DIVISION

Cette opération a pour but, étant donnés un produit appelé dividende , et l'un de ses facteurs appelé diviseur, de trouver l'autre facteur appelé quotient. En d'autres termes , lorsque l'on opère sur des nombres entiers, le quotient s'obtient en cherchant combien de fois le dividende contient le diviseur.

Pour indiquer la division , on sépare le dividende du diviseur par 2 points (:), ou l'on écrit le dividende audessus du diviseur, ainsi : ^ = 21 : 7 = 3.

Le quotient se trouve au moyen de la table de multiplication de la col. 6, lorsque le diviseur n'ayant qu'un seul chiffre le dividende n'en a pu plus de deux. Ainsi, -^ = 8, -^ = 9. La division de 67 par 7 ne se fait pu exactement; on trouve au quotient 9 pour 63, et il reste 4 au dividende ; ce que l'on exprime ainsi :

67 = 9X7 -+-4 on , en langage ordinaire , 67 est égal au produit de 9 par 7 augmenté de 4.

Lorsque le diviseur n'ayant qu'un seul chiffre le dividende en a plusieurs , la division se décompose en divisions partielles que l'on sait faire d'après le eu précédent. On trouvera ainsi que ^^ =- 428, Les calculs se disposent de la manière suivante

Dividende: 2140

5 Diviseur.

428 Quotient.

Et l'on dit: en 21, 5 est contenu 4 fois pour 20 ; reste 1 : en 14, 5 est contenu 2 fois pour 1 0 et reste

Kn 218, 54 est

contenu 4 fois : 4

fois 4 font 16, de

18 reste 2, et je

4 fois 5 font 20 et 1 de retenue font 21, de

54 Diviseur.

405 Quotient,

retiens 1 ;

21 reste 0 ; 27 ne contient pas 54 ; je pose donc 0 au quotient, à côté du 4 ; en 270, 54 est contenu 5 fois ; 5 fois 4 font 20, 0 de 0 reste 0 et je retiens 2 ; 5 fois 5 font 25 et deux de retenue font 27, de 27 reste 0. On a donc exactement : ^^^^ = 405.

Il peut arriver que la division ne se fasse pas exactement, comme dans l'exemple suivant ;

4 ; en 40 , 5 est contenu 8 fois et reste 0

he cas le plus général de la division, celui où le dividende et le diviseur ont plusieurs chiffres, se résout d'une manière analogue. Pour diviser 21870 par 54, on disposera les calculs comme ci-dessous, et l'on dira ;

Dividende :

8974 Diviseur.

5337 Quotient.

En divisant le nombre

47894599 par 8974, on

trouve au

quotient

5337, et pour dernier reste 361 qui ne contient plus le diviseur. On en conclut que si l'on retranchait 361 du dividende, ce qui donnerait 47894238, ce dernier nombre contiendrait le diviseur exactement 5337 fois ; ce qui revient à l'égalilé : 47894599=8974 X5337-f-361.

UOYBKS Ul&CANIQl'KS POUR OP^RKE LBS QUATBB aiCLBS.

Uachine Arithmétiqoe de Ptical.

C'est un fait vraiment remarquable qu'on ait pu trouver des procédés purement mécaniques pour effectuer des calculs qui semblent exiger l'action de l'intelligence. La plus célèbre application de ce genre est due à Pucal. La fameuse machine arithmétique dans la conception de laquelle s'est épuisé ce merveilleux génie, existe encore aujourd'hui au Conservatoire des arts et métiers ; elle se compose d'une série de compteurs qui ne sont guère propres qu'à opérer les additions et les soustractions.

Le docteur Roth a apporté à la conception de Pucal des perfectionnements importants qui lui ont permis de mettre dans le commerce k très-bas prix des machines à calculer et des compteurs fonctionnant parfaitement Pour 50 à 60 fr. on a une machine applicable aux nombres qui n'ont pas plus de dix chiffres. Un compteur marquant jusqu'à 100 , ne coûte que 3 fr. 50 c. Les appareils établis suivant le système de Pucal coûteraient beaucoup plus et fonctionneraient moins bien. Macliin* i conpier du Grecs, dea RoaMini, dM Chinoii el dea Rawe». Le petit appareil représenté par notre figure est fort habilement manié psr les Russes , qui le désignent sous le nom de sukote (compte, calcul). Des baguettes fixées dans un cadre rectangulaire horisontal en bois portent chacune dix boules en bois , en os ou en ivoire , qui y sont enfilées. Le nombre de chacune des boules abaissées représente un chiffre qui exprime des unités, des diiaines , des centaines , etc. , suivant le rang de la colonne , à partir de la droite vers la gauche. On opère les additions en ajoutant les unités aux unités, les diiaines aux disaines , etc. , et en reportant à chaque colonne les retenues provenant de la colonne précédente, absolument comme dans le procédé ordinaire de l'addition.

Dans le groupement des boules, tel que le représente

la figure , on lit le nombre7 34168i.

Le stchote n'est autre chose que Vabax des Grecs, Vahaeus des Romains et le souanpan des Chinois. Il explique parfaitement l'origine de notre système de Vabaeus,

numération écrite. L« noi

Digitizei

Tbr^5?dtigtr*

ARITHMÉTIQUR — ALGÈBRE.

donné an Ubletn i colonnes ou les chiffrét éUient rangé» avec lenr valeur relative, indique bien la tranailion <joi a conduit de cet initmment si simple i Fadmirable système de numération dont on faisait à tort honneur aux Arabes.

Vab^Êcmâ que nous venons de représenter a été introduit dans quelques écoles , en France, pour l'instruction des plus jeunes enfants. On Je désigne sous le nom de bemllier, H. Poncelet paratt être le premier qui ait importé de Russie cet instrument, dont, cependant, Voltaire parle à plusieurs reprises (dans son Histoire de Charies Xlf et dans celle de Pierre-le-Grand). L'abacus n a du reste rien de commua que le nom avec Vabaqttf on Compteur witertel dont nous parlerons ailleurs. Bâtoni de Nrper.

Ce sont de petits bâtons en bois , i section earr^ , comme des carreleU i régler le papier, on des bandes de carton sur lesquels neuf nombres ont été écrits d'une manière convenable.

Notre Ggure fait voir comment les bâtons en haut desquels se trouvent les chiffres 1, 2, 9, 6, servent à obtenir les 9 preipiers multiples de 1296. Il suffit de placer i gauche un guide portant les 9 premiers chiffres dont chacun indique le rang de la tranche horizontale correspondante. Pour avoir 2 fois 1296, par exemple, on n*a qu'à prendre 2 i droite de la seconde tranche horizontale; 8 plus 1 ou 9 ; 4 plus 1 on 5 ; 2 plus 0 ou 2, ce qui donne 2592. On trouverait de même que la tranche horizontale commençant par 3 donne le multiple 3888, chaque nombre devant s'ajouter à celui qui est en diagonale immédiatement au-dessus vers la droite.

De simples lectures permettant d'obtenir, au moyen des bâtons de Neper, les 9 premiers multiples d'un nombre quelconque , on s*en servira avec avantage pour les multiplications et les divisions où l'on a à opérer sur de grands nombres.

o y /pi

Dtt fractions ordinaires et de la divisibilité des nombres.

OaiGIMI BT PROraiÉTé rOXDàllENTALX DES PBAGTIONS.

La considération du reste 36 1 dans le dernier exemple donné par la division ( col. 8 ) , conduit aux fraefions. Car s'il s*agissait de partager le nombre Al 894 599 en 8 974 parties égales , le quotient 5 337 ne satisfait pas exactement k la question : il faut compléter ce quotient en y ajoutant une certaine partie d'unité que Ton représente par -^^t^ qui s'énonce trois cent soixante et an , huit mille neuf cent soixante-quatorzièmes. Le nombre 8974, qui indique en combien départies égaies l'uoilc a été divisée , s'appelle le dénominateur; 361, qui esprime combien l'on prend de ces parties égales, est le numérateur : le numérateur et le dénominateur sont les deoi termes de la fraction.

t'ne fraction ne change pu de valeur lorsque l'on mniliplie et que l'on divise à la fois ses deux termes par on mérae nombre. Hais lorsque l'on multiplie le numérateur ou que l'on divise le dénominateur par 2, 3, 4... la fraction devient 2, 3, 4 fois plus grande; et au contrsice, la fraction devient 2, 3, 4 fois plus petite lorsque

l'on divise le numérateur ou que Ton multiplie le dénominateur par 2, 3, 4.

Il est donc important, pour simplifier les fractions sans en changer la valeur , de chercher à diviser leurs termes par le plus grand nombre possible : et pour cela il faut connaître les caractères de divisibilité des nombres.

On appelle nombre premier ou facteur premier tout nombre qui n'est divisible exactement que par lui-même ou par l'unité. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc., sont des facteurs premiers. Eratosthène , savant géomètre qui florissait au commencement du second siècle avant Tèrc chrétienne, a indiqué le premier une méthode aussi simple qu'ingénieuse pour déterminer tous les nombres premiers. Comme il excluait les nombres composés, il donnait le nom de crible an tableau sur lequel restaient les nombres premiers. Cette méthode consiste à écrire la suite des nombres impairs (car tous les nombres pairs sont divisibles par 2), et à effacer, comme composés, tous les nombres que l'on pourra compter, dans celle suite, de 3 en 3, de 5 en 5, de 7. en 7, de 11 en 11, de 13 en 13, de 17 en 17, et ainsi de suite.

Deux nombres sont dits premiers entre eux lorsqu'ils n'ont d'autre diviseur commun que l'unité.

PLUS GRAND COIIUUN DIVISBUB.

Pour trouver le plus grand diviseur commun à deux nombres , on peut les décomposer en leurs facteurs premiers, ce qui est facile en essayant directement la division par les nombres que fournit le crible d'Eratosthène ; le nombre cherché est le produit de tous les fadeurs premiers communs aux deux nombres donnés , pris autant de fois que dans celui des deux nombres où ils entrent le moins. Ainsi , pour trouver le plus grand commun diviseur à 84 et â 360, on pose

84=2X2X3X7, 360=2X2X2X3X3X5 et le nombre cherché est 2X2X3 ou 12. La fraction At P®"' ^^^^ ^ réduire à la forme i^l^^ = ^ laquelle est alors irréductible , parce que le numérateur et lé dénominateur sont devenus premiers entre eux.

DIVISIBILITÉ DBS NOMBRES.

Les caractères de divisibilité d'un nombre par un autre sont très-utiles pour faciliter la recherche des facteurs simples des nombres et la réduction des fractions à leur plus simple expression. Les caractères suivants sont le plus ordinairement mis â profit.

Un nombre est divisible par 3 ou par 9 , lorsque la somme de ses chiffres considérés avec leur valeur abs<flue est elle-même divisible par 3 ou par 9.

Tout multiple de 5 est terminé par un 0 ou par un 5.

Tout nombre terminé vers la droite par 2 ^chiffres dont l'ensemble est divisible par 4 ou par 23 , est luimême divisible par les mêmes nombres.

Tout nombre dans lequel la dernière tranche de 3 chiffres vers la droite est divisible par 8 ou par 125 , est lui-même indivisible par 8 ou par 125.

Un nombre est divisible par 11, lorsque la différence enire la somme de ses chiffres de rang impair et la somme de ses chiffres de rang pair est nulle ou égale â un multiple de 11.

PLUS PBTIT UILTIPLB COMUL'V.

Une des applications les plus utiles des principes prtcédents consiste dans la détermination d'un nombre qui soit le plus petit possible et qui soit divisible à la fois par plusieurs autres. Ce nombre est égal an produit de tons les facteurs différents qui entrent dans les nombres donnés, chacun de ces facteurs étant pris autant de fois que dans celui des facteurs où il entre le pinji. • •

Ainsi le pht$ petit muUipU commun dei nombres 1,2, S, ^, 5, 6, 7, 8, 9, 10, esta 520.

U8 QUATRE IliCLKS OVitiiSS 80R LIS FRACTI0X8. Addition et tooitraelloo dm fraeUona.

Le calcul des fracUonl n'offre plus maintenant aucune difficulté. , * 4-

Pour combiner un nombre quelconque de fracUons par voie d'addition ou de soustraction , on commencera par les réduire au plus petit dénominateur commun ; puis on combinera ensemble les nouveaux numérateurs, conformément aux signes des opérations indiquées, et on donnera au résultat final le nouveau dénominateur.

Le plut petit dénominateur commun n'est autre que le plus petit multiple commun à tous les dénominateurs ; et le nouveau numérateur de chaque fraction s'obtient en multipliant l'ancien numérateur par les facteurs qui sont introduits dans laocien dénominateur pour former le nouveau.

Les calculs peuvent se disposer de la manière suivante : On demande le résultat des opérations indiquées dans Texpression

Décomposons' les dénominateurs de ces fractions en leurs facteurs premiers, nous aurons .3=3, 4=2X2, 6=2X3, 8=2X2X2.12=2X2X3 Le plus petit dénominateur commun , composé des facteurs 2 et 3 pris autant de fois que dans le dénominateur où ils entrent le plus, sera

2X2X2X3 = 2i Les nouveaux numérateurs seront :

Pour la première fraction. . 2X2X2X2 = 16

Pour la première 2X3X3 =1»

Pour la troisième 2X2X5 =20

iS

d'addition et de soustraction, on commence par réduire à une seule fracUon ces diverses expressions fracUonnaires. Exemple, soit 2 — ^ à multiplier par 7 + J. On pose 2 — j^= — ^ 4