AU

OtLIQlKS.

L«i trois aies iaégaax.

Les trois aies égaax.

Deax axes égaox, on inégal.

Lci troia axes inégaax.

Le Cebe.

Le Prbme droit i bue

carrée.

Le Prisne droit à base

rectangalaire.

Le Rhomboèdre.

Le Priime rhomboïdal

oblique.

Le Prisme oblique non

Sfmétriqae.

Cherchons maintenant à apprécier les divers degrés de symétrie de ces six formes primitives , afin de suivre les dérivations qui en résultent, car la nature n'a permis i ces formes de se modifier qu'en suivant les lois de la symétrie.

On a appelé ybcM de même espèce , dans les polyèdres réguliers, les faces placées symétriquement par rapport aux axes ; arête» de même espèce , les arêtes qui séparent les faces de même espèce , faisant entre elles le même angle dièdre ; angle» de même espèce , les angles solides formés par la réunion d'angles plans égaux chacun k chacun. Les arêtes et angles de même espèce sont symétriquement placés relativement aux axes.

Cela posé, nous pouvons imaginer que l'on modifie une quelconque des formes primitives, l*' par une simple troncature ^ c*est4-dire par un plan qui coupe un angle ou une arête en déterminant une facette nouvelle ; 2" par un bUeau engendré par deux plans sécants , ou troncatures ; 3^ par un pointement , qui serait produit sur un angle par la réunion de trois plans sécants ou troncatures. La nature a fréquemment effectué de ces modifications , mais toujours en se conformant à cette loi , qui résume en quelque sorte tontes les règles de la cristallographie et que Ton appelle la loi de dérivation des cristaux :

Le» modijieation» qui ont lieu «tir certaine» partie» d'un eri»tal, affectent en mime temp» et de la même manière toute» le» partie» de même eepèce dan» le crietal , et elle» affectent d'une manière différente toute» le» partie» d'e»pèce différente.

Les conséquences de celte loi, dont l'énoncé est si simple, vont en effet nous permettre de faire dériver une multitude de cristaux ou polyèdres réguliers, symétriques, de ceux que nous avons pris pour point de départ. Ces conséquences sont :

1» les arêtes et les angles de même espèce , dans un cristal, sont tons modifiés par le même nombre de facettes, également inclinées aux plans homologues adjacents ; tandîis que ces facettes sont en nombre différents et inégalement inclinées aux plans adjacents pour les angles et arêtes d*espèce différente ;

S*> une facette placée sur une arête ou sur un angle solide, formée par des plans de même espèce , doit être également inclinée à ces plans, si elle est seule ; si elle est inégalement inclinée, elle entraine l'existence d'une ou de plusieurs autres facettes, qui rétablissent la symétrie ;

3° une facette placée sur une arête qui sépare des plans d'espèce différente sera inégalement inclinée sur ces plans.

Appliquons cette loi de dérivation successivement k chacun des solides primitifs , nous allons en déduire tous les solides géométriques , et l'on remarquera de suite que Toevrier qui voudrait exécuter la plupart de ces solides dérivés d'une manière exacte devrait suivre nécessairement la marche de la nature, c'est4-dire faire d'abord le solide-type et le modifier par des faces nouvelles, suivant les règles qui viennent d'être posées.

PRBUIRR SVSTKUK f.RISTALf.IX.

Dérivation» du cube. — Examinons le cube , qui est le

solide le plus régulier de tous ; toutes les faces y foot de même espèce, il y a huit angles solides, trièdres, d( même espèce , et douse arêtes de même espèce. Ce lolidf , ayant tous ses axes égaux et toutes ses diagonales êgiles. peut être considéré comme régulièrement coordooné par rapport i un point, de telle sorte qu'on peut lui insciin et lui circonscrire une sphère.

Supposons que l'on modifie un des angles dn csb par une troncature (qui devra être également incUoée au trois faces adjacentes). D'iprrs la loi de dérivation , les bail ugles doivent être modifiés a même temps et de la même minière. On crée donc boit fif«(tri nouvelles; si l'on prolonge (« nouvelles faces jusqu'à ce q»

les faces du cube aient dispin.

on aura prodoit on nonveav i»-

(Fig. r.)

lide qui sera Voctakdre régulier , ainsi que l'iodiqiK li fig. 1. Le solide intermédiaire qui portera à la fois det facettes appartenant an cube et à l'octaèdre sera le c^ octaèdre^ dans lequel, suivant le développement relslif de faces , le cube ou l'octaèdre pourront être dominants.

Appliquons aux arêtes le même procédé de modiSt»tion par une troncature également inclinée aux adjaceots; comme il y a donie arêtes . il ] aura génération de douie fsrete nouvelles. Si on les développe joiqu'à supprimer les faces du cobe, « aura produit un dodécaèdre rhmboidai régulier , c'est-à-dire-un solide dont les donse faces sont drt rhombcs , symétriquement coordonnés par rapport aux sxe« ds I iC^'i» a). cube primiUf (fig. 2). Le solide

I intermédiaire serait un cuho-dodécaèdre.

Au lieu de procéder pir de« facettes simples, procédoufar des biseaux sur les arêtes et dn pointements sur les angi«.

Un biseau sur les donie iHtes du cube , produira on solide à vingt-quatre faces triiBgulaires, que l'on désigne se»

la dénomination éLhtMixtr»dre (fig. 3).

Un pointement à trois ficft sur huit angles du cube, produira un solide à vingt-qa<i^ faces quadrilatères, qo'oo appelle trapizoèdre (fig. A),

Ces derniers solides sont régulièrement coordonnés *»

axes du cube , aussi bien qv les premiers dérivés, et Iw voit ainsi, qu'un cobe éUsi donné , on peut , par des cob- (Fig. 4). pores symétriquement comh»-

nées, en faire des solides tout à fait différenU en sppi' rence. C'est ainsi qu'a procédé la nature , qui »f présente des solides ayant pour forme jH-imilive ie »^ ou l'octaèdre, et ayant pour formes dérivées celles q* nous avons ensuite indiquées. ,

Quelques cristaux, d'autant plus remarquables qs* appartiennent à des subsUnces asses répandues, ^j^^ le fer sulfuré , le cobalt et le cuivre gris , la magnésie I»ratée , semblent échapper aux lois de symétrie qoe «*< venons d'indiquer. Ce sont les crietaux kémièdrfs , q* ^ rattachent cependant à la loi de dérivation , avec cri d.ffcrence , que la moitié seulement des faces de c«rUins cristaux se sont développées.

mi\I!:ralogie.

Ainsi dans ^ roctaèdre, il h arrive que la / moitié des faces a man- ^ * >>r/^, que, de sorte

^yil/^-/^.) que les faces

M: y'J^" ' \ •« dévelop-

\irr^^ jj pant seule-

{Via. a). ment de deux

eu deux, produisent le tétraèdre. On voit par les fig. 5 et 6

qoe le tétraèdre peut bien s'inscrire dans le cube , mais

qu'il n'en dérive pas régnlièremenL

L'hexatélraèdre présente aussi un cas d'hémiédrie. Si

l'on suppose qu'une \ seule des \ deux facet- \ '7 tes du biseau générateur se

(-^- .ta^

tes du cube , on produit un dodécaèdre pentagonal sytnétri'qvf, ainsi que l'indiquent les deux 6g. 7 et 8.

Dans ce dodécaèdre, il y a deux espèces d'angles solides, douze angles trièdres irréguliers et huit angles réguliers, qui occupent les positions du cube inscrit Si l'on fait passer des troncatures par les huit angles réguliers, les facettes produites sont huit triangles équilatéraux , et les anciennes facettes pentagooalcs sont transformées en douze triangles isocèles. Le solide k vingt faces triangulaires qui dérive ainsi, est Vicosaèdre (fig. 9). Diuxièug sYSTàui CRisT-iLLiN. Axcs rectangulaires ; deux égaux, un inégal : prisme droit à bote carrée.

Ce solide peut cire considéré comme un cube dont l'axe vertical se serait allongé (lîg. 10). Dès lors les divers éléments du cristal sont : 1 o huit angles de même espèce ; 2» huit arêtes des bases, ou arêtes horizontales; 3 ' quatre arêtes du prisme ou arêtes verticales. Le système peut donc donneV lieu à trois genres de modifications qui sont extrêmement simples.

Ainsi les huit angles ne peuvent être mo- <lifiéi qu'à la fois, et par des plans symétriquement disposés autour de l'axe vertical. Si la modification est incomplète, il en résulte un prisme carré pyramide, dont •« cristal (fig. 1 1) qui appartient au zircon offre l'exemple. Si les faces de cette pyramide sont supposées prolongées, il en résulte au octaèdre à bau carrée.

(Fig. »).

(l'ig. 10).

...rth-^i^

(Fig. H).

(KJg. 12).

Les modifications sur la arêtes des bases, conduiraient

également i l'octaèdre à base carrée, ainsi que le fait voir la fig. 12 , qui représente cet octaèdre inscrit et circonscrit au prisme. Dans ce cas , les facettes génératrices pouvant avoir diverses inclinaisons , il en résulterait qu'on pourrait avoir des octaèdres en nombre presque infini , depuis les pins aigus jusqu'aux plus obtus : l'observation a démontré ici, que la nature avait limité le nombre des octaèdres k base carrée et que la hauteur de l'axe étant prise pour unité, les axes verticaux des octaèdres , ou autrement les sinus des angles de leurs faces avec le carré qui nous sert de base , étaient représentés par des rapports simples, 1, 2, 3, 4 ou 1, 1/2, 1/3, 1/4. Ce qu'on est convenu d'appeler la hauteur du prisme n'est, par conséquent, que le sinus de l'angle dont tous les autres sont multiples ou sous- multiples.

Les modifications sur les arêtes du prisme ont à peine besoin d*êtr<( définies , tant elles sont simples. Une simple facette modificative conduira à un prisme k huit pans, parce qu'elle en entraîne trois autres ; et si on les suppose dilatées de manière à supprimer les faces primitives, on obtiendrait encore un prisme carré, parce qu'elles sont également inclinées aux plans adjacents. Par un biseau on peut obtenir des prismes a huit et douze pans.

Troisikub svsTÈiiB CRISTALLIN. Trois axcs rectangulaires inégaux , prisme droit à base rectangulaire.

Ce cristal est évidemment composé 1^ de huit angles semblables ; 2^ de trois espèces d'arêtes , qui sont : quatre arêtes courtes des bases , quatre longues , et les quatre arêtes verticales du prisme.

Les modifications sur les arêtes du prisme ont ici une propriété importante ; car , si on les suppose parallèles aux lignes qui joindraient les milieux des arêtes de la base, c'est-à-dire aux diagonales du rectangle , on détermine évidemment un prisme à base rhombe, les axes du rectangle qui sert de base au solide primitif deviennent alors les diagonales du rhombe. Le» prismes droits rhombotdaux, qui sont des cristaux assez fréquents , sont ainsi dérivés du troisième système. En examinant les propriétés du solide primitif, on verra en effet qu'on peut faire dériver d'un même type plusieurs prismes rhomboïdanx. On pourra aussi obtenir des prismes à huit et douze pans.

Les modifications sur les arêtes des bases ont ici pour caractère d'être simplement multiples de deux. Elles donnent lieu , soit dans un sens , soit dans l'autre , à des sommets dièdres, ainsi qa'il est indiqué dans la fig. 13.

Enfin les modificatior.s sur les angles conduiront à des octaèdres droits à base rectangulaire ou à base rhombe. Ces modifications se trouvent souvent réunies à celles des arêtes du prisme, ainsi qu'il est indiqué dans U cristal, fig. 14, qui se rapporte à la topaze; c'est un prisme à huit pans dérivé d'un prisme rhomboïdal modifié par deux biseaux, et terminé par les pyramides de l'octaèdre.

Les faces primitives dans ce cristal modifié sont marquées \\ M.