problème précédent : la droite AB sera la perpendiculaire demandée. Comme vérification , les 3 points B , A , £ seront en ligne droite.

III. D'un point donné B hors d'une droite CD abaisser une perpendiculaire sur cette droite? — Décrivez du point B, comme centre, avec une ouverture de compas suffisante, un arc CMD, qui coupera la droite donnée en deux points C et D ; puis des points C et D comme centres, avec une ouverture de compas suffisante, traces deux arcs qui se couperaient en E ; la droite BE serait la perpendiculaire demandée.

BC et BD sont des obliques par rapport à la perpendiculaire BA.

IV. Diviser un angle CBD ou un arc CMD en deux parties égales ?

Il suffit d'abaisser du sommet B de l'angle une perpendiculaire BE sur la corde CD qui soustend l'arc CMD compris entre les côtés BC et BD de cet angle, et décrit du sommet, comme centre.

V. Au point A d'une droite donnée AB, faire un angle égal à un angle donné K ?

Du sommet K comme centre et d'un rayon à volonté,

L^ ^^ décrives l'arc IL terminé aux

^"'^ ^y'"\ deux côtés de l'angle ; du

^^^ j- ^ 5- point A comme centre et

52 d'un rayon AB égal i Kl, dé-

crives l'arc indéfini BD ; prenes ensuite un rayon égal i la corde Ll ; du point B, comme centre de ce rayon, dé- ^ „ p. crives un arc qui coupe en

B D l'arc indéfini BD ; tirez AD, et l'angle DAB sera égal à l'angle donné K.

VI. Par un point donné A mener une parallèle 4 une droite donnée BC (fiflPigSCTjP?' b^^-M)n point A , comme

GÉOMÉTRIE. — PLANS. — ARPENTAGE

centre, et (Tod rt|on taffiMminent grand, déerifes Tare indéfini KO ; dn point E , comme centre , et dn même rayon, décrivei l'arc AF, preoei RD égaJ i AP, et tires AD qai sert Im parallèle demandée.

Telle est la construction par la règle et le compas. Il y en anne antre pins nsnelle donnée par Téquerre. (Voy. col. 41 , fig. 43.)

Vil. Deni angles d'un triangle étant donnés , trouver C le troisième ? — Il snfBt d'ajouter

les deux angles DEC, CEH, l'un à Il côté de Pantra , de manière que , leurs sommets coïncident en E et qu'ils aient un côté commun EG , en prolongeant le c6té DE vers F, on a l'angle demandé FEH.

VIII. Etant donnés deux côtés d'un triangle et l'angle qu'ils comprennent, décrire le triangle? — Il suffit de prendre sur les deux côtés de l'angle donné des quantités égales aux côtés donnés.

IX. Etant donnés un côlé et deux angles d'un triangle, décrire le triangle? — Si les deux angles sont adjacents an côté donné, la construction se présente d'ellemême. Si l'un des angles est opposé i ce côté, commences par trouver le troisième angle par le problème VII ; alon Yous retombes dans le premier cas, et le sommet do triangle est déterminé par l'intersection de deux droites.

X. Décrire un triangle dont on connaît les trois côtés ? — Le problème n'est possible qu'autant que la somme de deux côtés est toujours plus grande que le troisième. Le sommet dn triangle est déterminé par Tinlersection de deux ares de cerele dont les sommets et les rayons sent eonnns.

XL Etant donnés deux côtés DE, EF, d'un triangle

i; (fig. 55) et l'sngle D opposé à

/ v^ l'un d'eux , décrire le triangle ?

/ \^ Prenes DE sur l'un des côtés de

Vy^ l'angle donné , et du point E ,

D F comme centre, décrives avec un

^^ rayon égal à EF un arc de cercle

qui coupe l'autre côté de Pangle , le triangle EDF sera

détcmiioé.

Le problème n'est possible qu'autant que EF n'est pas plus petit que la perpendiculaire abaissée du point E sur DF. Loraqoe EF est plus grand que celle perpendiculaire et moindre que l'autre côté DE, le problème admet deux solutions DEF , G DEG (fig. 56).

Rbuirqui. — Il y a dans un triangle six éléments : trois côtés et trois angles. Le tri • angle est déterminé lorsque trois de ces six éléments sont connus , pourvu que , parmi les trois , on compte an moins un côlé.

Pour le triangle rectangle , il suffit de connaître deux éléments qui diffèrent de l'angle droit, mais toujours au moins un côté.

XII. Les côtés adjacents d'un parallélogramme étant donnés avec l'angle qu'ils comprennent, décrire le parallélogreoune ?

Il suffit de mener par chacune des extrémités des côtés qui comprennent l'angle donné une parallèle à l'autre.

XIII. Trouver le centre d'un cercle ou d'un arc donné (fig. 57) ? — Prenes i volonté dans la circonférence ou dans l'arc trois points A , B , C ; joignes ou imagines qu'on joigne AB et BG, divises ces droites en deux parties égales par les perpendiculaires DE , FG ; le point 0, où ces perpendiculaires se rencontrent, sera le centre cherché.

1^ même construction sert à faire passer une cirron-

férenee par les trois points donnés A, B, C, et aussi 4 circonscrire une circonférence à un triangle donné ABC.

XIV. Par un point donné A sur la circonférence (fig. 58) ou hors de la

circonférence (fig.

59) mener une tangente AB à cette circonférence?

(Voy. col.

Dans le premier cas , il suffit de tirer AD perpendiculaire à CA (fig. 58).

Pour mener une tangente i une circonférence par un point extérieur A (fig. 59), il suffit de tirer une droite de ce point & l'un des points B , D où la circonférence donnée est coupée par une autre circonférence décrite sur la distance du point donné A au centre de la première C , comme diamètre.

Dans le second cas , le problème admet donc deux solutions AB , AD.

XV. Inscrire un cercle dans un triangle donné ABC (fig. 60) ? — Les trois lignes, qui divisent en deux parties égales chacun des trois angles du triangle, concourent en un même point 0 , qui est le centre d» cerele inscrit ; le rayon de ce cercle est la distance du point 0

à chacun

des trois

côtés du

triangle.

XVLSur D une droite donnée AB

(fig. 61).

décrire un

segment capable d'un angle donné ABF, c'est-à-dire un segment tel que tous les angles qui y sont inscrits soient égaux i l'angle donné ? ( Voy. col. 36 ). — Par le milieu de AB élevez une perpendiculaire indéfinie GO que rencontre en 0 la perpendiculaire BO élevé à BF en B. OB sera le rayon et 0 le centre de la cireonféreuce dans laquelle AMB sera le segment demandé.

XVII. Diviser une droite AB (fig. 62) en un nombre quelconque de parties proportionnelles i des lignes données? — Places les lignes données AC , CD , DE bout à bout sur une droite quelconque pariant du point A ; tires EB. puis ipenerDK, CI parallèles à EB. Les points de division cherehés sur AB seront I et K.

Ainsi d'abord pour diviser une droite AB (fig. 6 S) en Q ^ un nombre quelconque de par-

ties égales , en 5 par exemple, on tirera du point A, une droite indéfinie quelconque AC, sur laquelle on portera cinq fois une longueur arbitraire AD, de A en E. On joindre les points E et B, puis par les points de division entre A et E, on tirera des parallèles i BE ; ces parallèles diviseront AB en cinq par tics égales.

Ce procédé ne donne des résultats exacts qu'autant t{ue l'angle BAC est de 60<> en-

viron , et qne le* parallèles ABK aoat menéei avec le pini grand loin. Le tracé luivant eit exempt de tout inconvénient et pent être employé anui bien inr le terrain que sur le papier.

Par ane dei extrémités de la droite AB (fig. 04) qo*iI ^ s'agit de diviser en trois --, parties égales , par exemple, tires une droite quelconque AC, sur laquelle vous porteres quatre fois la longueur arbitraire AG.

Joignes les extrémités C et B, et prenes sur le prolongement de CB, BH égale i CB; tires enfin IH qui coupe AB en L ; BL sera le tiers de AB.

XVI II. Trouver une quatrième proportionnelle i trois droites données AD, AC et AK? (fig. 62) — Portes ces lignes , telles que les représente la figure , sur deux droites qui se coupent suivant un angle quelconque , et après avoir tiré DK, menés CI parallèle à DK ; AI sera la quatrième proportionnelle demandée.

XIX. Trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes données DB et DC?(fig. 65). —Décrives une demi-circonférence sur CB comme diamètre ; la perpendiculaire DA sera la moyenne proportionnelle demandée.

XX. Diviser la droite donnée AB en iiM^yeiiite et extrême raison, c'est-à-dire en deux parties AF, FB, telles qne la plus grande AP soit moyenne proportionnelle en-

£ tre la ligne entière AB, et la plus petite partie FB ? (fig.

66) A l'extrémité B de AB élevés BC perpendiculaire i AB et égale i la moitié de cette ligne; tires AC, qui sera coupée en D par la circonférence décrite du point C comme centre avec le rayon CB ; prenes AF égal à AD, la droite AB sera divisée en moyenne et eitréme raison au point F.

XXI. Faire un carré équivalent à un parallélogramme on à un triangle donné ?

Le côté du carré cherché est une moyenne proportionnelle entre la base et la hauteur du parallélogramme ou entre la base et la moitié de la hauteur du triangle.

XXII. Faire sur une droite donnée un rectangle équivalent i un autre rectangle donné ?

La hauteur du rectangle cherché est une quatrième proportionnelle i la droite donnée, à la base et à la hauteur du rectangle donné.

XXIIL Transformer un polygone ABCDE (fig. 67), en un triangle équivalent?

Par le point D, menés DP parallèle à la diagonale CE, ^ le triangle CEF sera équivalent an

triangle CED , et le pentagone ABCDE sera transformé en un quan\ / J \ \\d <J"'**^f« ABCF. Menés de même par le point B^nne parallèle BG à la diagonale AC ; les deux triangles

^ — -V v\ ;^Bc ^QQ seront équivalents, et le

g^ quadri latère ABCF sera remplacé par

le triangle équivalent G CF.

XXIV. Faire un carré équivalent à la somme on à la différence de deux carrés donnés?

Construises un triangle rectangle dont les deux petits côU's soient les cAlcs des deui carrés donnés , riiypolhé-.

nnse sera le cdté da carré éqoitalMifc à la 10011116 et ces deux carrés.

Construises un antre triangle rectangle dont Thypothénnse soit le cdté da pins grand carré et dont un des côtés de l'angle droit soit le côté du plus petit carré , Taatre côté de l'angle droit du triangle sera le côté du carré équivalent i la différence des deux carrés donnés.

XXV. Construire un rectangle équivalent i un carré donné , et dont les côtés adjacents fassent une sonune donnée AB (fig. 68)?

Sur AB comme diamètre , décrives une demi - circonférence ; menés parallèlement an dia> mètre la ligne DB i une distance AD égale au côté du carré donné ; du point È où la parallèle coupe la circonférence, abaisses sur le diamètre la perpendiculaire EF ; AF et FB seront les côtés du rectangle cherché.'

XXVI. Construire un rectangle équivalent à un carré donné et dont les côtés adjacents aient entre eux la différence donnée AB (fig. 69 ).

Sur la ligne donnée AB , comme diamètre , décrivez une circonférence ; à l'extrémité du diamètre , menés la K^. D tangente AD égale au côté du carré donné ; par le point D et le centre O , tires la sécante DEF. DE et DP seront les deux côtés dn rectangle demandé.

XXVII. Inscrire un carré daaa une circonférence donnée (fig. 70) ?

Menés deux diamètres AC , BD à angle droit dans Je cercle , et joignes leurs extréaiitéa , vous auras le carré demandé ABCD.

XXVIII. Inscrire un hexagone régulier et un triangle équi latéral dans une circonférence donnée?

Le côté AB (fig.

71) de l'hexagone régulier inscrit, ABCDEF est égal au rayon OA ; et le triangle éqnilatéral BDF s'obtient en joignant de deux en deux les sommets de l'hexagone.

XXIX. Inscrire dans an cercle donné an décagone, un pentagone et un pentédécagone réguliers ?

Le côlé AB ( fig. 72 ) du décagone régulier inscrit , ABCDEFGHKL est égal au plus grand segment 01 du rayon OA divisé en moyenne et extrême raison. (Voy. le problème XX. )

Le penta- ^ ^.^^

gone BDFHL / \

s'obtient joignant deux en deux les

du décagone. A

Enfin, l'arc

CB (fig. 73) soustendn par le côté du pentédécagone régulier inscrit (polygone de quinse côtés), est égal à la différence entre l'arc AB qui soustend le rayon , et Tare AC qui soustend le côté du décagone régulier.

Comme on peut toujours diviser un arc en 9, 4, 8, 1 6, 32, etc. , parties égales, on voit que l'on sait inscrire rigoureusement, par ce qui précède, les polygones réguliers dont les nombres de côtés sont eiprimés par les quatre suites.

rHL X \

en / o

deux \ / \^/

384, etc.

512, etc.

640, etc.

1920, etc.

GÉOMÉTRIE. — PLANS. —ARPENTAGE

UniUQITB.

dinflea

▼ TTT

Lm poifgoncfl rJ^Kort unt wiiveoC employés arti m^eaoiqnes et dans les ornementf archileetoniquet. Let figaret 74, 75. 76 et 77 montrent Tunge le pint fréquent qne Ton fait, pour le carrelage des ap- parteroents , des trian- > gles éqailatéranz , des carrés, des heiagones régaliers, et d'an assemblage d'octogones régaliers et de carrés.

I 8. Des opération» tur le terrain ou iUtnenU et arpentage , ée Uaà âee plans et de niveliement,

Taaci dis ugubm sur u tiriaix .

Une bonne partie des consfraclions qae nous STons indiquées sur le papier peuvent s'effecluer sar le terrain , en modifiant sealement les instruments dont on se sert.

Ainsi les lignes droites et les. circonférences se décrivent avec des cordeani tendus jusqu'à des distances de 1 5 à 20 mètres. An deli, il faut construire ces lignes par points i l'aide de jalon».

On appelle ainsi des bâtons bien droits , ordinairement ferrés par un bout pour qu'on puisse facilement les enfoncer à terre , et à la partie supérieure desquels on peut placer, dans une rainure, une carte on on morceau de papier blanc que l'on aperçoit à de grandes distances.

On peut, i j „

rttilnn,filerde ^ i I I i 1

longMs lignes >?J \ J 1—

droites sur le ter- JL J^ JL «L. JL rain avec des ja- 79

loos(fig.79).

I Quant i la circonférence , le meilleur et le plus ter moyen de la décrire , quand elle a un grand rayon , est fondé sur Tusage des tables trigonométriqnes , et nous ne pouvons en donner le détail ici. ^ Il y a des cas où l'on a besoin de connaître le point où diverses droites doivent se rencontrer , sans qu'il soit possible d'opérer comme sur un papier qui renfer- ■erait tons les résultats. On a, pour résoudre les questions de ee genre , des procédés très-simples et trèscorieni.

Soit proposé pir eiemple , étant données deui droites H LB, NC, entre lesquel-

les est placé le point 0, de mener par ce point isième droite OA qui concoure avec les deux premières en A.

Par ce point 0 medeui droites qnel- H oopqnes CD, EB, telles M que les droites BD, CB,

qai joignent leurs eitrémités d'un même cAté , concourent en un point M placé dans l'intérieur du cadre , ce qoi est toujours possible. Par le point M tirons une droite qeekonqne MLN , et joignons DN et LE ; le point de rencontre S de ces deux dernières détermine avec le point 0 la droite cherchée Al.

Lorsque le point donné N est extérieur aux droites données B€, DE, on mène par ce point une droite quelconque CA , puis une seconde droite quelconque BA qui

rencontre la première en A, point compris dans les limites de l'épure. On tire BE et DC qui se coupent en O, puis OA ; on joint DN qui coupe OA en S , on tire ES qui vient couper BA en un point L; enfin on tire NL, qui est la droite demandée.

On a recours à ce procédé lorsqu'il s'agit de prolonger une route au delà d'un obstacle momentané, tel qu'une habitation à démolir, un bois à percer, etc. , et que l'on a intérêt à ne point différer les travaux.

Supposons, par exemple, que CA et CB (fig. 81) soient les directions de denx allées qui concourent au centre C du rond-point d'un parc; et qu'il s'agisse d'en ouvrir une nouvelle dont la direction soit atsu- 0 jcttie i passer par un point donné 0.

Pour tracer la diifection de cette allée au travers d'un massif d'arbres qui empêchent d'apeN cevoir le point e du point 0 et vice-vertA , il faudra recourir à la construction du premier cas ci-dcsfus. On aura , i cet effet , 9 Jalon» à plsnf er. Afin d'éviter les i^ dites , nous avons numéroté sur la figure les points où ils doivent être placés , dans l'ordre que nécessite la construction. Les jalons 10 et 9 détermineront la direction cherchée.

On peut se proposer de trouver un point sur le prolongement d'une droite inaccessible ; on a recours pour cela i la construction du second css ci-dessus.

Soit AB (fig. S2 ) la droite inaccessible , déterminée g seulement par deux points visibles A et B. Faisons planter dans la campsgne un ja- ' Ion quelconque 1 ; puis sur les directions A. 1 et B. 1 , marquons par des jalons les points 2 et 3, choisis arbitrairement, mais de manière Ci-pendant que la droite déterminée par ces deux points rencontre le prolongement de AB dans les limites assignées à l'opération. Puis, faisons planter successivement : le jalon 4 , i l'intersection des droites B.2 et A. 3; le jalon 5 en un point quelconque de A. I ; le jalon 6 à l'intersection des droites 5.3 et 1.4; le jalon 7 i l'intersection des droites 1.3 et 2. 7 ; enfin le jalon 8 à l'intersection des droites 2. 3 et 5.7. Le point déterminé par le jalon 8 sera le point cherché.

LKVi DBS PLAm.

Cette opération peut se faire avec divers instruments. La manière la plus simple consiste i n'employer que des lignes droites , que l'on trace facilement sur le terrain , comme nous l'avons dit. Les distances se mesurent ensuite sur ces lignes avec la ekaine (fig. 83) d'arpenteur, composée en général de 50 chaînons de O» 20 de longueur chacun. Les propriétés des figures élémentaires »' de la géométrie, des paral-

lèles , des perpendiculaires, des transversales, etc., permettent d'effectuer avec ces moyens simples toutes les opérations possibles sur le terrain.

Quel que soit le procédé employé au levé des plans ,

les BgarM qm Ton trtoe nir le terrain te mnènent implîcitemeot i det triaoglei détenniaét par un nombre de données snfBiant

T. Viquerre d'arpemtew (fig. 84) eat, avec la chaîne , l'instniment le pins nmple et le I plut ordinairement employé. C*est nn cylindre on un prisme crenx en enivre , portant quatre fentes déterminées par deux plans perpendiculaires entre eux et passant par Taie. On peut , avec cet instrument, mener des droites perpendiculaires entre elles , en regardant i travers les fentes les directions rectangulaires que ces fentes déterminent Les figures levées à Tcquerre se décomposent en triangles et en trapèies placés rectangniairement sur diverses droites *** prises pour axes.

La figure 85 montre le croquis d'un plan levé i Téqnerre d'arpenteur. Pour déterminer la formedu contour polygonal ABGDFGHI on a tiré la diagonale AE , !^A que l'on a prise pour base d'opération ; puis on a cherché successivement les points a,b, e, i, e,f, qui sont les pieds des perpendiculaires abaissées sur cette droite des sommets 1, B, H, C, G , D , F. L'équerrc sert à déterminer ces poinU par talonnement. On mesure k la chaîne les distancés ha, ah, **,... qui séparent les divers poinU pris sur la base, et les longueurs al, ^B, <rH, etc. , que l'on appelle ordmmiêt.

Le grafhomktn (fig. 86) n'est autre chose qu'un rap- ^ porteur avec lequel on mesure

I rjl II I ^^ angles sur le terrain. Autour

I Ul JB I ^» centre du demi-cercle peuvent

y^B^SBJJS^s^ se mouvoir une ou deux alidadeê, ^"^^U^^^^^ règles munies de fentes ou de fenêtres où se croisent des fils qui déterminent des lignes de visée ; les alidades sont remplacées 1^ avec avantage par des lunettes.

Le cercle entier (fig. 86) est un instrument bien préférable au graphomètre. S'il est disposé de telle sorte que l'on puisse à volonté entraîner avec le cercle une des lunettes qu'il porte, ou cette lunette seule, il sera facile de répéter les angles , c'est-i-dire d'obtenir par des observations successives le double, le triple,... le décuple de l'angle. Les erreurs de lecture, d'observation et de graduation se compensent; et comme l'angle décuple est obtenu avec autant d'approximation que l'aurait été fangie simple , ce dernier n'est plus affecté que d'une erreur dix fois moindre que celle qui résulterait probablement d'une observation nnique. Le cercle répétiteur est dà i

notre compatriote Borda : mais le principe de la répétition des angles avait déjà été émis par l'astronome allemand Tobie Mayer.

Lorsque l'on a levé un plan sur le terrain avec le graphomètre on le cercle , on le rapporte au moyen de triangles semblables k ceux qui ont été tracés on mesurés sur le terrain.

L^pkatehêîte^ instrument fort simple imaginé vers la fin dn 1 6* siècle parPrelorius, mathématicien allemand, per-

met de dessiner immédiatement sur le terrain le plan qu oa veut lever (fig. 88). Il suffit pour cela de tracer nir le papier appliqué à )a planchette, que l'on tient bien borixontale , les lignes avec une alidtde .

dans les directions on on les voit, et de prendre la longueur de l'une d'elln.

qui sert de base , à unr échelle déterminée de la grandenr naturelle. Les sommets de certains triangles, dans lesquels sedécomposent les figures, seront déterminés , sur le papier, par des intersections de droites et non plus par des mesures directes.

La figure 89 représente une alidade i pinnules; et la figure 90 une alidade à lunette. Cette dernière donne une ligne de visée beaucoup plus exacte et de plus longue portée qoe l'autre. La règle de l'alidade de la figure 90 est munie d*une graiduation en parties égales qui facilite les mesures sur le plan que l'on trace.