P : Q : : BC : AC

et la résultante R est égale à la somme des deux forces P et Q.

Si donc les droites AP, BQ représentent les intensités des forces P et Q, pour trouver le point d'application C il suffira de prolonger QB d'une quantité BQ' = AP, de prendre AP' = BQ et de tirer P'Q', qui coupera AB au point cherché.

Si on substitue à la force R une force R* égale et directement opposée, les trois forces P, Q, R' seront en éqnilibre. Alors on voit immédiatement que , pour déterminer le point d'application B de la résultante Q de deux forces parallèles P et R', qui tirent en sens contraire, il faut prendre le point B de telle sorte que Ton ait la proportion Dj^ized by V^OOQ IC

Ce point se construira d*alUeixn trèt-simplement, puisque l'on connaît AP* = R' — P et BQ* = F ; de sorte que, dans le triangle BCQ* qu il s* agit de déterminer, on a les 3 angles et le côté BQ*. La résultante Q est égale à la différence des forces R' et P.

On peut donc obtenir facilement la résultante d*antant de forces parallèles que Ton voudra. Il suffit , pour cela, de chercher la résultante R des deux premières ; la résultante R' de R et de la troisième ; la résultante R" de R' et de la quatrième , et ainsi de suite.

Lorsque deux forces parallèles sont égales et agirent en sens contraires, leur résultante est nulle et son point d'application sitaé à l'infini. Aucune forc^ unique ne peut faire équilibre à un système de ce genre qui porte le nom de eoupU. H. Poinsot a fondé ses EUmenU de statique sar la considération des couples, dont il a donné une théorie aussi élégante que féconde en résultats.

COMPOSITION DBS rOBCBS QUI COX'COUEBNT EN ÏJN llftlUC POINT.

La résultante C de deux forces quelconques , A et B , appliquées à un même point P (fig.

2 ) , est représentée en grandeur et en direction par la diagonale Pc du /a. parallélogramme Vaeb construit sur les lignes ?a,?b, qui représentent ce parallélogramme en grandeur et en direction.

Chacune des forces A, B, G, est donc comme le *imu$ de l'angle formé par les défections des deux autres (1).

Réciproquement, on peut toujours décomposer une force C en deux antres , A et B, agissant suivant des directions données. Il suffit pour cela de construire le parallélogramme ?aeb en partant du point G.

Lorsque les deux directions suivant lesquelles on veut décomposer la force font entre elles un angle droit, chaque composante est égale i la force donnée C , multipliée par le cotinut de l'angle que celte force fait avec cette composante ; Va et ?b sont ce que l'on appelle la force C estimée suivant PA et suivant P B.

Cette composition des forces qui a , comme l'on voit , des conséquences remarquables, est connue sous le nom de paraUélograwtwu dee forces»

(1) Nou dcfODi donner lei nnt ldé« d« c« que l'on entond par

Minw« catinui, etc., la placo noof ajant manqué, dan» laGioMim»,

poar ono «xpoaition même sommaire dei prindpea do la Trigoiumétrie.

Soit AOIÏ OB angle an contre d'nne eirconfërence . et Ail l'arc in-

tereepté entre m» eôlé». On

^. appelle liffiut trigonométrie

ques de l'angle on de l'arc lee

lignes eniffantae : ]<* le sinus

on la parpendieuiaire BIP (6g.

3), abalsiée d'one extrémité

de l'arc tnr le diamètre qoi

paase par l'antre extrémité;

V la Umgmtê AT ; a« la se-

canuOT.

On emploie anmi le aliinf XQ, la tangente BS, et la léeaate OS de l'are MB qnl eat le com^Mment de Akl, e'oet-èdire qai, ajouté à AM . donne 90*. Ces troii demiiree ligne* portent let nom» de : 4" cosinus^ 6» cotnnwtttf , 6^ coséctuUiSé

En nommant x l'are AU, on déeigne le» aix ligne» trigonométriqoe» fondamentale» par les expre»»ioBs abrégée» :

llP = »in. «, AT = tasg. X, OT = »ee. x. lIQ = cos. X, BS = cot. X, OS = coaée.x. On désigne encore AP et BQ par le» nom» de 7» sinus^vsrse, et de 8* eosinus'^nrss. Mai» ce» deux dernières lignes sont très-pen osltécs. En eoaaidénnt comme jwifiliwf les valeurs de tontes les lignes trigOBométriqnei de» angle» moindre» qoe OO*. pour de» angle» plu» srand», qoelqoes-ones de ces lignes devront être changées de signes. Ainsi ponr rjingle AOII'. le cosinns OP' étant compté dans ane direction dîamétnlement opposée aa eosinns OP, devra être alTecté do Signe — ; et considéré tomme néfat{f.

Une propriété fondamentale dn trbngle . c'est que les sinus des •bghss sont entra eux comme les cétés.opposé* à ces angles.

Si donto on J^tead pour niiilé le rayon on sinas de 90^ , et qu'on se

Lorsque trois forces appliquées i un point dans l'espace ne sont pas situées dans un même plan , leur résultante est représentée par la diagonale du parallélipipède construit sur les droites qui représentent ces forces en grandeur et en direction.

On peut donc , par des constructions successives de parallélipipèdes , ou même de parallélogrammes , obtenir la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées, dans l'espace, À un même pomL

Réciproquement une force est toujours décomposablc en trois autres respectivement parallèles à trois lignes données dans l'espace , pourvu que deux de celles-ci ne soient pas parallèles.

Si les trois composantes sont rectangulaires entre elles, la valeur de la lisultante estimée suivant chacune des composantes est égale à cette résultante multipliée par le cosinus de l'angle qu'elle fait avec la composante.

COIIPOSITION DBS P0RCB8 QUBIXOXQCBS.

Tant de forces que l'on voudra , appliquées d'une manière quelconque À un corps , peuvent toujours se réduire à une seule force et à un couple unique , lesquels sont, en général, situés dans des plans différents.

Cette proposition est fondée : l» sur ce que Ton peut pour chacune des forces P, qui sollicitent un système, appliquer à l'un quelconque des points de ce système deui forces contraires P' et — P* égales à P , sans que pour cela le système soit changé ; i^ sur ce que tons les couples (P, — P') peuvent se composer en un couple unique, aussi bien que toutes les forces P* peuvent se réduire à une force unique.

En d'autres termes, tant de forces que l'on voudra, dirigées arbitrairement dans l'espace , peuvent toujours se réduire i deux au plus , non situées dans le même plan : et deux forces qui sont dans ce cas ne peuvent avoir de résultante unique.

Mais quand de trois forces il n'y en a tout ao plus que deux qui soient situées dans un même plan , il est toujours possible de rendre ces trois forces réductibles i une seule, sans rien changer à leurs directions dans l'espace.

CONDITIONS G^NBllâLBS DB l'ÂQUILIBRB.

Pour que des forces en nombre quelconque soient en équilibre, il faut d'abord que la somme de ces forces decomposées parallèlement à trois axes (1) qui se coupent,

rappelle qne , dans le triangle rectangle , les deux angles aigat étant eomplémeota Vun de l'antre , le sinus de l'un est égal aa costnos de l'antre, on trouve de suite qno l'hypothénnse est à l'on des cMée de l'angle droit comme l'unité est au cosinus de l'inclinaison snr c« célè. Donc dans la fig. S, si l'angle APB est droit , Pa est égal an produit de Pc par le cosinus cPa; et Pfr au produit de Pc par le eosinns ée ePk. La petite taUe snivanta donne one idée de la manière dont varient les valeurs des lignes trigonom étriqués, pour des angles compris entre

Cet 90"

. le rajon étant égal à lOOO.

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ABfiefl •■degré!

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