I T X Jili
♦ ^ 3 — Il —
Somme.
Pour la quatrième 3X7.
Pour la cinquième 2X11.
Somme 43
Différence H
Le résultat final est donc ||.
S'il y avait des entiers joinU aux fractions , on opèrerait sur eux séparément ; et si la fraction à soustraire était plus grande que la fraction dont on veut soustraire , on emprunterait sur les entiers du nombre dont on veut soustraire assex d'unités pour qu'en converUssant ces unités en nombre fractionnaire la soustraction devînt possible. ,
Il est évident d'ailleurs que pour mettre un nombre entier sous forme fractionnaire, il suffit de le multiplier par le dénominateur que l'on veut prendre; le produit est le numérateur de la fraction. Ainsi 5 H- j est la
. 5XS , s »5 . ' '^
même chose que -3- -+-3 — 3 -+-7 — s*
Malt ipHcttion det fraction».
La seconde définition donnée pour la multiplication des nombres entiers est la seule qui convienne à la multiplication des fractions. Cette opéraUon se ramène à une seule et même règle , si on considère les entiers, sur lesquels on peut avoir à opérer, comme des fractions ayant l'unité pour dénominateur ; et la règle consiste en ce que le produit d'un nombre quelconque de fractions s obtient en multipliant les numérateurs entre eux. Ainsi j^ X 7 =: ^^ j =4 — ^ -fr- 4
1 xn — «i — ^
- is
4 ^ î * Xj
Lorsque l'on a des multiplications à opérer entre des quantités entières combinées avec des fractions par voie
Le résultat final s'exprime de U manière abrégée que voici: (2-i) (7-|-|) = »-h^
L'usage des parenthèses est indispensable pour que l'on ne confonde pas la multiplication de 2 — ^ par 7 -4-1 avec celle de \- par 7.
DivitioB de» fradioa».
La division des fractions, moyennant les préparation» préalables auxquelles nous venons de dire que les entiers doivent être soumis, n'offre pas plus de difficulté que la multiplication; car la division s'effectue en multipliant la fraction dividende par la fraction diviseur renversée; et on sait que l'on peut toujours s'arranger de manière à n'avoir à opérer que sur des fractions.
Ainsi r.7 = -l:.Y==i><T = J^ 9:A = |:fr = ^xu = ¥ = ^^ + ^ ■ : * = * X ' = H
§ 4. Dei fraetioni décimales.
NOTATION BT B&GLBS POKDSmNTALB».
On ttppeWe fractions décimales des fractions qui ont pour dénominateur l'unité suivie d'un ou de plusieurs
séros. 1. . 1
Ainsi X, Y«, HH «ont des fractions décimales. On peut étîodre à ces fracUons l'un des principes fondamentaux de la numération écrite et les écrire som forme entière en supprimant les dénominateurs, pourvu que la place des unités soit indiquée. Ains. le «ombre 17 -h h peut s'écrire 17,3 la virgule placée à la droite des unités séparant suffisamment les 3 dixièmes de U partie enUèrc. De même au lieu de 125-f-fôT, on écrira 125,27 ; au lieu de ||H. on écrira 2,957.
Lorsque la parUe entière vient à manquer on la reniplace par un léro ; on remplace aussi par des seros !« différents ordres qui pourraient manquer à droite de Is
""Tn'aura donc ^^=0,295; -,,V^ = 0,0038 ;
"Leî'règle. pour énoncer nn nombr. décimal icntel ponr éciSe «n nombre décimal énoncé M dédai«nl .mmédittement de celle* qui ont élc donnéee pour 1« nombre* enlier. et pour le. fraction. »'^<>'n"«»;
Il réiulte de la déBnilion et de la noUtioii même do nombre. décimaui , qn'on nen cbange pa. la valeur o. ajouUnt ou en relrancbant un nombre quelconque* .éro. à leur droiU ; et qu'au contraire on e» "«'^ on qu'on le. di,i« par 10, par 100 par 1 000, jj« que Ion avance .er. la droit, ou que I on recule «r. U «nche, dun, de deux, de troi. rang. , la .«guta^marque la place de. unité.. Le. règle, de. qnati» of««lion. fondamenUle. .ur le. nombre, decunaui » M^ «a,t anui, »n. difficulté, de celle, qui wnt relative.»' entier, et aux fraction.. .. j «^
Laddition et la »n.lraction ne ditfirenl pa« de. "^ me. opération, .ur le. nombre. enUer.. . , -,
U mulUplication .erfeclue abalraction faite de 1» «ironie; on ilépare enwiU .ur la droite du produit a«M de chiffre, décimaux qu'il , en a à 1. fin dan. le. 6^tenr.de ce produit.
Pour faire U dÏYÎfioii, ti le dividende renfenne noini de chiffres dècimenx qne le dirifleor, on ejonte à la droite de celni-là un nombre de léroa suffisant ; et sopprimant eosoite la virgule, on opère comme snr des nombres entiers. Si le dividende a pins de chiffres décimant qne le dif isem- on supprime encore la virgule , et sur la droite dn quotient on sépare un nombre de chiffres décimaux égal à la dilTérence entre les nombres de chiffres déci- Bsox du dividende et dn diviseur.
COXVDSIOX DIS FBACTIOin OacnfAIRES IN DiciUALIS.
La transformation des fractions ordinaires en décimales s'efTectne de la manière suivante , comme le montre rexMDpIe ci à cÀté.
Oo effectue d'abord , autant que possible , la division du numérateur 27 par le dénominateur 4; ce qui donne le quotient entier 6 , à droite duquel on place la virale. Ajoutant un séro à cdté du reste 3, on divise 30 par 4 ; d'où viennent au quotient 7 dixièmes et 2 de reste : divisant 20 (or 4, on a au quotient 5. Donc ^ = 6,75.
Eq ajoutant toujours ainsi des léros i droite des restes eoofécutifs, on pourra obtenir la valenr du quotient d'âne division ou d*une expression fractionnaire, sons forme décimale, avec autant d'approximation qu'on le foodra.
Trois cas peuvent se présenter dans la réduction d*nne frartioo ordinaire en décimales , lorsque l'on suppose la friction réduite à sa plus simple expression.
Si le dénominateur ne renferme pas d'autres facteurs qnr 2 et 5 , on pourra toujours exprimer la valenr de la Grsction par on nombre limité de chiffres décimaux.
Si le dénominateur ne renferme ni 2, ni 5, il n'existe ancnne fraction décimale qui puisse exprimer la valeur de U fraction donnée par un nombre limité de chiffres. La fnctioo décimale est alors périodique^ c'est-à-dire qu'elle le compose d'une série de chiffres qui se reproduisent périodiquement, à l'infini; et la période commence immédiatement après la virgule , auquel eu elle est dite »impU.
Eiemplea: |-=: 0,6666... La période est 6. -^^=0,315315315... La période est 315.
Enfin, lonque le dénominateur renferme, outre 2 ou &, des fraclenrs différents , la fraction décimale est enrare périodique ; mais la période ne commence plus imiDtdialenient après la vii^e, et Fexpresaion décimale prend alors le nom de périodique mule.
Exemfdea : JL = 0,2666... 6 est la période. 11 = 0,72222... 2 est la période.
co\(ERSioM DIS nictaihu lar fiacticxs ordixairbs.
La conversion des fractions décimales en fractions ordioairts n'offre aucune difficulté dans le cas où il n'y a pai de période. On a immédiatement 3,864 = 3 +i^^ôV
Dans le cas d'une période simple telle que 0,272727 00 a 0,272727 :=:|^ = -^; on a encore 0,816381638163... =||;4 = f^«^. De même on aurait 3,2727... z=34-|^=:3H-^.
Pour une fraction périodique mixte , telle que 0.1231717, on prendrait la différence 12194 entre 12317 et 123 , et on la diviserait par 99000. On aura do« 0,123171717 =^l|;=-S^«f.V
ORlCnn DIS PRACTIOVS DÉCIUALIS.
L'invention de ces fractions ^ qui paraît découler si ntlarellement de notre système de numération écrite , est MM récente. H. Libri l'attribue aux Vénitiens dans le
ARITHMÉTIQUE. -- ALGÈBRE
14* siècle ; mais il ne donna tacnne preuve i Tappui de son opinion. If. Biot regarde Neper comme l'inventeur de U notation actuelle de ces fractions , au commencement dn 17* siècle; il signale néanmoins la priorité apparente de Pitiscus , qui publia sa Trigononométrie dans ce système en 1612, tandis qne le Canon mirifieuê de Neper ne parut qu'en 1614. S te vin , célèbre ingénieur et mathématicien , né vers le milieu dn 16* siècle à Bruges, passe généralement pour l'inventeur du calcul décimal , qui fttt^connn d'abord sons le nom de la dixtÊU.
§ 5. De l'élévation aux puistanees et de t extraction de* racine*,
DéPiNITIOXS.
On appelle puiuance d'un nombre le produit de plusieurs facteurs égaux à ce nombre. Ainsi 3, 9, 27, 8] , 243 , sont la première , la seconde , la troisième , la quatrième, la cinquième puissance de 3, ou la puissance du premier , du second , du troisième degré , etc. , de 3. Les mêmes puissances de 2 sont 2, 4, 8, 16, 32.
On appelle racine le nombre qui , multiplié plusieurs fois par lui-même , reproduit une quantité donnée. Ainsi , 3 est la racine seconde de 9, la racine troisième de 27, la racine quatrième de 81 , la racine cinquième de 243, etc. , ou la racine du second degré de 9 , du troisième degré de 27, etc.
On appelle ordinairement carré la seconde et cube la troisième puissance ; racine carrée et racine cubique la racine seconde et la racine troisième d'une quantité.
L'élévation à une puissance quelconque n'offre d'autre difficulté que celle qui peut résulter de la longueur des opérations. Elle se fait d'après les principes donnés plus haut pour la multiplication des nombres entiers , fractionnaires ou décimaux.
Table de* cinq première* pui»*ance* de* neuf premier* nombre*.
Roelnot oo ImpaiMtae.
Cvréf 00 S*** poiuanc.
Cobei 00 3«« poUune.
\** poitMoe.
5** pollMDC.
NOTATION DBS PCISSANCES ET DBS RACINBS.
Les puissances des quantités s'indiquent en mettant à droite et un peu au-dessus de ces quantités renfermées entre parenthèses , s'il est nécessaire , un petit chiffre qui indique le degré de la puissance , on le nombre de facteurs égaux qui constituent cette puissance. Ainsi les expressions
907S V^)\ (1+1)' indiquent respectivement le carré de 307, le cube de 1^ et la sixième puissance de 1 -f--|- ou de -f.
Les racines sont indiquées par le signe radical ^/ , dans l'ouverture duquel on place le degré ou indice de la racine à extraire ; on supprime ordinairement le 2 quand il s'agit de racine carrée. Les expressions
représentent donc respectivement la racine carrée de 17, la racine cubique de {-J-, ^1 1% racine huitième de 24-hiVoiide^,'.
OBSERVATIONS GÉNiBALIS.
Nous ne pourrions , sans sortir des bornes qui nous sont imposées , entrer dans le détail des règles à suivre pour l'extraction des racines carréeti et cubiques. Les to-
gârithiiiefl et VAbapu , ou Cmi^pteur mniverul , foaniit> MDt on mofeo aoisi prompt que fiMÎle'pour opérer cet extrtctions , non* renvoyons aux détailf que nous donnons pins loin i ce snjet ^«oy. la GÉOMÉTRIE).
g 6. Du rapports, des proportions et des progressions.
aiPPOETS PAR DIPPéaiMCS BT PAK QU0TIB9IT.
Il y a deux manières de composer les quantités. On cherche , soit de combien l'une surpasse Tautre , ce qni donne le rapport ou la raison aritkânitique on par différence; soit combien Tune contient Tantre, ce qui donne le rapport ou la raison géométrique ou par quotient.
Il existe la plus grande analogie entre les résultats que l'on obtient par la considération de ces deux espèces de rapports : toutes les propriétés qui, pour le premier, com)'ortent des tidditions, de* soustractions, se changent, pour le second , en propriétés qui comportent des ntultiplications ou des divisions. S'agit-il pour le premier de multiplications et de divisions / on trouvera , pour le second , des élévations aux puissances et des extractions de racines.
Pour mieux faire ressortir ces résultats , sur lesquels est fondée l'admirable découverte des logarithmes , nous mettrons chacune des propriétés relatives aux rapports par différence , en regard de son analogue relative aui rapports par qnotienL
Dans tout rapport, la première des deux quantités que l'on considère porte le nom ^antécédent , et la seconde le nom de conséquent ; toutes deux sont If» termes du rapport
Lorsque deux rapports sont égaux , les quatre quantités qu'ils renferment constituent ce que l'on appelle une proportion.
PROPRI^tAs COUPARÉSS DKS ÉQriDIPP^RBX'CBS BT DBS ^DIQUOrnNTS.
La proportion est dite par différence ou aritkmi'\ par quotient on géométrique, tique, I
lorsqu'il s'agit d'un rapport de ce genre. On loi donne encore le nom d*équidifférence. | d'équiquotient.
Les qnatre termes d'une proportion par différence | quotient
s'écrivent les ans i la suite des autres, en séparant seulement par un point (.) j deux points (:)
chaque antécédent de son conséquent ; et par denx points (:) | qnatre points (::)
les deux rapports. On écrira donc : 7.2:11.6 éqoidifférence | 21 : 3 : : 1 4 : 2 éqoiqDotient qni revient à 7 — 2=11^6. 1 V = *2*-
Le premier et le dernier termes d'une proportion s'appellent les ejctréwus; le second et le troisième sont les wioffens.
Dans toute proportion par
différence 7. 2:11 . 6, la sowtme 7 H- 6 des extrêmes 7 et 0 , est égale i la soatme 2 + 11 des moyens 2 et 11.
quotient 21 : 3:: 14: 2, le produit 21 X 2 des extrêmes 21 et 2 est égal au produit 3X14 des moyens 3 et 14.
On obtient donc facilement un quelconque des quatre
termes d'une proportion par
différence, | quotient
lorsque Ton connaît les trois autres. 11 suffit pour cela
de faire
la joimiie des moyens i \e produit des moyens
si c'est on extrême qni manque, et de retrancher de cette 1 et de diviser ce produit par
l'extrême connu. On ferait la somme j le produit
des extrêmes et on en retrancherait | et on le diviserait par le moyen connu , si c'était l'antre moyen que l'on voulait déterminer.
Réciproquement, toutes les fois que quatre quantités
sont telles que la somme de deux d'entre I le produit de deux d'entre elles soit égale à la somme \ elles soit égal au produit de deux autres , ces quatre quantités forment une équidifférence | un équiquotient
dont les deux premières quantités occupent les moyens ou les extrêmes, et les deux autres les extrêmes ou les moyens. On peut donc faire subir i toute proportion
par différence | par quotient
tous les changements qui ne sont pu de nature à altérer
l'égalité entre
la somme des extrêmes et I le produit des extrêmes et
celle dès moyens. | celui des moyens.
Lorsque dans une proportion par différence ou par
quotient les deux moyens sont égaift , la proportion est
dite continue,
La valeur du terme moyen est dite moyenne arithmétique \ géométrique
entre celle des denx termes extrêmes, s'il s'agit d'une équidifférence. | d'un équiquotient
La moyenne arithmétique entre deux quantités est donc égale à leur somme divisée par 2.
Ainsi dans l'équidifférencc continue
Cette équidifférence
continue
La moyenne géométrique entre deux quantités est donc égale â la racine carrée de leur produit.
Ainsi dans l'éqniqnotient continu 5: 30: 30: 180 on a 30=V/ 5X1 80=^*00 Cet équiquotient continu
s'écrit ordinairement ainsi :
-r 9. 17. 25 Quand on a plusieurs équidifférences telles que 7. 2: 11. 6 3. 5: 10. 12 9. 15: 8. 14 On obtient encore une équidifférence en ajoutant toutes celles-ci terme à terme. Ainsi :
1 14-10-^-8. 6-t-12-hl4 ou 19.22:20.32
TT 5 : 30 : 180 Quand on a plusieurs éqniqnotients tels que 21 : 3:: 14: 3 11:22:: 4: 8 5:25:: 2: 10 On obtient encore un équiquotient en mtuUiplianl tous les précédents terme à terme. Ainsi :
14X4X2:2X8X10 ou]155:1650::112:160
DBS PR0GRB8SI0VS PAB DIPpéRBNCB BT V.\K QUOTIBNT.
On appelle progression
arithmétique ou par | géométrique ou par
différence \ quotient
une suite de termes tels que le rapport
par différence "f par quotient
de deux termes consécutifs quelconques soit constant.
Telle est la suite *
n, 19, 16, 13, 10... I 48, 24, 12, 6, etc.,
qui s'écrit ainsi :
ARITHMÉTIQUE. — ALGÈBRE
et que Ton énonce :
32 cet à 19 comme 1 9 eit à 16, comme 16 est i 13, comme 13 cet à 10, etc.
48 est à 24 comme 24 est à 12, comme 12 est à 6, comme 6 ett i 3, etc.
La progrenion précédente est décroissante et a pour raiêon
Au contraire la progression -ri . 4. 7. 10. 13... I -:r3 : 6 : 12: 24: 48 :
qui a pour raison
est croissante. Un terme quelconque d'une progression par
différence | quotient
est égal au premier terme
oii^tMiil^ ou diwUnné d'autant de fois la raison qu*il ]f a de termes avant celui que Ton considère , suivant qoe la progression eet croissante ou décroisaante.
multiplié par la raison élevée à une puissance, dont le degré est marqué par le^ nombre des termes qui précède celui que l'on considère.
Ainsi
13=23-3-f3, et 4=14-3,
La
6=48X(j)», et 6=3x2,
Le produit
des deui termes également distants des extrêmes est égale i la towime des ex- 1 égal an produit des extrêmes I trémes
24=48XA;,}2=48X(l)2
une progression par difléicnce. par quotient
