S- II

Problèmes.

4 - Premier i problème. Etant données les projections cotées de trois points, trouver l’échelle de pente du plan passant par ces trois points.

Soient A, B, C, pl. i re , fig. 3 ,* ces projections, cotées 1 5 , 18, 19; AB sera la projection de la ligne passant par les points projetées en A et B, BC celle de la ligne qui joint les points projetés en B et £.

Après avoir gradué (n* 1) chacune de ces projections, on mène une ligne MN passant par les points M et N , projections de deux points d'égale hauteur. Cette ligne est la projection d’une hori-

zontale du plan , la droite PRQ, qui lui est perpendiculaire, détermine la direction de l’échelle du plan. La hauteur du point projeté en R est connue , la cote du point S, intersection de la perpendiculaire menée par le point C et de la droite PRQ, est déterminée aussi. On peut donc coter cette droite et obtenir l’échelle de peute.

5. Deuxième problème. Etant données, fig. 4* les échelles de pente AA' et BB' de deux plans, trouver la projection de l’intersection de ces plans.

Prenons, sur la première échelle, deux points M et M', dont les cotes sont déterminées. Imaginons , par ces points , deux perpendiculaires MP, M' P* à l’échelle de pente, ces lignes seront les projections d’horizontales du plan. Cherchons, sur la seconde échelle, deux points N et N', ayant les mêmes cotes que M et M'. Les perpendiculaires NR et N' R', àla droite BB', sont les projections d’horizontales dont la hauteur est la même que celle des horizontales projetées en PM et P' M'. Donc les points Q et Q', intersections die PM et de NR, de P' M' et de N' R', appartiendront à la projection de l’intersection des deux plans. Donc la ligne QQ' est cette projection.

On fait un fréquent usage de la solution qui précède , pour déterminer les projections des arêtes, intersections des talus.

Si les échelles de pente étaient parallèles, les plans se couperaient suivant une horizontale , dont il

suffirait de déterminer un point; à cet effet, on concevrait un troisième plan dont l’échelle de pente né fut pas parallèle à celles des premiers; on construirait les projections de ses intersections avec chacun de ceux-ci ; et le point de rencontre de ces projections serait le point cherché.

Si l’un des plans était vertical, sa trace serait la projection de l’intersection. Ce cas a lieu dans la construction des profils. Voy. sixième problème.

6. Troisième problème. £tant donnée l’échelle de pente d’un plan , trouver la projection de l’intersection de ce plan , et d’une surface dont la forme est déterminée par les projections cotées de ses courbes horizontales.

Soient AB, fig. 5, l’échelle de pente du plan, XX/ X", YY' Y", ZZ' Z", etc., les projections cotées des courbes horizontales de la surface. On cherche, sur l’échelle de pente, un point dont la cote est la même que celle de l’une des courbes XX' X*, pl. i re ; par exemple, soit P ce point, la perpendiculaire PR, à l’échelle de pente, sera la projection de l’horizontale du plan , menée par le point projeté en P. Or, cette horizontale est comprise dans le même plan que la courbe projetée en XX' X"; donc les poiuts S et T, intersections de la droite PR, et de la courbe XX' X", appartiendront à la projection de la section de la surface par le plan. On peut déterminer ainsi autant de points de cette projection qu’il y a de courbes tracées. •

Quatrième problème.TroiiserYà projection <l'u point «l’intersection d’un plan et d’une ligne droite.

Pour résoudre cette question, on considère la projection de la droite donnée comme l’échelle de pente ordinaire ou oblique d’un plan, et l’on cherche la projection de l’intersection de ce plan et du plan donné. Le point où cette projection rencontre celle de la droite donnée, est le point demandé.

8. Cinquième problème. Trouver la projection de l’horizontale d’un plan assujetti à passer par une droite donnée, et à faire, avec le plan horizontal, un angle déterminé par sa tangente ou par tout autre élément.

On peut mener par une droite deux plans qui fassent le même angle avec le plan horizontal.

Soit AB, pl. i re , fig. 6, la projection cotée de la droite; soit {, le rayon pris pour unité, la tangente de l’angle que les plans cherchésdoivent faire avec le plan horizontal , ou le rapport de la hauteur à la base dans les triangles rectangles qui mesurent l’angle des plans.

On prend sur AB un point quelconque; par exemple, le point M, dont la cote est ao, et on le considère comme le sommet d’un cône à base circulaire, dont les génératrices font, avec le plan horizontal , l’angle donné. Il est évident que les plans cherchés doivent être tangens à ce cône, et que leurs sections, par un plan horizontal, sont des tangentes à l’intersection du même plan

horizontal et de la surface conique. Or, le rapport de la hauteur à la base, daus le triangle rectangle qui mesure l’angle donné, est égal à{. Si donc, du point M , comme centre, et avec une ouverture de’compas, MR, égale à deux mètres pris sur l'échelle du plan , on décrit un cercle; ce cercle représentera la projection de la base du cône sur un plan horizontal inférieur de trois mètres, au point projeté en M. Cela posé , si, par le point S, pris sur AB, qui, ayant la cote 33, est la projection du point où la droite donnée rencontre le plan de cette base , on mène au cercle décrit les tangentes ST, ST'; ces tangentes seront les projections des horizontales des plans demandés.

Si l'angle du plan donné avec le plan horizontal, devait être moindre que celui que fait la droite donnée avec ce dernier plan, le problème n'aurait pas de solution. Le point par lequel on devrait mener la projection de l’horizontale se trouverait dans l’intérieur du cercle. Dans le cas où l'inclinaison du plan serait la même que c.elle de la droite, le point S appartiendrait à la circonférence du cercle, et la droite donnée serait la ligne même de plus grande pente ; par conséquent, la perpendiculaire à cette droite serait la projection de l’horizontale.

9. Sixième problème. Construire la section du terrain par un plan vertical dont la trace est donnée. ■ ' - ■

Soient 6, 7 , S, etc. , pl. i r *-, fig 7, les cotes des courbes qui déterminent la surface du terrain ; et AB la trace du plan vertical sur le plan général de comparaison. Supposons le plan rabattu autour de cette trace considérée comme charnière. Par les points P , P 7 , P", intersections tle AB, et des projections des courbes horizontales, imaginons les perpendiculaires PR, P' R', etc.; sur ces perpendiculaires portons les cotes 6, 7, 8, etc., des courbes horizontales correspondantes , de P en M , de P' en M 7 , etc. ; la ligne qui joindra les points M, M/, etc., sera l’intersection cherchée.

Si le plan vertical avait pour trace nne droite, telle que AB 7 son intersection avec chaque zone du terrain comprise entre deux courbes horizontalesconsécutivesneserait plus une ligne droite: il faudrait en déterminer plusieurs points au moyen de leurs cotes. Voyez n° 3 .

On a représenté, sur la même figure, la construction de l’intersection du plan vertical , dont AB est la trace, avec un plan dont l’échelle de pente est donnée. Cette construction consiste à prolonger les projections de deux horizontales quelconques de ce dernier, jusqu’à leur rencontre avec la trace du premier, à élever par les points de rencontre des perpendiculaires à la trace et à porter sur ces perpendiculaires les cotes des horizontales.

Observation. Comme les verticales qui donnent

le relief de la fortification sont très-petites , relativement aux dimensions de la projection horizontale des ouvrages, et surtout à celles des courbes qui déterminent la forme du terrain, elles ne seraient pas exprimées avec une exactitude suffisante à l'échelle adoptée pour la projection horizontale. Aussi se sert-on fréquemment de deux échelles, lorsque l’on rabat les points verticaux. Il ne peut en résulter d’erreur, puisque ni les projections horizontales des points projetés eu P, P', P", etc,, ni leurs cotes verticales, ne se trouvent changées (i).

10 . Septième problème. Une certaine étendue de terrain étant représentée par des courbes horizontales, mener, par une droite donnée , un plan qui laisse au-dessous de lui toute la surface du terrain , et qui fasse le plus petit angle possible avec l’horizon, ,

1 er cas. Lorsque la droite donnée est inclinée. Soit AB, pl. i re , fig. 8, la projection horizontale cotée d’une droite, telle que le point projeté en B, est plusélevé que celui projeté en A.

Supposons que les courbes XX' X", YY' Y", sont les projections de deux sections de la surface du terrain par deux plans horizontaux, dont

(i) Au reste, il est facile de voir que si l’on a pn ~ n fois pm , p' n' — n fois p' m', fig. 7 bis, pl. i r ®, on aura aussi In' zzz n fois s m', et, par conséquent , p 11 n 11 ” n fois p 11 m" ; ce qui lève toute difficulté.

Diqitize

la distance au plan général de comparaison est déterminée. D’après ce qui a été dit précédemment (n° 1), il sera facile de trouver les'projections des points où chacun des plans coupe la droite donnée..

Soient M et N ces deux projections. Par le point projeté en M, j’imagine une tangente à la courbe projetée en XX 7 X"; cette tangente aura pour projection la droite MR. J’imagine de même, par le point projeté en N, une tangente à la courbe projetée enYY 7 Y"; soit NS cette tangente. Pour simplifier la question, je suppose que, par chacun des deux points dont M et N sont les projections, on ne peut mener qu’une tangente à la courbe horizontale qui a la même cote que lui.

Le plan passant par la droite donnée et par une des tangentes, celle qui se projette en MR, par exemple, laisse au'dessous de lui tous les points de la courbe correspondante. En effet, l’échelle de pente de ce plan est une perpendiculaire PQ à la projection horizontale de la tangente. Or, il résulte, de ce que le point projeté en R est plus élevé que le point projeté en A , que les cotes (le l’échelle diminuent de P en Q, et que, par conséquent, le plan supposé laisse au-dessous de lui tous les points de la courbe projetée en XX 7 X". Cela aurait lieu à fortiori pour tout plan contenant , outre la droite projetée en AB, une horizontale qui passerait par le point projeté en M, et dont la projection MV

ferait, avec AB, un angle plu» petit que AMR.

Le même raisonnement pourrait s’appliquer à la détermiuation d’un plan au-dessous duquel se trouveraient tous les points de la courbe projetée en YY'Y".

Or, le plan que détermine la condition de comprendre les lignes projetées en AB et en MR, coupe celui de la courbe horizontale projetée en YY 7 Y", suivant une ligne ayant pour projection la droite HT parallèle à MR. Si , donc, l’angle AMR est plus petit que l’angle ANS, le premier plan laisse au-dessous de lui tous les points des courbes projetées en XX' X", YY 7 Y".

Le nombre des sections horizontales étant plus considérable, on démontrerait de même que le plan assujetti à passer par la ligne projetée en AB, et par celle de toutes les tangentes horizontales dont la projection fait, avec AB, le plus petit angle possible ( du côté opposé à celui vers lequel la droite prolongée rencontre le plan général de comparaison), passe au-dessus de toutes les sections horizontales, et par conséquent, de la surface dont ces sections déterminent la forme.

Ce plan satisfera, en outre, à là condition de faire , avec l’horizon , le plus petit angle possible. Soit MR , parmi les projections des tangentes, celle qui fait le plus petit angle avec AB, il est facile de voir que le plan mené par cette ligne et par la droite donnée fait, avec le plan horizon-

tal, le plus petit angle possible. En effet, supposons que l’on fasse passer, par cette dernière droite, un plan faisant un angle moindre, 1^ projection de l’horizontale menée dans ce plan par le point projeté en M, serait une ligne MU, telle que l’angle AMU , serait plus grand que l’angle AMR; donc l’horizontale supposée couperait la courbe qui se projette en XX' X" ; donc ,1e plan aurait, au-dessus de lui, tous les points de cette courbe projetés suivant l’arc 'LL' pl. i re .

i l. Le plan qui*6atisfait aux conditions énoncées (n° 10 ), est désigné en fortification sous le nom de plan de site. On appelle charnière ou ligne de site, la ligne projetée en AU; point dominant , le point de contact de la tangente horizontale dont la projection fait le plus petit angle avec AB. On indique que l’angle se mesure du côté opposé à celui vers lequel la charnière rencontre le plan général de comparaison, en disant qu’il est pris du côté où cette charnière penche. 11 ne faut pas confondre le point dominant avec le point culminant : celui-ci est le point le plus élevé du terrain ; néanmoins c’est du point dominant que l’on plongerait le plus immédiatement dans l’ouvrage.

Si le terrain était limité d’un côté par un plan vertical ayant pour trace lai ligne CC\ telle qu'on ne put mener, par la projection du point où la ligne de site coupe le plan de l’une des courbes horizontales, de tangente à la projec-

lion de cette courbe, il faudrait substituer à la tangente celle des sécantes dont la projection ferait le plus petit angle avec la droite, suivant laquelle se projette la ligne de site.

Si la droite donnée était très-peu inclinée, il faudrait prolonger extrêmement sa projection pour trouver les points par lesquels on doit mener les tangentes aux projections des courbes horizontales; cette opération serait peu exécutable. Les autres solutions qu’on pourrait indiquer étant longues, on essaiera différentes horizontales, jusqu’à ce que l’on en trouve une qui satisfasse à la question.

n. II e cas. La charnière supposée horizontale. Soit AB, pl. i re , fig. 9, sa projection, qui a pour cote 9. Soient 6, 7, 8, 9, les cotes des courbes qui donnent la figure du terrain. Les plans de ces courbes couperont le plan de site cherché suivant des horizontales parallèles à AB , parmi lesquelles il y en aura une qui sera tangente à l’une des courbes. Soient donc menées les droites RR', PP 7 , NN', MM', tangentes aux projections descourbes, et parallèles à AB. Il s’agira de trouver parmi ces droites celle qui détermine le plan de site.

A cet effet, on conçoit un plan vertical perpendiculaire à la charnière. Soit CD la trace de ce plan qui rencontre aux points x,y, s , z, les droites RR', PP', NN', MM' , qu’on peut aussi considérer comme les projections des arêtes

d'un prisme dont les faces enveloppent le terrain. On peut facilement construire (n° 9) la ligne brisée XYSZ, .intersection du plan vertical et de la surface de ce prisme. Par le point V, qui est celui où la charnière rencontre ce plan, ou mene la droite VT qui passe par le point Y de la section et laisse tous tes autres au-dessous d’elle. Le point Y fait connaître que la droite PP' est la projectipn de la tangente qui, avec AB, détermine le plan de site.

ia bis. On peut aussi concevoir par le point projeté en D une droite quelconque , et chercher la projection de l’horizontale d’un plan passant par cette droite et par celui des points projetés en x, y, s, z qui est le point dominant. Car, ce point , évidemment, appartiendra à celle des tangentes aux courbes horizontales, qui détermine le plan de site (1). Soit DE la projection de cette droite, 6/, g / les projections des points

où elle est coupée par les plans des courbes du terrain. On joindra ces points avec ceux x,y,s,z; et la droite y, faisant le plus petit angle avec DE, le point sera celui cherché. (n g 10.)

Dans la plupart «les cas semblables au précédent, quelques tâtonnemens faits avec le compas pour graduer la ligne DC comme échelle de pente, en partaut de l’un des points x , y, s, z ,

( 1 ) Cette solution élégante est «tue à M. le capitaine du géuie Noizet. ( Mémorial de L'Officier du génie, n° 6 , pag. 8 t.)

suffiront pour faire connaître celui qui est la projection du poi rit dominant. On serait conduit de suite ici à essayer le point projeté en y, où se fait un changement brusque dans la pente, qui devient plus douce.

i 3 . Huitième et dernier problème. La surface d’une certaine étendue de terrain étant représentée par des courbes horizontales, mener, par un point donné, un plan qui laisse au-dessous de lui toute cette surface, et qui fasse, avec 1 horizon le plus petit angle possible.

Pour résoudre cette question, on conçoit, par le point donné, une surface conique qui enveloppe la surface du terrain dans les limites fixées, et parmi les plans tangens à cette surface , on prend pour plan de site celui qui fait le plus petit angle avec l'horizon ou qui s’élève le moins audessus du terrain sur lequel doivent être établis les retranchemens. Mais comme l’on ne détermine qu’un petit nombre de points de cuntact de la surface conique avec le terrain , la question revient à considérer un angle solide qui a son sommet au point donné, et dont les arêtes touchent la surface du terrain en la laissant toute entière au-dessous d’elles. Ces arêtes doivent être assez rapprochées pour que les plans qu’elles déterminent deux à deux ne coupent pas le terrain clans l’angle plan qu’elles comprennent.

Soit A, pl, i re , fig. 10, la projection du point donné, 7 sa cote de hauteur, AX, AM, AN, AP, AY,

les projections des arêtes de l’angle solide. AX , et AY sont les projections des arêtes extrêmes qu'il importe toujours de considérer. On peut déterminer les cotes des arêtes de deux manières: savoir, en rabattant les plans verticaux qui les contiennent et les sections du terrain par ces plans (n° 12), ou en employant une droite auxiliaire passant par le point projeté en A (n° 1 a bis). ' On a appliqué la première solution à la recherche des points dominans qui déterminent les arêtes projetées suivant AIN et AP; on voit que ces points sont situés pour AN sur la courbe 3 , et pour AP sur la courbe 1. On a fait usage de la seconde pour avoir les points dominans ou de contact des arêtes projetées suivant AX , AM et AY.

Cela posé , pour trouver les deux arêtes par lesquelles doit passer le plan de site, on construira la section de l’angle solide par un plan vertical ou par un plan horizontal. Le plan qu’on emploie est seulemeut assujéti â la condition de ne pas passer par le point douné , et de couper toutes les faces de l’angle solide.

Soit BC la trace d’un plan vertical, laquelle coupe aux points x, m, n,p,y les projections des arêtes. Puisque ces projections sont cotées, il sera facile de trouver les cotes des points x, m, n,p,y, et, par suite, de construire la section de Fangle solide, rabattue autour de BC considérée comme charnière à la cote 7 ; la fig. 10 représente cetle construction : x 1 m' n' p 1 est la section rabat-

tue. On peut s'assurer par les prolongemens de x' m/, de y' p /, et d'une droite passant par les points m', p 1 , que trois plans satisferaient aux conditions d’être tangens à la surface du terrain, et l’on voit que le plan passant par m', p \ ou par les arêtes dont AM et AP sont les projections, est celui qui donnerait le moindre relief.

La considération d’un plan horizontal , plus conforme à l’esprit de la méthode des projections adoptée dans le défilement, conduit d’une manière encore plus prompte au même résultat.

Supposons que ce plan ( 1 ) ait la cote 3. On cherchera les points a:", m", n", p", y " qui ont cette cote sur les droites AX, AM, AN, AP, AY; on joindra ces points, et on aura la ligne brisée x" m n n" p" projection de l’intersection des faces de l’angle solide et du plan de la courbe 3. L’horizontale projetée suivant •r" m", qui , prolongée, laisse en avant d’elle toutes les autres, projetées suivant m" n", n" p ", p" y ", et ne coupe pas la courbe 3, détermine avec le point A un plan tangent au terrain. On peut en dire autant des horizontales projetées suivant m" p", p" y". Mais au moyen de perpendiculaires abaissées du point A sur ces droites, on verra que celle m" p" est la plus éloignée de ce point , et par conséquent est la projection de l’horizontale du plan cherché.

h ) Cette solutions été donnée par M. le capitaine du génie Koiiet, dans le cours qu'il fait à l’École de Met*.