SI

QO

Le signe oo représente l'ti^ni. Il indiqoe qne la tangente et la aérante d'un angle de 90" ne se terminent pas, et sont plus grandes que tonte ligne donnée, quelqoe longue que soii celle-ci.

(1) KoQs sommes encore obligé ici de donner, sur ces termen ■ob> vesQs , axe5 , rooretoHn^« , pro;0Cltoni « etc.. des explication» aoaimaires, ponr lesquelles la place noos a manqué dans la GÉoMirniii.

Poar déterminer , par le calcul , la position d'un point sur un pi a »

MÉCANIQUE. —MACHINES

soit nulle par rapport à chacnn de ces axes. Ensuite , en convenant (Tappeler mowunt eTHue/oree par rapport à on axe le produit de la projection de la force sur on plan {MTpendicnlaire à cet aie, par la distance de la projection à Ttie y les trois dernières conditions de Tcquilibre s'énoncent en disant que la somme des moments des forces doit être nulle par rapport à chacun des trois axes des coordonnieê.

Si l'on vient à supposer que tontes les forces concourent en un même point, les trois dernières équations dis- |>araissent d'elles-mêmes, et on voit qu'il suffit, pour que I éqnilibre ait lieu dans ce cas , que la somme des compo«an(es des forces , suivant trois axes qui se coupent , loit nulle par rapport à chacun de ces axes.

Dans le cas particulier où les forces sont parallèles , on Iroutera , d'après les équations précédentes , que la rétollante est égale À la somme algébrique des composantes, en comptant comme positives celles qui agissent dans on sens , et comme négatives celles qui agissent en K08 contraire. De plus , le moment de la résultante , par rapport à un plan quelconque parallèle à la direction des forces, est égal à la somme algébrique des moments des composantes par rapport au mime plan. Le moment est, dans ce eu , le produit de la force par sa distance au plan ; le signe du moment change , soit avec celui de la force , soit avec celui du hrat de levier ou de la distance

01 pread orrfiMirvarnt 1m éMtuen de ce point à d«as axes fiiM A«« Ay (fig. 4) , qvi M cooptnt «aitAot BD angle eonao, U disUaee i cheeoo des •zee étant metorée p«rallèIeBent i l'antre axe.

Aiaai le point II eat déteraioé dans l'angle yAx par Vabecieu x = AP=rlIQ et p«r VortUmnée y = AQ = yp. On convient de regarder co«une pocltlvet lea tbecisaet eomptéee dane la dlreotion Ax, et les ordonnées comptées dans In direction Ay. Les abscisses deviennent négatives dans le sens Ax\ et les ordonnées détiennent anssl négatives dans le sens

QMad il «'agit de la détermination d'one position dans l'espace, on ftnà trais droiloe ^ so conpent en nn même point. Ces axes, eonsiinn deoi à de«x . ferment trois plans. La position d'nn peint eet 'n** lenqae l'on donne les trois coordonnées, on. en d'antres termes, t« «liftasee asx plans fixes, mesnrée. poor chacun de ces plans , parall^lcant à l'intenoction des denx antres.

Os apprllc frojectUm «fim point sur an plan le pied de la perffsdicsûire abaissée da point lor le plan.

Li frttjeetitm étune droite AR est , qeant à la direction , la droite iim lar le pttm de projeetio» per les projecUone de drnx points de AB. C'est l'inlerseclion dn plan projetant mené par la droite AB perp«aékal«irement au plan de projection.

Qeant a la longnoar. la projection « fr est terminé* sur le plan par In prejsdions « et * des doux extrénaltés A el B de la droite AB. ttéeérslemcnt U projection d'one courbe quelconque AUB (Ag- 6)

est la suite awb des pieds des perpendi- Cnlaires \a. Mm, Bfr, abaissées des di* v»n points de cette courbe sur un plan Ibe XH. L'ensemble de cea perpendiculaires compose une eurfaee cylindrique dans le sens général de ce mot, et cette sarfaee prend le nom de ey/iiuir« projetant de la courbe AMB.

Si l'on projette la '«wbe AMB sur un seoood plan V\, perpendiculaire au premier H\, I •ssc«ble des doux projections amb, a'm'b' détermine complètement ^ feerbe AMB dons l'espace. Car cette courbe est l'intersection des ^■1 •otbces cfUndriques droites qui ont pour lUrecCrtces les projec- >*•«• ow»b . a'm'b' , et poor ^nératrieet des droites respectivement P^rp^dicnUires aox plans de ces projections.

D'spres ce qui nrécéde on peut considérer, dans on triangle rectan- S'r. sa des cétés de l'angle droit comme la projection de l'hypothénnse >^r U direction de ce coté ; et. par conséquent, la projection d'one ^it »er une aotrr droite ou snr on plan est égale à la longueur de I* droite prejelce. mnltipliée par le cosinus de son inclinaison sur la 'î*Nl« 00 ler le plan de projection.

lOS

au plan. Lorsque la force et le levier changent de signe tous les deux , le moment tend à faire tourner dans le même sens , et ne change pas de signe.

La distance de la résultante a un plan parallèle à la direction des forces étant égale à la sonmie des moments des forces divisée par la somme des forces, il est facile de déterminer la position de la résultante dans l'espace par ses distances À deux plans fixes.

Poor qu'un système de forces parallèles soit en équilibi^ , il faut et il suffit que la somme algébrique de cea forces soit nulle , et que les sommes de leurs moments par rapport à deux plans parallèles i leurs directions soient nulles d'elles-mêmes.

CBNTUS DBS rOBCIS BT DBS DtSTANCBS.

Si l'on considère un système quelconque de forces parallèles appliquées i un assemblage de points , et qu'on incline successivement tout le système de ces forces dans diverses situations, de manière que les mêmes forces passent toujours par les mêmes points et conservent leurs grandeurs et leur parallélisme , les résultantes générales qu'on trouvera successivement dans chacune de ces positions se croiseront toutes au même point, auquel on donne le nom de centre de$ forées paraUèlee,

Puisque le centre des forces parallèles est situé sur ladirection de la résultante , la distance de ce point à nn plan quelconque se trouvera conmie la distance de la résultante à ce plan , en supposant que toutes les forces , sans cesser d'être parallèles ' et appliquées aux mêmes points , sont devenues parallèles à ce plan. En faisant la même opération pour trois plans , le centre des forces parallèles sera déterminé.

Si toutes les forces sont égales et de même sens , la position du centre ne dépend plus que de la figure formée par les points d'application ; sa distance À un point quelconque est égale à la somme de tous les points d'application divisée par leur nombre , on i la moyenne distance de tous les points d'application an plan. Dans ce cas , le centre des forces parallèles prend le nom de centre des moyennes distances,

PBSANTBCB IT CBNTRBS DB GRAVITÉ.

La pesanteur ou gravité , celle des forces de la nature à laquelle nous sommes le plus assujettis , nous offre i chaque instant des applications des considérations précédentes. Cette force , dont la nature nous est inconnue , se manifeste principalement en faisant descendre les corps vers la terre lorsqu'ils sont abandonnés À enx-mêmet. Elle exerce son action sur toutes les molécules des corps et se fait sentir également à chacune d'elles. Dans un même lien , on peut regarder les petites forces qui sollicitent ces molécules comme parallèles et dans le même sens , et leur appliquer ce qui a été dit plus haut

Donc la résultante de toutes les forces parallèles de la pesanteur est aussi parallèle à ces forces, c'est-à-dire verticale, et elle est égale i leur somme. La quantité de cette résultante est ce que l'on nomme le poids des corps , lequel est par conséquent proportionnel au nombre des molécules matérielles ou à la masse du corps. Enfin le point unique par lequel passe toujours la direction du poids porte le nom de centre de gravitéf que l'on appelle encore quelquefois centre de masu , centre dejipire, et même centre des moyennes distances , à raison de sa propriété géométrique fondamentale.

Il résulte de la définition même dn centre de gravité que , si ce point est fixe , le corps auquel il appartient de* menrera en équilibre dans toutes les positions.

Pour avoir égard à la pesanteur dans toutes les qdestions de mécanique , il suffît de considérer chaque corps comme réduit à son centre de granité , qu'on supposera sollicité par une force égale et parallèle i son poids. Il ne

8*agit donc que de savoir déterminer les centres de gravité des divers corps ou assemblages de corps qui peuvent se présenter.

Cette détermination peut être opérée très - simplement pour une foule de corps de forme régulière , lorsqu'on les suppose homoghies , c'est-À-dire composés de molécules également réparties.

Ainsi le centre de gravité de l'aire d'un triangle est à la rencontre des trois droites qui joignent les sommets aux milieux des côtés opposés.

Pour trouver le centre de gravité d'un trapèze , prolonges, vers la droite, l'une des deux bases, d'une longueur égale à l'autre, et celle-ci , vers la gauche, d'une longueur égale À la première , et tires la ligne qui joint les extrémités de ces deux prolongements ; elle coupera celle qui joint les milieux des deux bases au point demandé.

Le centre de gravité d'une pyramide triangulaire est au point de rencontre des quatre droites qui joignent les sommets aux centres de gravité des bases opposées.

Le centre de gravité d'une pyramide à base quelconque ou d'un cône est sur la droite menée du sommet au centre de gravité de la base , au quart de cette ligne , à partir de la base.

La détermination des centres de gravité d'un polygone on d'un polyèdre quelconque se déduit de ce qui précède. Car un polygone peut toujours être décomposé en triangles , ou , si l'on veut , en triangles et en trapèzes ; un polyèdre peut aussi être décomposé en pyramides. Si l'on suppose appliquées aux centres de gravité des figures partielles dans lesquelles se décompose le polygone ou le polyèdre, des forces parallèles et respectivement égales aux poids de ces figures , on trouvera le centre de gravité du système absolument de la même manière que l'on trouverait le centre des forces parallèles. On emploiera donc à cette recherche ou la composition successive des forces parallèles, on le calcul des moments par rapport à deux axes fixes ou à trois plans fixes qui se coupent.

L'analyse infinitésimale est nécessaire lorsqu'il s'agit de faire le calcul des moments pour des lignes, des surfaces et des solides que l'on n'a pu décomposer préalablement en parties dont les centres de gravité soient connus.

Pour déterminer expérimentalement le centre de gravité d'un corps , il suffit de le suspendre successivement par deux points différents à un fil flexible. Les directions du fil suffisamment prolongées se couperont toujours en on point qui est le centre de gravité.

éQUlLIBBI STADU BT IXSTABLB.

Un corps ne peut être en équilibre qu'autant que la verticale menée par son centre de gravité passe par un point fixe dans le système. De plus l'équilibre n'est stable que si le centre de gravité est au-dessous du point d'appui ; il est instahle dans le cas contraire.

Un bâton que l'on soutient en l'air sur le bout du doigt offre un exemple bien connu d'équilibre instable. Mais , si l'on a soin de contrarier avec le doigt les divers mouvements que les oscillations du centre de gravité tendent à imprimer au bâton , on parvient à le maintenir dans des positions voisines de la verticale. Il est même à remarquer qu'on y parvient d'autant plus facilement qu'il est chargé d'un poids plus fort à la partie supérieure ; car, à mesure que le centre de gravité s'éloigne du point d'appni mobile que lui offre le doigt , il décrit des arcs de cercle d'un moindre nombre de degrés pour un même chemin qu'il parcourt ; et la force qui tend à faire tomber le bâton croit seulement avec le nombre de degrés que décrit son centre de gravité en dehors de la verticale.

Dans tout autre cas il y a avantage à placer le centre de gravité le plus bas possible pour obtenir une plus grande stabilité. Tel est le principe du chargement des diligences et des voitnres de roulage.

Les animaux, dans leurs postures et leurs mouvements, placent le centre de gravité de leur corps de maDière qu'il soit soutenu. Quand un homme se tient debout , la verticale passant par son centre de gravité doit donc tomber dans l'intérieur de la base formée par les plantes de ses pieds. Le calcul , d'accord avec l'expérience , prouve qu'à mesure que les pieds sont plus écartés l'un de l'autre leur direction doit , pour la plus grande stabilité du corps , approcher davantage du parallélisme ; mais dans la marche ou dans la pose ordinaire d'un homme debout, les pied* en dekort sont aussi conformes aux lois de la mécanique qu'aux exigences de la bonne grâce.

Un homme qui porte un fardeau sur ses épanlea est obligé de s'incliner en avant, tous peine d'être entraîné en arrière par son fardeau (fig. 6). Par nue raison semblable , une femme groise, une nourrice qui porte un enfant dans ses bras , sont obligées de rejeter leur corps en arrière. Enfin le boucher, le pâtissier qui portent leur charge sur la tête ont soin de se tenir aussi droits que possible.

Le piéton (fig. 7) qui gravit une colline penche ton corps en avant ; il renverse son corps en arrière lorsqu'il la descend ; ou plutôt , dans l'un et Tautre cas , il cherche à maintenir , dans l'intervalle des points d'appui , la verticale passant par son centre de gravité.

Le centre de gravité d'un homme bien proportionné, qui se tient debout et immobile , se trouve ordinairement dans l'intérieur du corps à peu près à la hauteur du nombril.

S 3. Application de» principes de statique aux machinée les plus simples,

PB^LIUINAIBBS.

Les machines sont des instruments destinés à transmettre l'action des forces en la niodifiant d'une manière conforme au but que l'on se propose. Ces modifications s'opèrent au moyen S obstacles qui gênent les mouvements, et ne leur permettent de s'opérer que dans certaines directions ou du moins entre certaines limites.

On peut réduire à trois les machines simples, suiv&nt la nature de l'obstacle : 1 o le levier ^ 2» le tour, 3o le plan incliné. Dans la première machine , l'obstacle est nn point fixe autour duquel le corps a la liberté de tourner dans tous les sens ; dans la seconde , l'obstacle est nne droite ou axe fixe autour duquel les différents points du corps ne peuvent tourner que dans des plans parallèles entre eux; dans la troisième, l'obstacle est un plan inébranlable contre lequel le corps s'appuie , et sur lequel il a la liberté de glisser ou de rouler.

MECANIQUE. —MACHINES

Les cordât ainii sappoMes parfutement flexiblet et ioexieiisiblet forment, à U rignear, nne espèce de macfaioe fimple. Nouf examinerons donc aussi le cas où une corde est sollicitée par plusieurs forces. Mais , en réalité, elln ne sont presque jamais employées isolément ; leur usage le plus fréquent a lieu simultanément avec celui du loor et des engins qui s'y rapportent.

Dans tout ce qui va suivre nous considérerons seulement les conditions d'équilibre des machines. Pour passer de là aux conditions du mouvement , il faudra d'abord loppoier la puiuanee assez grande pour surmonter la rmtUtMce active , celle que l'on se propose de vaincre , et to oatre les risistamees passives de tout genre , dues sux frottements, aux milieux ambiants, aux variations de forme des pièces. Nous donnerons d'ailleurs plus tard le moyen d'évaluer séparément les plus importantes de ces résistances passives.

DU LBVIBB ET DBS BNGtXS QUI 8*V RAPPORTENT. LevMr proprtmcDl dit.

Il peut être considéré comme une barre rigide , d'une forme quelconque , mobile autour d'un point fixe, qui la partage en deux bras inégaux , sollicités chacun par une force. Pour l'équilibre , il faut et il suffit que ces deux forcM soient dans un même plan avec l'appui , que leurs mowunu par rapport à ce point soient égaux et qu'elles tendent i faire tourner en sens contraire.

Plus généralement, si le levier est sollicité par un nombre quelconque de forces , il faut que toutes ces forces aient nne résultante unique qui passe par le point d'appui ; et la somme des moments des forces qui tendeol à faire tourner dans un sens se trouve alors égale â U looune des moments qui tendent À faire tourner en Mai contraire. La charge du point d'appui est absolument la ménoe que si toutes les forces s'étaient transportées parallèlement à elles-mêmes en ce point sans changer de grandeur ni de sens.

Dans le caa ou le levier n'est sollicité que par deux forces , on peut considérer Tune d'elles comme la puis" tnee qui tend à imprimer le mouvement à la machine , et Tantre comme la risisiamee ou l'effort qu'il faut vaincre. D'après ce qui précède, la condition de l'équilibre peot s'énoncer en disant qu'il faut que la puissance et la résistance soient en raison inverse de leurs distances au point d'appui. On distingue alors trois genres de leviers, nifant la place qu'occupe le point d'appui relativement à ces deux forces.

Dans le levier du premier genre ( fig. 8) , l'appui F

» ^ tombe entre la puissance P et la ré-

~g * ± sistance R ; et la puissance a d'au-

' IL tant plus d'avantage qu'elle agit sur

^ un bras de levier plus long.

Dans le levier du second genre (fig. 9), la résistance ^ R est placée entre l'appui F et la

puissance P, qui a toujours l'avantage, et dans une proportion plus forte à mesure que son bras de levier augmente.

Enfin la puissance P (fig. 10) agit entre la résistance R g. et le point d'appui F, dans le levier

f\Of du troisième genre ; elle a toujours

^' 2 » du désavantage comparativement À

g la résistance, dans ce levier.

'^ Pour avoir égard au poids du le-

vier, il faut considérer ce poids comme une force verticale appliquée au centre de gravité. Si le levier est placé de telle sorte que cette verticale passe par le point d'appui, l'action du poids sera détruite, et Ton n'aura plus à s'occuper que des autres forces appliquées au levier.

Application» divenet dn levier.

Le levier de la première espèce est un instrument coqr tinueliement employé. Là pince (fig. 11), qui sert À

^i ir

y ^ia^ia-

soulever des pierres ou d'autres fardeaux très-lourds , en est l'exemple le plus simple. C'est une simple barre de fer, droite sur presque toute sa longueur, et parfois légèrement recourbée vers une de ses extrémités qui est amincie en biseau. On introduit le biseau sous le fardeau À soulever; on prend pour point d'appui soit le sol, contre lequel pose la partie convexe de la courbure de la pince , soit une pierre ou un morceau de bois ; et les bras des manœuvres appliqués À l'autre extrémité de la barre sont la puissance motrice.

Les ciseaux à lames courtes et les tenailles sont formées de l'assemblage de deux leviers de première espèce. Le point d'appui est le point ou le pivot sur lequel tournent les deux branches; la résistance de la substance qu'on veut serrer ou couper remplace le poids , et la main qui saisit les autres extrémités des branches remplit la fouction de la puissance.

Les rames d'un bateau jouent le rôle de levier de seconde espèce. Le point d'appui est l'eau contre laquelle agit le plat de la rame; la résistance est la masse du bateau appliquée au point où la rame s'appuie sur le bordage ; la puissance est dans les bras du rameur.

Le gouvernail d'un navire agit d'une manière analogue.

On fait usage, dans certaines professions, d'un couperet mobile, à l'une de ses extrémités , autour d'une charnière implantée dans un banc; la substance À couper étant placée entre la charnière et l'autre extrémité que presse la main , ce genre de couperet agit comme un levier de seconde espèce.

Certains casse-noisettes consistent en deux leviers de seconde espèce accouplés autour d'une charnière qui est le point d'appui.

La brouette et les voitures à deux roues , où une partie de la charge est supportée , même à l'état de repos , par l'animal qui traîne la voiture , se rapportent au levier de seconde espèce.

L'emploi du levier de troisième espèce est moins fréquent dans les outils et les machines. Citons seulement la pédale du tourneur, dans laquelle la charnière sert de point d'appui , la pression du pied appliqué près de la charnière de puissance motrice , et où la corde qui transmet le mouvement à la roue est la résistance appliquée à l'autre extrémité de la pédale; les pincettes à tisonner lorsque la main agit près de la charnière ; les ciseaux à longues lames , tels que ceux dont on se sert pour tondre les bétes à laine.

La nature a fait dn levier du troisième genre un emploi presque général dans la composition des membres des animaux. L'articnlalion de l'os est le point d'appui ; un muscle poissant qui vient s'attacher à l'os près de l'articulation est la force motrice employée i soulever le poids du membre et à vaincre les antres résistances qui s'opposent à son mouvement vers l'extrémité de ce membre.

BaltoM ordin-itr».

Cest on levier do premier genre aux extrémitét duquel sont saspendns , par des cordons , deux bassins on piateanx destinés à recevoir les corps dont on veut comparer le poids.

Pour que cet instrument soit juste, il faut que le point d'appui divise le levier onjliau en deux portions é<{alcs, et que le centre de gravité soit dans la verticale menée par le point d*appui. Mais il faut de plus que le centre de gravité Combe au-dessous du point d*appni pour qne Ton puisse mettre la balance dans un état d'équilibre stable ; et qu'il tombe i peu de distai^ce de ce point pour qu'elle soit suffisamment sensible. Car elle serait JoUe ai le centre de gravité était au-dessus du point d'appui du fléau, c'est-à-dire qu'on n'aurait qu'un équilibre instable ; elle deviendrait indiférente si ces deux points coïncidaient ; enfin elle serait pareaeuse si le centre de gravité était trop au-dessus du point de suspension.

Borda a donné, sons le nom de vUthode» dei doubles peaéet , un procédé extrêmement simple i l'aide duquel on peut obtenir les poids exacts des corps , même avec une balance qui ne satisfait pas à la condition fondamentale d'une parfaite égalité dans les longueurs des br«s de levier. Il suffit d'équilibrer d'abord le corps à peser avec un contre-poids quelconque tel que de la grenaille de plomb, du sable, etc. ; et de remplacer ensuite le corps par des poids exacts qui se trouvent de nouveau en équilibre avec le contre-poids ; on est certain que ces poids expriment exactement le poids du corps.

Avant la méthode de Borda , on mettait successivement dans les deux plateaux le corps à peser, et on extrayait la racine carN^ du produit des deux nombres qui exprimaient les valeurs des poids faisant équilibre an corps dans ses deux positions.

Plusieurs mécaniciens français et étrangers sont parvenus à donner à la balance un degré de précision vraiment surprenant On lit dans un rapport lu À l'Académie des sciences le 9 janvier 1837 qu'une balance présentée par M. Emst , chargée de 500 grammes dans chaque plateau, trébuchait sous un poids additionnel d'un seul milligramme. Cette balance est pourvue de détails ingénieux de construction qui permettent de l'ajuster et de la régler à volonté.

Roatioe.

La balance romaine ainsi appelée parce qu'elle était d'un grand usage ches les Romains qui la nommaient siatera, est aussi un levier droit du premier genre , mais dont les bras de levier sont inégaux. A l'extrémité B (fig. 18) du bras le plus court

^ . est un busin ou un cro-

■' i ' ^ 'j^ chet à l'aide duquel- on

* ' ' * on

Un

12 poids connu P est mobile,

au moyen d'un anneau, le

long de Tautre bru , de sorte qu'en le faisant glisser à

une distance convenable de l'appui F, il fait équilibre au

poids du corps qui agit de l'antre côté.

Dans le cas le plus général , où le centre de gravité du fléau et du busin est hors de la verticale passant par le point d'appui , on commence par déterminer le séro de la graduation en cherchant le point où il faut placer le poids P pour établir l'équilibre. Ensuite , ayant placé un poids connu dans le bassin , on éloigne le poids P du point de suspension jusqu'à ce que l'équilibre soit rétabli, et on cote avec le chifTre qui exprime la valeur du poids le point où le poids aura été arrêté. Les multiples et les sous-multiples de l'intervalle compris entre le zéro et ce point de division correspondent respectivement aux mêmes multiples et sous-multiples des poids mis dans le bassin.

La figure 1 3 représente une espèce de romaine assez usitée dans le commerce pour les pesées qui n'exigent pu une grande prccisioD.

Cet ipstrnment est mnni de deux liges de suspension qai permettent de changer le point d'appui , par un simple retournement; il port^ donc aussi deux graduations différentes G.

Béltaet duoiw.

C'est un levier droit encore du premier genre (fig.

1 i) portant à Tune de ses extrémités un poids constant

B qui y est soudé, à l'autre

ymi .i-r^îj^l ' i rp extrémité un crochet G

^ pour recevoir la marchan-

^* dise à peser , et un antre

crochet A que l'on peut faire glisser le long du levier

pour attacher à nu point de support Les divisions do

levier doivent commencer à partir du centre de gravité

de l'appareil non chargé. Elles ont l'inconvénient d'être

très-rapprochées les unes des autres vers l'extrémité.

Poat i btMole.

On appelle ainsi une espèce de balance employée à la pesée des plus lourds fardeaux , principalement des voitures qui circulent sur les routes, pour prévenir les excès de chargements prohibés par les lois sur la police do roulage. Le fardeau se place sur une plate-forme on tablier en bois , au-dessus d'une fosse creusée dans la direction de ia route , et revêtue intérieurement de maçonnerie. Cette

"JX X^ fosse renferme no

xTêT"" ôTk mécanisme dont

la fig. 1 5 donnera une idée. A . B , D, C sont des leviers du troisième genre , dirigés vers le centre de la plate - forme .

qui ont pour points d'appui des pièces scellées en A, B, D, C, dans les angles des murs de la fosse. La plate-forme et sa charge sont supportées en », b, d^ c par ces leviers, an moyen de patins en fer ; et les quatre leviers rénuis ven le centre de la plate-forme , mais de manière à se monvoir librement , sont supportés en F par un long levier encore du troisième genre. Le point d'appui de ce nouveau levier est sur un massif de maçonnerie £ , et son grand bras E G aboutit à l'aide d'une tige verticale à l'une des extrémités du fléau d'une balance, dont l'autre fléau porte un bassin qne l'on charge de poids , par lesquels on connaît le poids de la charge du tablier. Par exemple, si les points a, b, e, d, r sont placés à la dixième partie de la longueur de chacun de leurs leviers, il suffira en Ct d'un poids égal à la eentikme partie du poids du chargement du tablier pour équilibrer ce chargement Quand la plate-forme n'est pu chargée , le poids des leviers est équilibré par un poids H , appliqué de l'autre côté du point d'appui E.

C'est (fig. 16) un levier BB*, sur le point d*appui duquel est fixée à angle droit une tige pesante CG, dont le centre de gravité est en G. Si l'instrument est disposé de telle sorte qne le centre de gravité du levier coïncide avec le point d'appui, on trouve que, lorsque l'on suspend un

MÉGAIVIQUE. — MACHINES.

poids Q i l'ime des eitrémiiè» du levier , la Uogeate de

riDcIinaison de l'aiguille CG crott en proportion du poids du corps. Rien n'est donc plus facile que de tracer une graduation convenable sur le limbe d'un quart de cercle MCO fixé au support de Tinstrument

Dans le cas général , on peut toujours graduer ce

limbe par expérience directe , en mettant en Q des poids

connus croissant par intervalles égaux.

DU TOUR ST DBS ENGINS QUI s'v RAPPORTENT. Dn loar en géaéral. Cest ordinairement un arbre ou cylindre aux bases duquel on adapte deux tourillons ou cylindres de même axe, mais d'un diamètre plus petit, qui reposent sur dem appuis fixes. Le cylindre, en tournant sur ces tourtllons, est donc dans le même cas que s'il tournait autoor de son axe considéré comme ligne fixe. La résistance i vaincre est appliquée à une corde qui s'enroule autour do cylindre , tandis que la puisunce le fait tourner en agissant , soit tangentiellement i une roue perpendiculiire à l'axe de ce cylindre et invariablement liée avec loi, loit à l'extrémité de barres fixées à angle droit sur Tue dn cylindre, soit au moyen d'une manivelle ou levier coudé Tcctangnlairement , dont un des bras est fixé perpendiculairement à l'axe dn cylindre, etc.

Le tour prend particulièrement le nom de treuil (fig. 17) lorsque son axe est horizontal, et de cabestan (fig. 18) lorsque l'axe est vertical. Dans l'un et l'autre cas, pour l'équilibre , il faut que la puissance

rr

^<t à la résistance comme le rayon du cylindre est au rayon de la roue. Les pressions exercées sur l'axe sont abiolament les mêmes que si ces forces étaient transportées sur l'axe parallèlement à elles-mêmes, dans lenrs plans perpendiculaires À cet axe ; et il est facile d'en dédaire les pressions exercées sur chacun des tourillons, par la décomposition des forces parallèles et par le parallélogramme des forces. Le poids du treuil augmente ta pression snr chaque tourillon d'une quantité que Ton détermine aussi facilement (1).

Si l'on considère un nombre quelconque de forces dirigées dans tons les sens par rapport au treuil, il faut dé- <^mposer chacune d'elles en deux autres, l'une parallèle, l'antre perpendiculaire À la direction de l'axe fixe. La résnitanle des forces parallèles à l'axe est détruite par la résistance longitudinale de cet axe ; il suffit donc que les (imposantes perpendiculaires à l'axe se fassent équili-

(1) a. Labo«I«fe • ki«D foala mettra i notre dispoiîtioo Ici boU ^ •• gnod nombre de ^ore» qni entrent dans l'oavrage remarqaable le'il lient de terminer et qol porte pour titre : Dictionnnirt dêt arti *i nmnnfartmrtM . ie$eri/tHon des ptieédét de t industrie Jrançaiu et ttroMftn; i Psris, ebti MathUs , édUenr, qaai Ualaquaii, 15*. Cellet '• net ilIntralkiM qni ont été ehoiaie» parmi le» 2586 figure* df crtte ■^gntfiqae paUiratioD. lont marqnéei d'an aat^riaqne.

bre , ou que la somme de leurs moments par rapport i cet axe soit nulle.

Dans un système de tours à axes parallèles qui réagissent les uns sur Jes autres , de sorte que chacun dea cylindres communique directement avec la roue du suivant par une corde tangente , la puissance est à la résistance comme le produit des rayons des cylindres est an produit des rayons des roues.

Ronct dentées.

Ces roues offrent un exemple du système précédent , dans lequel les tours ont été rapprochées. Le cylindre dv premier auquel est appliquée la puissance Q (fig. 19) devient alors tangent à la roue dn second, le cylindre de celui-ci tangent À la roue du troisième et ainsi de suite. Le poids ou la résistance P agit tangentiellement à l'arbre du dernier tour. Les roues et les cylindres sont munis d*engrena^es oo d'une série de dents également espacées , de manière que chaque rone ainsi dentée n^ peut tourner sur son axe, sans qne le cyliqdre , qui porte le nom de pignon, ne tourne en même temps snr le sien.

La condition d'équilibre est donc que la puissance soit i la résistance comme le produit des rayons des pignons eat au produit des rayons des roses.

Crie.

Cet engin, dont les tailleurs de pierres font si grand nsage (fig. 20), se rapporte an tour. Il se compose d'un pignon qu'une puissance appliquée i une manivelle fait tourner , et qui agit sur une erimail- 1ère ou barre inflexible dentée; cette barre, mobile seulement dans le sens de sa longueur , porte un fardeau dont le poids on la résistance agit dans le i même sens. Pour l'équilibre, il faut que

j le rapport de la puissance à la réds- ^^ ri tance soit égal à celui du rayon de la manivelle au rayon dn pignon.

Poulie.

On appelle ainsi une roue circulaire CAB (fig. 21) mobile autour d'un axe C qui /^ porte une chape CN. Une partie AB de la circonférence de la poulie est enveloppée par une corde FABQ dont les deux extrémités sont tirées par les forces F et Q. L'équilibre de la poulie se rapporte à celui dn levier on à celui dn tour ; elle peut être à volonté considérée comme un cas particulier de l'un ou de l'autre, mais surtout du second. Dans le cas où le crochet N de la chape est fixe, les deux forces F et Q doivent être égales pour qu'il y ait équilibre ; et la charge de l'axe de la poulie est égale à l'une de ces forces maltipliée par le rapport de la sonatendanle de l'arc embrassé par le cordon , au rayon de la poulie. Si, au contraire, l'extrémité dn cordon AF, au lieu d'être tirée par une force , est attachée à un point fixe F, et que la chape porte un poids P, la puissance Q qni tend i faire monter le poids P est à ce poids comme le rayon de la poulie est à la sous-tendante de l'arc embrassé par le cordon. Digitized by LjOC

Le cas le plus favorable à la puissance est celui oà les

ji

deux partiel du eordon lont parallèles et embrassent la demi-cireonférence ; alors la puissance est moitié seulement de la résistance.

Si le cordon Q était fixé à la chape d'one poolie entourée par un nouveau cordon dont une extrémité F' serait fixe et dont l'autre extrémité Q' serait attachée ellemême à la chape d'une troisième poulie , et ainsi de suite, tout le sptème étant en équilibre , la puissance agissant sur le dernier cordon serait à la résistance opposée par le poids F comme le produit des rayons des poulies est au produit des cordes sous-tendantes des arcs embrassés par les cordons.

Si tous les cordons deviennent parallèles, la puissance est au poids comme l'unité est au nombre 8 élevé i une puissance marquée par le nombre des poulies. La fig. S 2 représente un système de ce genre , dans lequel la main exerce un effort d'un kilogramme seulement pour faire équilibre i un poids de 8 kilogrammes. Nous prenons 8 , 3^ puissance de 8 , quoiqu'il y ait A poulies ; parce que la poulie placée en haut et à la droite de la figure n'est qu'une poulie de renvoi , et qu'elle ne donne aucun avantage À la puissance.

Iloafle.

Cest un système de poulies assemblées dans une même chape, ou sur des axes particuliers (fig. 23), ou sur le même axe (fig. 24, 25 et 26).

Considérons, dans chacune des figures 23 et 24, deux mouQes , l'un fixe , l'autre mobile. Il est facile de voir que dans l'une et l'autre figure, si l'on suppose les cordons sensiblement parallèles , la puissance sera à la résistance comme l'unité est au nombre des cordons qui soutiennent le moufle mobile. Four une même longueur de corde , le point d'attache se trouvant au moufle inférieur de la fig. 24 , la résistance est soutenue par un cordon de plus , et cette disposition offre , sous ce rapport , de l'avan-

tage sur le système de la fig. 23 ; où l'extrémité de la corde se trouve attachée à la chape supérieure.

L'agencement des cordes et des poulies présente d'assex grandes difficultés lorsque le nombre des poulies devient considérable. La fig. 25 représente, vu par la tranche et sans corde , le système de moufles dû à l'ingénieur anglais Smeaton. Chacun des équipages supérieur et inférieur a deux rangs de poulies , mais dans l'équipage upérienr qui est fixe, les poulies du rang supérieur ont

plus grand diamètre que celles du rang inférieur, et Tinverse a lieu dans l'équipage inférieur qui est mobile. Les poulies sont marquées sur la figure par les Uuméros 1 , 2, 3. . . suivant l'ordre dans lequel elles sont enveloppées par la corde. Le n» 1 se trouve au crochet inférieur de l'équipage du bas, et le n^ 10 à la boucle inférieure de l'équipage du haut.

La machine de White , représentée dans la fig. 26 , se compose de deux moufles dont les poulies sont creusées dans une même pièce. Les diamètres ont été calculé! de telle sorte que , pour une corde d'une grosseur déterminée , les vitesses de rotation de toutes les poulies doivent être les mêmes. Cette disposition offre l'avantage d'éviter les frottements multipliés qui résultent de l'emploi d'un grand nombre d'axes séparés. Néanmoins elle est fort peu usitée, à cause des difficultés de l'ajustage.

DU PLAJf INCLINÉ IT DBS ENGINS QUI s'y BAPPORTINT. Pkn iBcliné ca général.

Lorsqu'un corps s'appuie sur un plan par plusieurs points, et qu'il est sollicité par plusieurs forces , il faut , pour l'équilibre, que ces forces puissent se réduire à une seule, perpendiculaire au plan, et dont la direction tombe dans l'intérieur du polygone formé par tous les points de contact

Lorsque le corps ne pose que par un seul point , li pression exercée par les forces est égale à leur résultante. Si le corps pose sur deux points , la résultante , dont la direction tombe nécessairement entre ces deux points, sur la droite qui les joint , se décompose en deux forces parallèles appliquées aux points d'appui et qui expriment leurs pressions respectives. S'il y a trois points d'appui non en ligne droite, et que l'on représente la pression totale par l'aire du triangle qui joint ces trois points, la pression exercée à chacun d'eux sera égale à l'aire d'un triangle qui a pour base le côté opposé et pour sommet le point où tombe la direction de la résultante.

Lorsque le nombre des points d'appui excède 2 en ligne droite ou 3, en général, les considérations de statique élémentaire sont insuffisantes pour déterminer les valeurs des pressions exercées en chaque point

Dans le cas où le plan que l'on considère n'est pas perpendiculaire à la direction de la pesanteur, et où le corps qui y est posé n'est retenu que par une seule force qui fait équilibre à son poids, ce plan prend plus particulièrement le nom de plan incliné; et, dans le cas de l'équilibre, les deux forces sont entre elles dans le rapport des sinus des angles qu'elles font avec la perpendiculaire au plan. L'avantage le plus grand a lieu pour la puissance lorsqu'elle est parallèle au plan incliné, dans ce cas elle est au poids dn corps qu'elle y retient eu équilibre , comme la hauteur dn plan est à sa longueur. La puissance étant horizontale , son rapport an poids devient celui de la hauteur du plan à la base. Une force perpendiculaire au plan incliné ne pourrait, quelque grande qu'elle fût, y maintenir un corps pesant, s'il n'existait une résistance provenant du frottement que nous évaluerons plus tard.

La fig. 27 montre la manière dont on opère les décompositions de forces qui conduisent aux résultats précédents.

Le poids agit comme une force FO qui est la résultante de deux autres, l'une P£ parallèle, l'autre FF perpendiculaire au plan incliné. La force FO' se décompose ellemême en deux P£', FF' qui sont dans les prolongements de Fl^ et de FF. Des forces FF, FF', la première tend à presser, la seconde tend i soulever le corps F perpendi-

IféCANIQUE. -MACHINES.

cnUire u pitn. Det deux aalret PS « PK*, Tune tend à prodoire, Taotre à f aincre le glinement le long do plan incliné.

Lei roiilet et lei chemins de fer nous offrent l'exemple le pins simple et le pins connn de Temploi du plan incliné comme machine. Lenr pente est ordinairement exprimée en fractions de mètre par mètre, on par le rapport de la hanlenr dont on 8*élève pour une longueur horizontaie déterminée à cette longueur même. Dans les déclivités faihles telles qn*on les emploie ordinairement sur les chemins de fer, la longueur du plan ne différant pas lensihlement de sa hase, on peut dire approximativement que les efforts de traction nécessaires pour un même chargement , abstraction faite des frottements , croisssent proportionnellement à ia pente par mètre. Ainsi sur une rampe de 10 millimètres par mètre, l'effort de traction est double de ce qu'il est sur une rampe de 5 millimètres. Mais les frottements et résistances de tout genre qu'éprouvent les voitures dans leur marche changent singulièrement ce résultat , suivant la nature de la voie de communication. Sur une route empierrée en hon état, dans les circonstances ordinaires, l'effort nécessaire pour traîner une voiture sur un plan horiiontal est -J^ environ du poids total. Sur une rampe de 5 millim. par mètre on de YtJ * ^^^^'^ '>*^"' augmenté que de -^^-g ; il faut Are snr une rampe de ^ ou de 9 centim. -^ p«r mètre , ponr qoe Teffort soit doublé. Sur une déclivité de y^ on de 6 centioi. f par mètre , l'effort de traction sera le triple de ce qu'il est sur un plan horisontal et une fois et demie seulement de ce qu'il est sur une rampe de 3 centim. 1-. Au contraire, sur un chemin de fer, la force de tractiou en ligne droite et à très-petite vitesse est y|^ environ du poids du convoi sur un plan horisontal. Il suffit donc que la déclivité soit de ^fj- OQ de 5 milIim. seulement par mètre ponr que la traction soit doublée ; elle est triplée Inr une rampe de -pj-j ou de 10 millim. par Diètre ; qoadruplée snr une pente de ^ ou de 15 millim. par mètre.

Ces considérations expliquent pourquoi les déclivités des chemins de fer ne doivent pas, en général, dépasser 10 i 12 millim. par mètre, comme celles des routes ne doivent pas aller an delà de 6 à 7 centim. par mètre, tnrtont si elles sont longues. C'est qu'il ne serait pas rationnel d'employer une voie tracée de telle sorte que l'effort do moteur dât y varier dans un rapport plus gnmd que celui de 1 à 9 ou à 4. La différence des frottements snr un cbemin de fer et sur une route ordinaire motive suffisamment la différence entre les limites que roD doit adopter pour les déclivités dans les tracés de ces deux espèces de voies de communication. Chercher des moyens de traction qui permettent d'employer sur les cbeinins de fer des rampes aussi roides que sur les routes ordinaires , c'est aller contre le but et l'essence même de ces chemins.

Deux plans inclinés AB, AB' (fig. 28) adossés l'un à l'autre donnent lieu à un cas d'équilibre utile à considérer. Deux poids P et P' réunis par une corde qui passe sur une poulie de renvoi placée au sommet commun se font équilibre lorsqu'ils tout dans le rapport des longueurs AB, AB*. Ainsi pour on poids P double , triple, quadruple de P*, il faut que la longueur AB soit aussi double , triple , quadruple. . . de AB'. Il nous suffira d'ailleors d'avoir indiqué sur la figure les décompositions de forces qui conduisent à ce résolut Ce résultat n'a lien que si l'on fait abstraction des

frottements ; mais il est indépendant de la position res pective des deux plans inclinés qui , an lieu d'être adossés l'un à l'autre, peuvent être parallèles on même faire un angle quelconque , pourvu que la communication de l'un à l'autre se fasse à Taide de poulies de renvoi convenablement disposées. Cest ce qui a lieu sur les pUtns inelini» automoteurs que Ton voit aujourd'hui sur un asseï grand nombre de chemins de fer. Des wagons qui descendent par lenr propre poids font remonter d'autres wagons avec lesquels ils sont unis par des chaînes passant sur des poulies de renvoi.

CoiB.

Cet outil , qui agit à la manière du plan incliné , est un prisme triangulaire qoe la figure 29 représente vu suivant une de ses bases MNQ, et que l'on introduit par une de ses arêtes Q entre deux obstacles pour exercer latéralement deux efforts qui tendent i les écarter. L'arête Q s'appelle le tranchant du coin , les faces adjacentes MQ , NQ se nomment les càtét et la face MN la tête. C'est sur cette dernière qu'on applique le coup ou la pression.

La condition d'équilibre du coin se dédoit évidemment de celle qui est relative à un coîrps sollicité par deux forces sur un plan incliné, et consiste en ce que la puissance étant représentée par la tête du coin , les deux forces qui en résultent perpendiculairement anx côtés sont représentées par ces côtés eux-mêmes.

Ainsi, la force AD étant décompolée suivant AB et AC perpendiculaires aux côtés MQ , NQ , les deux triangles BAD, CDA, égaux entre eux, sont semblables au triangle MNQ, comme ayant leurs côtés perpendiculaires chacun À chacun ; et la proportionnalité des côtés homologues donnera le résultat énoncé.

Origine, deterlptloB et équilibre de la ils.

Considérons nn cylindre droit ABCD (fig. 90) dont

on développe sur un plan la surface convexe suivant le rectangle BEMC. Divisons les hauteurs BC , EN en nn même nombre de parties égale*, et menons les transversales BG, RH, QK, etc. Si l'on replie le rectangle BEMC snr le cylindre , la suite de ces transversales trscera i la surface de ce cylindre une courbe continue que Ton nomme héliee. Chacune d'elles détermine une ipire de B en R , de R en Q , etc. , etc. ; les portions d'une génératrice quelconque du cylindre, comprises entre plusieurs spires consécutives , sont égales , et cet intervalle constant est le pas de l'hélice.

La propriété fondamentale de l'hélice est d'être partout également inclinée aux diverses génératrices de la surface cylindrique. On peut donc comparer la position

Si la vis eit fixe

d'an point a, situé snr l'hélice et sollicité ptr plosieurs forces, à celles d'an point a', sitaé sur un pltn incliné QK aytnt pour base QH la longaeor développée de la circonférence du cylindre droit, et pour hauteur HK le pas de l'hélice. Si le point a est en équilibre sons l'influence de deux forces , l'une p verticale , l'autre q horisontale , et agissant à l'extrémité du bras de levier ob , le rapport entre ces deux forces sera égal i celui de la circonférence que tend à décrire la puissance q, au pas de l'hélice ; il est donc indépendant du rayon du cylyndre.

La vis (fig. 31 et 32) e$i un cylindre droit revêtu d'un Jilet saillant engendré par le plan d'un parallélogramme, d'un triangle ou d'une figure quelconque qui, s'appayant par sa base sur une génératrice , tourne autour de l'axe du cylindre, en faisant toujours le même angle avec les plans qui passent par l'axe du cylindre, et en descendant le long d'une hélice tracée sur sa surface. Tous les points du Jilet de la vis appartiennent donc à des hélices de même pas , qu'on nomme le pas de la vis , décrites sur des cylindres de même axe , mais de rayons différents.

Véarou n'est autre chose que le moule qu'on obtiendrait en entourant le corps de la vis avec une matière plastique. Sur les figures 31 et 32 l'écrou est à l'intérieur de la pièce M.

"31) l'écrou, qui seul est mobile, est sollicité par deux forces seulement , l'une parallèle à l'axe qui tend i le faire descendre en tournant autour de cet axe, l'autre Q dans un plan perpendiculaire i cet axe, et qui tend à le faire remonter en sens contraire.

La condition d'équilibre est que la puissance Q soit i la résistance exercée dans le sens de Taxe, comme le pas de la vis est à la circonférence que tend à décrire la puissance.

Celte condition n*est pas modifiée lorsque c'est l'écrou M qui est fixe (fig. 32) et la vis mobile. Seulement, dans le premier cas, l'écrou avance dans le sens où montent les spires de la vis ; il marche en sens contraire, c'est-à-dire vers la tMe de la vis , dans l'antre cas.

On distingue par les mots dextrortùm et iinittrortùmleM deux sens dans lesquels peut être dirigé le filet de la vis , suivant que l'hélice directrice va en montant de gauche a droite ou de droite à gauche, à partir de la base du cylindre supposé vertical. La règle suivante donnera toujours le sens du mouvement de la pièce mobile , vis ou écrou : > On enfonce la vis dans on écrou fixe , ou on la retire , suivant qu'on la fait tourner dans le sens que son nom indique ou en sens contraire. Lorsque l'écrou est mobile et la vis fixe , dans le sens de sa longueur, en la faisant tourner autour de son axe , on imprime à l'écrou un mouvement de sens contraire à celui qu'aurait pris la vis. >

Les vis des figures 31 et 32, qui doivent être considérées comme ayant le bout en l'air, sont tUxtrortûm, comme le sont ordinairement les vis employées dans les

arts mécaniques, à cause de la plus grande facilité qne nous éprouvons à tourner de gauche à droite.

On voit , d'après ce qui précède , que la vis est une machine qui participe à la fois du levier et du plan incliné.

Vil Mot fin.

Cet engin, représenté dans la fig. 33, est mobile autour de son axe , et mène les dents successives d'une roue à laquelle son filet se présente toujours d'une manière uniforme. Dans le cas de l'équilibre , la puissance Q appliquée à la manivelle est à l'effort avec lequel le filet presse la dent de la roue comme le paa de la vis est à la circonférence que tend à décrire la puissance.

Si un cylindre horisontal ou treuil autour duquel s'enroule un poids P est fixé sur le même axe que la roue dentée , la puissance Q est au poids P comme le produit du pas de la vis par le rayon du treuil est au produit du rayon de la roue dentée par la circonférence que tend à décrire la puissance.

DBS GORDBS CONSIDéB^BS COUVB MACOraBS.

Bien que nous ayons du supposer l'emploi des cordes dans plusieurs des machines précédemment décrites , notamment dans le tour, dans la poulie et dans les appareils qui en dérivent , elles n'ont en rien figuré dans les conditions de l'équilibre. Nous allons fixer ici les conditions de l'équilibre entre des forces dont les réactiods mataelles ne s'opèrent qu'au moyen de cordes.

Polygone faoicabire.

On appelle ainsi un assemblage de points liés entre eux par des cordons parfaitement flexibles et inextensibles , et sollicités par des forces qui agissent suivant iet cordons extrêmes et suivant d'autres cordons, mais de manière que chacun des points ou nœuds n'en assemble pas plus de trois i la fois. Il faut, pour l'équilibre , que deux cordons consécutifs du polygone soient dans un même plan avec la direction de la force appliquée au sommet de l'angle qu'ils font. De plus , toutes les forces doivent avoir une résultante unique , et chaque cordon est tendu par la force qui le sollicite , comme il le serait par la résultante de toutes les autres forces qu'on y transporterait parallèlement à elles-mêmes.

Lorsque les directions des forces qui sollicitent le système sont toutes parallèles , il faut que toutes ces forces et les côtés du polygone soient dans un même plan. Si ces forces sont verticales , la tension de chaque côtô est proportionnelle À la sécante de l'angle que ce côté fait avec l'horizon.

Cha!n«tt«.

C'est la courbe d'un polygone funiculaire d'une infinil«> de côtés. Elle est formée par une corde parfaitement flexible et inextensible, suspendue à deux points dont la distance est moindre que la longueur de la corde , et soU licitce en tous ses points par l'action de la pesanteur. Celle courbe est une de celles dont les géomètres se sont le plus occupés et dont ils ont découvert les propriétés un peu après l'invention du calcul différentiel. La corde étant homogène , la eourbe sera telle que la tangente de son inclinaison sur l'horison augmente comme la longueur de l'arc à partir du point le plus bas.

U chaînette jouit <le la propriété d*avoir ton centre de granié le pins bu poaaible , parmi tontea lea coorbea qui, pirtant dee mêmes points de suspension , ont la même loogneor.

Lt wnUe d'équilibre naturel , dont lea wmsMoirs en Tonne de globnlea se soutiendraient mutuellement par l'efTet de lenr poids seul , est une chatnette renversée.

La Untiaire ou courbure que prend une voile dont les deu eitrémités sont fixes, et qui est enflée par un vent Mufflant dans des directions parallèles , est encore une chaînette.

Il résulte des propriétés de la cbatnette , comme de retlet du polygone funiculaire , qu*il est impossible de tendre , suivant une ligne droite , nu cordon ou une chaîne dont lea deux extrémités ne sont pas sur une même Tcrticale , quelle que soit la force de tension. La corde se romprait plutôt que d'affecter une forme exactement rectiligne ; mais elle peut en approcher beaucoup.

linixiois SL'a lis puncipis Ginriaaux dx ta statiqoi. pawcipi on viTKssBa virtuillis.

Les principes généraux de la statique peuvent se rédoire à trois , celui du levier , celui de la compoeition dee ftreiiti celui dea vitessee virtuelUe.

Le premier (col. 105) est dû à Archimède, le seul géomètre parmi les anciena qui nous ait laissé une théorie de l'équilibre, dans ses deux livres de Y équilibre det plane, Finni les modernes, Stevin, Galilée, Huygens , etc. , ont cherché à simplifier et à perfectionner la démonstration d*Archiniède. Ce principe suffit pour résoudra tons les problèmes de statique. Guido Ubaldi, en 1577, l'a appliqué an treuil ; Galilée i un caa particulier du plan indiné, dana aes Mieamqueê^ publiées par le P. Mer-

I wone, en 1634; Roberval au caa le plua général du

I plan incliné, en 1636.

Le principe de la composition ou du parallélogramme des forces (coL 99) suffit auaai pour déterminer lea lois de IVqoiJihre dana tous lea caa. Ariatote , Arohimède , Nicofflède ont connu la composition des mouvements ; les deux derniers Pont employée pour la description des courbes. Util Galilée eat le pnmier qui ait employé la considération do mouvement composé dans la mécanique pour déterminer la treqeeioire parabolique décrite par un projectile dans le vide. Enfin , jusqu'à Tannée 1687 , dans liqnelle ont paru les Principe* de Nevton et le Projet ivu nouvelle mécanique de Varignon , on n'avait point penié i sabstitner, dans la composition des mouvements , les forces aux mouvements qu'elles peuvent produire , et à déterminer la force composée résultant de deux forces données, comme on détermine le mouvement composé de deox mouvements rectilignes et uniformes donnés. Varignon a déduit le principe du levier de celui de la composition des forces , qui , par sa simplicité et par la ftcilité de son application i tons les problèmes sur l'équilibre , a été adopté des mécaniciens aussitdt après sa décbnTerte, et a servi de base à presque tous les traités de stitiqae qui ont paru depuis.

On doit entendre par eiteue virtuelle celle qu'un corps ra équilibre est disposé à prendre , en cas que l'équilibre tienne à être rompu , c'eit-à-dire la viteaae que ce corps prendrait réellement dans le premier instant de son mouvement Le troisième principe général de la étatique con- B«te en ce que dea forces sont en équilibre quand elles Mat en raison inverse de leurs vitesses virtuelles, estinéei suivant les directions de ces forces.

Dans le levier et dans les antres machines en équilibre , )l est facile de reconnaître que la puissance et la résistance sont toujours en raiaon inverae des espaces que ■ nneet l'autre peuvent parcourir en même temps. Gnido Ihaldi est le premier qui ait aperçu cette loi, eu 1577, dans le levier et dans les poulies mobiles on moufles.

MECANIQUE. --MACHINES

Galilée l'a reconnue ensuite dana les plana indinéa et dans les machines qm en dépendent , et il en a eompria toute la généralité. Wallia, dans* sa Mécetnique, publiée en 1669, l'a adoptée, et il en a déduit la théorie de Téquilibre dans les principales machinée. Deacartes et Torricelti l'ont donnée aons des formes nouvelles.

Le principe des ritesses virtndles peut être rendu trèigénéral de cette manière. Si un aystème queleonque de tant de corps ou de points que l'on vent , tirés chacnn par des puissancea qnelconqnea, est en équilibre, et qu'on donne à ce système un petit mouvement quelconque , en vertu duquel chaque point pareoure un eapaee infiniment petit qui exprimera sa vitesse virtuelle, la somme des puissancea multipliées chacune par l'espace que le point où elle est appliquée parcourt, auivant la direction de cette même puissance , sera toujours égale à séro , en regardant comme positif'les petits espacée parcourus dans le sens des puissances , et comme négatifs les espaces pareourua dans un sens opposé.

Jean Bernouilli est le premier qui ait aperçu, en 1717, cette grande généralité du principe des vitesses virtuelles , et son utilité pour résoudre les problèmes de statique. Ce principe a donné lieu ensuite à celui que Maupertuia a proposé, en 1740, sous le nom de Loi du repoa, et qu'Enler a développé et généralisé en 1751. On peut dire que tous les principes généraux que l'on découvrira peut-être encore dans la science de l'équilibre ne seront que des expressions différentes pour la forme , mais identiques au fond , avec le principe des vitesses virtuelles.

Enfin Lagrange a expoaé dans tonte son étendue la formule générale qui eat la conséquence de ce principe , et qui renferme implicitement la solution de tous les problèmes que l'on peut se proposer sur l'équilibre des corps. Il l'a démontré À /^lori, et en a tiré tons les principes connus de statique.

g 4. ÉUmentM de dynamique.

LOI n^nmm.

La matière est de sa nature inerte, c*eat-à-dire qu'elle est impropre à se donner i elle-même aucun mouvement si elle est en repos , ou à modifier le mouvement qu'elle peut avoir, tant qu'elle n'est paa sollicitée par quelque force. Vn point matériel qui a reçu une impulaion unique doit donc se mouvoir indéfiniment en ligne droite d'une manière uniforme. Cette tendance de la matière à peraévérer dans son état de mouvement ou de repoa constitue la loi d'inertie, la première de la dynamique, établie par Newton , dans son livre immortel des Principe». Elle est d'ailleurs confirmée par l'expérience : en effet , nous observons sur la terre que lea mouvements se perpétuent plus longtemps à mesura que les obstacles qui s'y opposent viennent à diminuer ; ce qui doit nous porter à croire que, sans ces obstaclea, ils dureraient toujoun.

La régularité et la constance des mouvements des corps célestes fournissent une autre confirmation de la loi d'inertie. Tous ces mouvements s'accomplissent dana l'eapace, uniquement en vertu des attractiona mutuelles, qui s'exercent incessamment entre cea corps, et des impulsions primitives qu'ils ont reçues i l'origine des choses : leun ralentissements , leurs acoélérattona , leun écarta sont prédits d'avance par lea calcub de la mécanique céleste, fondés sur l'hypothèae de l'inertie, et l'obaervation conatate une merveilleuse coïncidence entre les résultats de l'observation et ceux de la théorie.

Quelquea exemples bien connus donnent encore une confirmation familière de cette loi. Ainai dans un convoi de chemin de fer soumis à un ralentissement subit on i un arrêt bruaque, les voyageun sont tous projetés en avant, dans la direction du mouvement L'homme qui aante à terre, en dehon d'une voiture animée d'une grande vi-

ISO

leste, (^ntervei en verlo de Finertie, le mouvement qui lai avait été imprimé duis le leos loivant lequel la voiture le ment La résistance dn sol détmit ce moavement dans ses pieds du moment où ils touchent la terre ; mais le mouvement subsiste encore dans les parties supérieures du corps, ce qui produit À peu près le même effet que si l'on eût fait un faux pas.

Le lièvre poursuivi par un lévrier, qui le gagne de vitesse, fait un ricochet, change brusquement la direction de sa course. Le lévrier, qui ne peut d'abord vaincre au moyen de sa force musculaire, la tendance qu'il éprouve par suite de l'inertie de la matière à persévérer dans le mouvement rapide qu'il a pris , se trouve entraîné assex loin avant qu*il ait arrêté son impulsion et qu'il se soit remis à la poursuite de sa proie.

paoroETiosmALiTÉ dbs roacis aux vitbssis , it composition

DBS HOCVBlflNTS.

Le second principe fondsmental de la dynamique consiste dans la proportionnalité de la force à la vitesse que cette force imprime i un point matériel ; en d'autres termes, plusieurs forces agissant à la fois et dans le même sens sur un corps lui font parcourir dans l'unité de temps un espace égal à la somme des espaces que chacune d'elles eût fait parcourir séparément

Celte loi , qui découle naturellement de l'idée que nous nous faisons des forces, peut encore élre considérée comme un résultat de l'expérience. En effet, on observe que , dans un navire dont la marche est uniforme , un mobile soumis à l'action d'un ressort , de la pesanteur, ou de toute autre force , se meut relativement aux parties du navire de la même manière, quelles que soient la vitesse de ce navire et sa direction ; et l'on peut établir, comme une loi générale des mouvements terrestres, que si, dans un système de corps emportés d'un mouvement commun, on imprime à l'un d'eux une force quelconque , son mouvement relatif ou apparent sera le même , quel que soit le mouvement génériJ du système et l'angle que fait sa direction avec celle de la force imprimée. Si donc on conçoit deux corps mus sur une même droite avec des vitesses égales , et qu'en imprin»nt i l'un d'eux une force qui s'ajoute i la première , sa vitesse relativement à l'autre corps soit la même que si les deux corps étaient primitivement en repos , il est visible que l'espace décrit par le corps en vertu de sa force primitive et de celle qui lui est ajoutée est alors égal i la somme des espaces que chacune d'elles eût fait décrire dans le même temps ; d'où il résulte que la force est proportionnelle à la vitesse.

Il résulte encore de là que différents mouvements imprimés i la fois ou successivement i un même corps se composent de manière que ce corps se trouve i chaque instant dans le même point de l'espace où il devrait se trouver en effet par la combinaison de ces mouvements, s'ils existaient chacun réellement et séparément dans le corps.

éflALITÉ DB L*ACTI0.V BT DB LA BÉACTIOV.

La réaction est toujours égale à l'action et dirigée en sens contraire.

Ge n'est guère qu'à l'aide d'exemples* qu'on peut bien faire saisir le sens de cette troisième loi du mouvement énoncée par Newton , et qui est une conséquence de la première , du principe de l'inertie.

Ainsi un boulet de canon frappe une muraille ; il imprime à cette muraille un choc propoHionnel à la force, à la vitesse dont il est animé et à la masse qu'il possède. liais il reçoit lui-même un choc égal à celui qu'il donne si la muraille résiste complètement , et son mouvement est anéanti , s'il est dépourvu d'élasticité. La réaction de

la muraille sur le boulet est égale à Vaetiom du boulet sur la muraille.

La balle de pistolet qui rencontre une planche de bois dur s'aplatit par le choc en même temps qu'elle pénètre dans le bois : elle subit donc un effet équivalent à celui qu'elle produit sur la planche.

LOIS BT BPFBTS DU CHOC DBS CORPS.

Ces lois ne peuvent figurer dans les éléments qu'autant que l'on suppose les corps absolument dépourvus d'élasticité et de forme invariable.

Dans un corps en mouvement il faut considérer à la fois la moue du corps , la quantité de molécules matérielles qu'il renferme (laquelle est proportionnelle à son poids) , et la viteue dont il est animé.

On appelle quautiti de moutemaU le produit de la masse par la vitesse.

Lorsque deux corps qui marchent dans la même direction viennent à se choquer, la vitesse commune après le choc est égale à la somme des quantités de mouvements svant le choc, divisée par la somme des âiasses. Lorsque la rencontre a lieu entre des corps qui vont an-devant Tun de l'autre , celui dont la quantité de mouvement est la plus grande entraîne l'autre dans le sens de son mouvement ; et la vitesse commune après le choc est égale à la différence des quantités de mouvement divisée par la somme des masses.

Ces résultats s'expriment algébriquement par la formule V = 7" , dans laquelle » est la vitesse après

le choc ; II et M* font les deux masses entre lesquelles le choc a lien , V et \r les vitesses dont elles ton! mpectivement animées. On prend au numérateur le signe -f- on le signe — , suivant que les corps marchent dans le même sens ou en sens contraire.

Cette formule, à laquelle on parvient facilement en s'appuyant sur le principe de l'inertie , donne une vérification très-simple du principe de l'égalité entre l'action et la réaction. Considérons, par exemple, les quantités de mouvements dont chacun des corps est animé après le choc , dans le cas d'une marche dans le même sens. Ces quantités sont :

1» Pour le corps dont la masse est II, Me, au lieu de MV ; différence 11 (V — v): on comme V — e =: "". , le corps dont la quantitède mouvement l'a emporté, a perdu, sur cette quantité de moo-

iiir (v — v) vement, une valeur égale à — — , .

2'' Pour le corps dont. la masse est II*, iTr, au lieu de M'V; différence li'(9 — V) : ou comme

u+ir

le corps qui a été entraîné a gagné ,

sur la quantité de mouvements précisément ce que l'antre a perdu.

u-f ir

c'est-à-dire

COMPOSITION BT DicOUpOSITION DBS yOCVBlIBSTS.

Les mouvements des corps sont assujettis aux mêmes lois de composition et de décomposition que les forces en vertu desquels ils ont lieu.

Cette conséquence de la proposition connue sons le nom de parallélogramme des foret* explique une foule d'effets mécaniques connus. Les figures 34 et 95 représentent l'action du vent sur un bâtiment à voiles. Soit CD la direction et l'intensité du vent qui agit sur la voile AB. Cette force peut se décomposer en deux autres, Tane DE perpendiculaire , l'autre DF parallèle au plan de la voile supposée tendue. La première seule agit pour pousser le bâtiment Or si on la reporte en DG, pour éviter tonte confusion dans la figure , elle peut à son tour se décomposer en deux autres, l'une DH dans le sens de

MÉCANIQUE. -<- MACHINES

raotre DI dans le lens da travers da bâtiment, liais, en raison de la forme allongée de celaici, la résistance dn liquide an monve- ^. ment transversal est bien pins paissante qne la résistance an monve- 4 ment longilndinai.

Le navire marche donc dans la direction de la flèche V, avec un faible moavement de dérive dans le sens DI.

Ce qni précède explique comme deox bâtiments pons- Kf ptr le même vent peuvent naviguer dans des directioDs diamétralement opposées. Lorsque Taxe longitudinal da navire fait le plus petit angle possible avec la direction dn vent , on dit que Ton urre le vent auphu près,

FDBCBS ACCâiBilTBlCBS IT tfOrVIUBNTS VARIÉS. ^- PESANTEUR.

Gtlilée, qui a le premier aperçu le principe de Tinertie et ceini de la proportionnalité des vitesses aux forces, » a déduit la loi du mouvement des projectiles. La petanlenr nous offre l'exemple journalier d*une de ces forces qaelon appelle aeeélératrieet , parce que, comme elles igisieot sans interruption , elles ajoutent à chaque instant ui nonveau d^gré de vitesse anx corps qu'elles sollicitent En on même point du globe, cette force est constante, i( le mouvement qni en résulte pour le corps qui y est iibfement soumis est uni/ormimeta aeeéléri, La vitesse mjvise par le corps qui tombe est proportionnelle au temps , et lea espaces qu'il parcourt tout proportionnels ux esrrés des temps ; si l'action de la pesanteur venait ieesier, le corps mu uniformément en vertu de sa vitesse iojvse décrirait, dans un temps égal à celai de sa chute, Btt espace double de celui qu'il a parcouru.

Ces lois sont comprises dans les formules très-simples 9z=:gt, e=::^yfi,oùg représente soit la vitesse acquise la boDt d'une seconde par l'influence de la pesanteur, soit le donble de l'espace parcouru dans le même temps, v la litcsae acquise et e l'espace parcouru au bout de t secondes. La seconde formule, lorsque l'on y remplace t par sa nlenr tirée de la'première, devfent e = |--,

A rObservatoire de Paris on a ^ = 9"^, 808 96.

Sur on plan incliné , le mouvement est encore uniformément accéléré , abstraction faite de la résistance de Tsir , mais la petanUur relative y est moindre, de sorte qne les vitesses et les espaces parcourus sont à ceux qui Knient parcourus dans le même temps, suivant la verticale, dans le rapport de la hauteur du plan à sa longaenr. Il suit de iî que toutes les cordes d'un cercle qai aboutissent à l'une des extrémités de son diamètre vertical sont décrites , par l'action de la pesanteur, dans ic même temps que son diamètre.

Un projectile lancé suivant une droite quelconque, s'en éeirle sans cesse en décrivant une parabole à laquelle cette droite est tangente. Car, en vertu de l'impulsion primitive , le mouvement mesuré sur la droite doit être oniforme; mais, en vertu de la pesanteur, les ordonnées verticales doivent être proportionnelles aux carrés des abtcisies , ce qui est une propriété fondamentale de la parabole.

Les lois relatives au mouvement d'un corps projeté verticalement de bas en haut , avec une certaine vitesse initiale V, se déduisent facilement de celles qui viennent d'être établies par un corps qui tombe. Ainsi d'abord la vitesse de bas en haut e, au bout d'un temps quelconque (t sera égale à la vitesse initiale V diminuée de la vitesse ^ que la pesanteur a accnmulée successivement de haut en

bas dans le corps lancé. Ensuite , la hauteur h à laquelle le corps sera parcouru dans le même temps sera égale à l'espace \t qu'il aurait parcouru de bas en haut en vertu de sa vitesse initiale si elle avait agi seule , diminué de l'espace \gt* que cette vitesse lui aurait fait parcourir de haut en bas dans le même temps. C'est ce qu'expriment les formules » = V — yl , 4 = Vf — J ^l *.

La vitesse v devient nulle au bout d'un temps donné par la relation < = ^ ; et au bout du même temps on a A=i^. Le corps s'élèvera donc à la hauteur d'où il lui faudrait tomber pour acquérir une vitesse égale à sa vitesse initiale ; et il mettra i parvenir au point le plus hant de sa course le même temps qu'à retomber au point de départ

Il est bien entendu que tous ces résultats sont considérablement modifiés par la résistance de l'air dont nous avons fait abstraction dans ce qui précède.

UOUVBUtNT CCRVILI6NK.

Le mouvement circulaire nous offre encore l'exemple d'une force agissant d'une manière continue.. Car en vertu de la loi d'inertie , un corps mû sur une circonférsnce tend sans cesse à s'éloigner du centre par la tangente. L'effort qu'il fait pour cela a lieu suivant le rayon et se uomme/orce centrifuge. D'un antre cêté , tonte force dirigée vers un centre porte le nom àt farce centrale ou farce centripète. Dans le mouvement circulaire , la force centrale est égale et directement contraire à la force centrifuge; l'une et l'autre sont proportionnelles au carré de la vitesse divisé par le rayon. Donc la force centrifuge est égale i la pesanteur si la vitesse du corps qui circule est la même que celle qu'acquiert un corps pesant tombant d'une hauteur égale à la moitié du rayon de la circonférence décrite.

La force centrifuge à l'équateur est à peu près j|-{-j on YgY de la gravité. Si donc la rotation de la tçrre devenait 1 7 fois plus rapide, la force centrifuge deviendrait 289 fois ce qu'elle est aujourd'hui , et elle ferait pins que contre-balancer l'action de la pesanteur, o Les forces centrifuges sont entre elles comme les rayons des circonférences , divisés par les carrés des temps des révolutions. Donc sur divers parallèles terrestres , la force centrifuge due au mouvement de rotation de la terre est proportionnelle anx rayons de ces parallèles.

Ces beaux théorèmes découverts par Huygens ont conduit Nevton à la théorie générale du mouvement dans les courbes et à la loi de la pesanteur universelle.

Pour passer de la considération du mouvement circulaire a celle dn mouvement sur une courbe quelconque MNPQR, supposons qu'en chacun des points M, N, P, Q, R de la courbe on mène perpendiculairement à cette courbe des droites MA, NB, PC, QD, RE, infiniment rapprochées, dont les intersections successives soient les points A , B , C , D, E, etc. Ces points pourront être considérés comme les centres de petits arcs de cercle contigus MN, NP, PQ, QR, dont la courbe serait composée. Cette courbe pourrait être engendrée par le mouvement d'un fil qni , d'abord enroulé suivant EDCBAM , se déroulerait de manière qne son extrémité mobile prit successivement les positions 11, N, P, Q, R. . . • Chacun des points A, B, C, D, est un des eeniret de I courbure de la courbe MNPQR. Les longueurs AM, BN,

lia

INSTRUCTION POtlR LE PEUPLE.

iS4

CP, DQ, lont les rajfont de eowrburt. Les cercles décrits des poioU Af B, C, D, comme centres avec ces rayons, et dont les arcs MN , NP, PQ, QR font respectivement partie, sont les eereUi oseulateurs aux points M, N, P, Q. . . . La courbe ABCDE , formée par l'intersection successive des droites perpendiculaires à la courbe primitive, est la développée de MNPQR; et celle-ci est la développoMte de AfiCDE.

Gela posé , pour passer du mouvement circulaire au mouvement curviligne quelconque, on généralise Texpression de la force centrifuge en disant qu'elle est, en chaque point de la courbe décrite, égale au carré de la vitesse du corps diviié par le rayon du cercle osculateur en ce point

Nous avons à chaque instant sous les yeux des effets dos k la force centrifuge. Ainsi le cavalier qui parcourt un hippodrome de toute la vitesse de son cheval , arrivé au point où le tournant est le plus brusque , se sent entraîné vers l'extérieur ; pour contrebalancer cette force , il est oblige de pencher son corps vers l'intérieur et de le pencher d'autant plus que la vitesse est plus grande.

Une voitnre qui se meut avec vitesse dans une route sinueuse peut elle-même être renversée par la force centrifuge sans qu'aucun choc , sans qu'aucune rupture ait déterminé l'accident Soit AB cette Voitnre , G son centre de gravité. Ge point G sera sous l'influence de deux forces : le poids de la voiture , qui peut être représenté par la longueur de la ligne verticale CD, et la force centrifuge représentée par une ligne G P. La résultante de ces deux forces sera représentée par la ligne GG ; en sorte que , dans le cas de la fig. 37, la force centrifuge se bornera i augmenter la pression supportée par la roue B, en diminuant celle que supporte l'autre roue située sur la droite.

Quand le rapport de FG à GD est celui qu'indique la fig. 38, la roue B supporte toute la pression et l'autre n'en supporte aucune.

Enfin ^ quand la force centrifuge augmente encore et qu'on se trouve dans le cas représenté par la fig. 39, la diagonale GG va rencontrer le sol sur la gauche de la roue B ; et la résultante du poids et de la force centrifuge, représentée en intensité et en direction par cette diagonale , tend à soulever la voiture. Pour le voir plus clairement , imaginons que la force résultante GG soit de nouveau décomposée en deux autres , l'une dirigée suivant GB et l'antre suivant GK, perpendiculaire à Gfi. La force GB sera détruite par la réi istance de la route , mais la force GK tendra i soulever la voiture , en la faisant tourner autour du point d'appui B, la voiture chavirera. La stabilité de la voiture tiendra donc à la grandeur de Fespacement des roues ou au peu d'élévation du centre de gravité au-dessus dp sol , car l'une ou l'autre de ces deux circonstances tendra i accroître le rapport de BD à GD.

On connatt depuis longtemps l'expérience du verre d'eau plein que l'on attache au bout d'une corde , et que fou fait tourner rapidement avec la main sans répandre ane goutte. La force centrifuge pousse l'eau contre le fond du verre, au moment où ce verre est renversé et où le fond est en haut

On a réalisé depuis quelques années en Angleterre, et

récemment en France, un jeu singulier fondé sur cet effet Un chemin de fer est disposé suivant un plan incliné rapide, qui se recourbe sur lui-même , de manière i décrire un cercle complet presque vertical, et à remonter jusqu'à un palier un peu moins élevé que le point de départ Un chariot lancé avec une vitesse sufCsante sur le plan incliné, décrit le cercle entier sans que le patient qui y est assis tombe, même après avoir eu pendant une demi-révolution les pieds en l'air et la tête en bas.

Un corps pesant, suspendu librement sur un axe, tend toujours k se maintenir en équilibre ; de sorte que la verticale qui passe par le centre de gravité , passe aussi par l'axe de suspension. Si on l'écarte de cette position d'équilibre , il finit par y revenir en faisant des oscillations dont l'amplitude va sans cesse en diminuant par suite de la résistance de l'air et du frottement On pent imaginer que l'on remplace le pendule compote par un pendule simple , se réduisant i un fil inextensible et sans pesanteur, qui porterait k une de ses extrémités un point matériel pesant

Huygens a trouvé les lois remarquables du mouvement d'un appareil de ce genre, qui offre une des applications du mouvement curvUigne. D'abord, Galilée avait aperça que , pour des écarts peu considérables de la verticale , les oscillations , quoique d'amplitude inégale , sont sensiblement isochrones , c'est-à-dire qu'elles s'opèrent dans des temps égaux. Mais cet isochronisme n'est qu'approché sur la circonférence que décrit l'extrémité du pendule ; il n'est rigoureux que si cette extrémité décrivait une courbe sur laquelle la pesanteur décomposée parallèlement i la tangente serait proportionnelle à l'arc compté du point le plus bas. Huygens trouva que cette courbe n'est autre chose qu'une roulette on eycloide^ décrite par un point d'une circonférence qui roule sans glisser sur une ligne droite. On se fera une idée de cette courbe en se figurant le chemin que parcourt un clou fixé i la bande de la roue d'une voiture qui roule , sans dévier , sur un chemin uni. Sur la figure «40, on voit les deux cycloides

OGA, OG'A' que décrit le point O de la circonférence qui a pour diamètre OB, lorsque cette circonférence roule successivement i gauche et k droite do point 0, les longueurs OD, DA, OD', D'A' étant respectivement égales k la moitié de la circonférence. Huygens trouva encore que , pour faire décrire une cycloïde CPC k un pendule oscillant , il suffit de fixer l'extrémité d'an fil inextensible k l'origine commune 0 de deux cycloides OGA, OG'A* égales à celles que l'on veut faire décrire et placées en sens contraire ,- de manière que le fil , en oscillant, enveloppe alternativement chacune des deux courbes. La longueur OBP de ce fil doit d'ailleurs être égaie À la moitié OC ou OC de la longueur de la cycloïde, on au double du diamètre du cercle générateur. Quelque ingénieuses que soient ces recherches, l'expérience a fait préférer le pendule circulaire comme étant beaucoup plus simple et d'une précision suffisante, même à l'astronomie. Mais on leur doit l'application du pendule aux horloges, qui est si importante dans l'usage ordinaire de la vie civile et dans les observations scientifiques. Elles ont fait nattre aussi la théorie des développées^ devenue très-utile par ses applications au système du monde.

La formule qui donne en secondes la durée l des oscillations très-petites d'un pendule circulaire simple, d'une

loogneor / exprimée en mètres , est f zric V - <ltn8

laqndle ic repréieote le rapport de U circonféreoce an diamètre et ^ k vitesse acquise par no mobile au bout (Tone seconde, eo vertu de l'action de la gravité.

U est bcile de voir, an moyen de cette formule , que U détermination du mouvement rectiligne des graves peut être ramenée à la mesure de la longueur du pendule simple qui bat les secondes. Or cette mesure peut être opérée avec une très - grande précision ; elle est de Oi", 993855 pour l'Observatoire de Paris. On est redeitUe s Huygens de cette remarque ingénieuse, qui lie le owovement du pendule à la chute des corps pesants.

La formule montre encore que le temps de la chute, le long d'un petit arc terminé par un diamètre vertical, est tn temps de la chute , le long de ce diamètre , ou , ce qsi revient au mcme, le long de la corde de l'arc, comme le qnsrt de la circonférence est au diamètre.

Car cette formule donne pour le temps cherché t', qui

ni celui d*nne demi-oscillation , l' ^ } ir V -; d'un aatre cdté, le temps t nécessaire pour parcourir le diamè* tretertical2festf = 2 i^ -, donc -:= ^.

La droite , menée entre deui points donnés , n'est pas U ligne de plus vile descente de l'un i l'autre. La recherche de la ligne qui jouit de cette propriété a excité isfimosité des géomiètres, et ils ont trouvé qu'elle est encore une cycloîde dont l'origine A est an point le plus rifvé.

La cfcloïde est donc i la fois taulockrone^ c'est-à-dire qoe, n de l'un quelconque de ses points on laisse tomber m corps pesant le long de sa concavité , il arrivera toujovf an point le plus bas dans le même intervalle de tonpi ; et braekyttockrone onde la plui vite dêteenU pour ici corps qui y sont abandonnés à l'action de la pesaulear.

Cette courbe a encore beaucoup de propriétés remarqaables. Son aire totale OCA est triple de celle du cercle gniêraleur, et sa longueur rectifiée est quadruple du diamètre 0 B de ce même cercle.

Les durées des oscillations très-petites de pendules de longueurs différentes , dans un même lieu , sont comme la racines earrées des longueurs ; et, pour des pendules de même longueur, dans des lieux différents, les durées dct oscillations sont en raison inverse des racines carrées <lct intensités de la pesanteur.

C'est au moyen de ces conséquences remarquables de U formule du pendule que l'on a déterminé la variation ^ la pesanteur à la surface de la terre et au sommet des montagnes. Les observations du pendule ont pareillement lait connaître que la pesanteur ne dépend ni de la surface, ni de la figura du corps, mais qu'elle pénétra leun putiet les pins intimes, et qu'elle tend i leur imprimer dus le même temps des vitesses égales.

CisTU d'oscillation ou db PBRCUSSIOSr.

Lorsqu'il s'agit de déterminer à priori la position du point on toute la matière d'un corps suspendu librement devrait être concentrée pour que les oscÛlations du pendnle simple résultant fussent isochrones à celles de ce corps, il est néeessaira d'avoir recoun i de nouveaux principes.

Descartes fut le premier qui , pour évaluer la force des corps eo mouvement uniforme, eu égard à leur masse cl s leur vitesse , proposa de prendre leur quantité de ■MtsmeMi, c'est-à-dire le produit de la masse par la vi- Isiie. Dans un corps soumis au mouvement varié, le produit de la masse par la force accélératrice exprime la force élémentaire ou naissante , la /orée motrice nécesttire pour imprimer la vitesse élémentaire que le corps > prise ou qu'il tend à prendra. Des foraes motrices ou

MÉCANIQUE. —MACHINES

lia

des quantités de mouvement se détruiront ou se feront équilibre si elles sont égales et directement opposées, ou si, étant appliquées à une machine quelconque, elles suivent les lois de l'équilibre de cette machine.

Si donc on considère ensemble les mouvements que la gravité imprime à chaque instant aux molécules d'un pendule composé ; comme ces molécules , en vertu de leur liaison, ne peuvent suivre ces mouvements, on concevra les mouvements qu'elles doivent prendre comme résaltant des mouvements imprimés et d'autres mouvements ajoutés ou ratranchés, qui doivent se faire équilibre au moyen des liaisons du système. Le problème se trouve ainsi ramené aux principes de la statique. C'est à Jacques Bernouilli qu'est due cette solution du fameux problème du centre éCoêciUation , donnée en 1691 d'abord, et beaucoup plus complètement eu 1703.

On trouve ainsi que le centre d'oscillation dont U distance à l'axe de suspension donne la longueur dn pendule simple, est sur une ligne perpendiculaire à l'axe do suspension, passant par le centre de gravité du pendule, et à une distance de cet axe que l'on obtient en faisant la somme de tons les produits des poids qui composent le pendule par les carrés de leur dislance à l'axe, et en divisant cette somme par le poids du pendule multiplié par la distance de son centre de gravité au même axe.

PajNGlPIS OB LA CONSIRVATUM DIS TOSCBS «VIVIS.

Avant Bernouilli, Huygens avait déterminé ce point rn se fondant sur ce principe , que, si plusieun poids attachés, comme on voudra , à un pendule , descendent par la seule action de la grarité , et que , dans un instant quelconque , ils soient détachés et séparés les uns des autres, chacun d'eux, en vertu de la vitesse acquise pendant la chute , pourra remonter à une telle hauteur que le centre commun de gravité se trouvera remonté à la même hauteur d'où il était descendu. D'après les théorèmes de Galilée et la définition connue du centra de gravité , ce principe se réduit à ce que , dans le mouvement des corps pesants, la somme des produits des masses par les carrés des vitesses à chaque instant est la même, soit que les corps se meuvent conjoint«*ment d'une manière quelconque, soit qu'ils parcourant librament les mêmes hauteun verticales.

Or, dans le mouvement , le produit de la masse par le carré de la vitesse est ce que l'on appelle la force rive ; de là le nom de principe» de h conservation des forces vives.

La considération des foraes vives est de U plus haute importance dans les machines en mouvement On peut toujours comparer la force vive produite par une machine, son efet utile^ à l'effort nécessaire pour élever un certain poids à une certaine hauteur. Si le poids ou la Jiauleur varient séparément, la force vive variera dans la même proportion; elle est donc proportionnelle à son produit. Mais la hauteur à laquelle il faut élever un poids pour qu'il acquière, en tombant de cette hauteur une vitesse déterminée, est proportionnelle au carré de la vitesse. La force vive elle-même est donc égale au produit de la masse par le carré de la vitesse dn corps en mouvement Ainsi se trouve expliquée cette dénomination et l'utililé du principe d'Huygens.

Jean et Daniel Biemouilli donnèrent beaucoup d'extension à ce principe , et s'en servirent avec succèûi , le premier pour résoudre quelques problèmes difficiles , le se» coud pour en déduire les lois des mouvements des fluides dans des vases

PRI.\CIPB DBS AIHBS OU G0N8BHVATI0N DBS UOHBSiTS 01 ROTATIOK.

Ce principe est principalement employé dans la considération d'un mouvement curviligne décrit en vertu d'une

itr

force dirigée vers un point fiie. On peut décomposer cette force en deux, l'nne tnivant le rayon de courbure, l'autre suivant rélément de la courbe. La première fait équilibre i la force centrifuge. La seconde augmente ou diminue la vitesse du corps ; cette vitesse est donc continuellement variable. Mais elle est toujours telle , que les aires décrites par le rayon vecteur (1) autour du point d*où émane la force centrale sont proportionnelles aux temps. Réciproquement , si les aires tracées par le rayon vecteur autour d'un point fixe croissent comme les temps , la force qui les fait décrire est constamment dirigée vers ce point.

Ce théorème, démontré par Nevlon dans ses Principes^ a été généralisé par d'Arcy en 1 747. La généralisation consiste en ce que , dans le mouvement de plusieurs corps autour d'un centre fixe , la somme des produits de la masse de chaque corps par l'aire que son rayon vecteur décrit autour d'un centre fixe, sur un même plan de projection , est toujours proportionnelle an temps.

Dès 1746, Euler et Daniel Bernouilli avaient publié un nouveau principe , qui ne diffère que pour la forme de celui de d'Arcy, dont il est l'expression différentielle ; savoir que , dans le mouvement de plusieurs corps autour d'un centre fixe , la somme des produits de la masse de chaque corps par la vitesse de circulation autour du centre et par sa distance au même centre , est toujours indépendante de l'action mutuelle que les corps peuvent exercer les uns sur les autres , et se conserve la même tant qu'il n'y a aucune action ni aucun obstacle extérieur.

D'Arcy lui-même a présenté ensuite son principe sous une autre forme qui le rapproche davantage du précédent , et qui consiste en ce que la somme des produits des masses , par les vitesses et par les perpendiculaires tirées du centre sur les directions des corps, est une quantité constante.

PRrNaPB DK LA ItOfHDRB ACTION.

Plusieurs philosophes, frappés de l'ordre qui règne dans la nature , et de la fécondité de ses moyens dans la production des phénomènes, ont pensé qu'elle parvient toujours i son but par les «oies les plus simples. En étendant cette manière de voir k la mécanique , ils ont cherché l'économie que la nature avait eue pour objet dans l'emploi des forces et des temps. L'ancien géomètre Héron et Fermât avaient fait des remarques de ce genre sur la loi de la réflexion et de la ré/raetion de la lumière (voyes rOpTiQCs), lorsque, vers le milieu du siècle dernier, Maupertuis proposa le principe devenu fameux depuis sous le nom de principe de la moindre action , et qui consiste en ce que , quand plusieurs corps agissant les uns sur les autres éprouvent un changement dans leur mouvement , ce changement est toujours tel que la quantité d'action employée par la nature pour le produire est la plus petite possible ; et cette action a pour mesure , suivant Maupertuis, le produit de la masse par l'espace et par la vitesse. Maupertuis déduisit de ce principe les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière , dans un mémoire lu à l'Académie des Sciences en 1744. Deux ans après, dans un nouveau mémoire communiqué i l'Académie des Sciences de Berlin , il étendit ces applications aux lois du mouvement , et même du repos ; et , généralisant son idée, il en fît un principe universel, dont ceux de la loi de l'équilibre , de la marche uniforme du centre de gravité dans le choc des corps , de la conservation des forces vives , etc. , ne sont que des cas particuliers.

Euler étendit et généralisa le principe en faisant voir que, dans le mouvement des corps soumis à des forces centrales, la somme totale des vitesses élémentaires, multipliée

(I) On •pp«ll« alnii la dittaoee variabla d'oa poiol fixt qne l'on •ff9iU pôle w/û^er, à diffémto poiato d'aaa eoarbc.

par l'élément de la courbe, est toujours un minimum. Lagrange , tout en regardant comme impropre la dénomination de moindre action , l'a conservée en étendant le résultat d'Euler^au mouvement de tout système de corps qui agissent les uns sur les autres d'une manière quelconque. Le théorème consiste alors en ce que chaque corps du système décrit constamment une courbe telle que la somme des forces vives consommées dans un temps donné pour parvenir d'une position i une autre est nécessairement un maximum ou un minimum.

OONSBRVATION DU UOUVKUBNT DU CENTRE DS GRAVÎT^.

Il existe encore un principe remarquable de dynamique , beaucoup plus ancien que les précédents, et démontré par Newton au commencement de ses Principes. Il consiste en ce que l'état de repos on de mouvement du centre de gravité de plusieurs corps n'est point altéré par l'action réciproque de ces corps , quelle qu'elle soit ; de sorte que le centre de gravité des corps qui agissent les uns sur les autres d'une manière quelconque , par des fils , ou des leviers , ou des lois d'attraction , sans qu'il y ait aucune action ni aucun obstacle extérieur, est toujours en repos , ou se meut uniformément en ligne droite.

D'Alembert a donné depuis de Textension i ce principe , en faisant voir que si chaqne corps est solliciû^ par une force accélératrice constante et qui agisse suivant des lignes parallèles , on qui soit dirigée vers un point fixe et agisse en raison de la distance , le centre de gravité doit décrire la même courbe que si les corps étaient libres.

PRINCIPB DB d'aLBUBBBT POUR LA SOLUTION DB TOUS LBS PROBLÀHBS DB DVHAIIIQOB.

Le principe des forces vives , tel que Huygens l'avait appliqué à la détermination du centre d'oscillation , fut longtemps employé seul pour la solution des problèmes de dynamique ; mais comme ce principe ne donne qu'une équation (voyes ALniesB, col. 89) , on cherchait les antres par la considération des forces inconnues avec lesquelles on concevait que les corps devaient se pousser ou se tirer : ce qui rendait ces problèmes ordinairement très-difficiles.

Le traité de dynamique de d'Alembert , qui parut en 1743, leva toutes les difBcultés fondamentales, en offrant une méthode générale pour mettre en équations tous les problèmes de dynamique ; extension de l'idée très-ingénieuse que Jacques Bernouilli avait employée dans la détermination du centre d'oscillation (voy. col. 126). Le principe de d'Alembert consiste en ce que si on imprime à plusieurs corps des mouvements qu'ils soient forcés de changer à cause de leur action mutuelle , il est clair qu'on peut regarder ces mouvements comme composés de ceux que les corps prendront réellement et d'autres mouvements qui sont détruits; d'où il suit que ces derniers doivent être tels que les corps animés de ces seuls mouvements se fassent équilibre.

On peut encore énoncer le principe de d'Alembert en disant qu'il doit y avoir équilibre, entre les forces réellement appliquées an système , mais prises en sens contraire , et les forces qui produiraient les mouvements engendrés , le système étant supposé libre.

On peut donc ramener toutes les questions de djiaamique è celle de statique. En combinant le principe de d'Alembert avec celui des vitesses virtuelles, Lagrange a réduit toute la dynamique à une formule générale, d'où il a déduit les principes relatifs aux forces vives , au mouvement du centre de gravité , aux aires et i la moindre action.

LéoN LALANNE ,

ancien élève de l'école polfteclittlqac , iBgénienr dw PoaU «t Chamiéc».

FARIS. — TVrOSBAnUB ttMU riitXS, SOS K VABSISAS». 36.

Paus. —

DUBOGHET, LECHEVALIER bt G», 60, RUE RICHELIEU. ^iScnmitu.

MECANIQUE. -MACHINES