part qui revient an Jo
— 4,H — 'i— au tr<
— 6 — — auxc(
46 prix (Fan billet de lotei
La perte dcchaque joueur ii lement s'ëlive à plus de aa j Nous n'ayons pas pris en con que l'on paie encore extraordi 2 florins pour chacun des 25.
classicaux qu'on achète pf ce qui ajoute 5o,ooo florins ' — «♦ ri«>A rollecteurs
FOPULAIBES. 417
it assimiler le billet de la loterie à e marchandise qui amait une yale|ur trinsèque de 35,86 florins , et que •n vendrait 46 florins, et 48 en détail.
Questions»
Quel est l'ayantage du banquier au Cl des loteries ?
Qu'est-ce que la loterie génoise ?
Qu'est^e que l'extrait simple ?
Combien perd-on par cent en jouant extrait simple ?
Donnez un exemple des pertes qu'ërooye un individu peu fortuné , qui lue sur l'extrait simple ?
C^'est-ce que l'extrait déterminé ?
t-ce que l'ambe?
t-ce que Fambe déterminé ?
Faites sentir le désavantage c< rable du jotteur qui met sur u terne ?
Quelle est la perte sur loo q le joueur en mettant sur un extr ambe , un terne , etc.
Pourquoi le bënëfice du trësc plus considérable sur lesquater sur lés extraits ou les ambes?
Le gouvernement peut-il sur le bénéfice des loteries ?
Quel est le bénéfice moy loterie de Paris ?
POPULAIAES. 4i9
est le bënéfice du trésor?
i est la part qui revient aux et comment se trouve-t-elle
3 est la vëritable valeur du bil-
'on paie 46 florins ?
lent faut-il concevoir que les
s, valeur du billet, se trouvent
1 entre le joueur, le trésor et
îcteurs?
ien le joueur perd-il sur loo ?
lent faut-il envisager la posi-
joueur ?
Du calcul de laproï ne connaît pas le n Japorables.
Si 0U8 avons toujour, qui procède, qu'on toutes les chances fa^i mens dont nous chei bilités ainsi que les < blés. Nous allons noi oii ces circonstance:
POPULAIBES. Ul
apposons qu'une urne renferme t boules , et qu'on ignore leur cou- '. On extrait une de ces boules m remet ensuite pour procéder à second tirage ; mais on amène une mde fois une boule blanche et Ton lande quelle est la couleur des les renfermées dans l'urne. On ne t faire ici que deux hvpoihèses : ou ieux boules sont blanches ou l'une .ement est blanche , l'autre étant le couleur quelconque , rouge par nple. On sent que ces deux hypoies ne sont que probables , et l'on lande de déterminer leurs probabi- > relatives. La théorie indique qu'il : opérer de la manière suivante. On ;ule la probabilité de l'évjénement
que Ton peui. .^
queFon obtient sontpropor
probabilités de ces hypoth
dans liÊtte premUxe hjp
deux boules étant blanchei
titude qu*on prendra à cli
une boule blanche, le nom
«st donc I. Dans la sec
thèse , l'une des deux 1
blanche , l'on a pour prc
sortie ~ et pour proba)
sorties successives ^ ;
obtient donc les non
* -♦ la nmhahîlît
POPULAIBES. n3
probabilités de ces deux hypothèses; consëquemment la probabilité de l'hypothëse de deux boules blanches est à la probabilité de l'hypothèse d'une seule boule blanche , comme i est è -
OU comme 4 est à i.
On ënonce le principe précédent en disant que les probabilités des hypothè' ses ( ou des causes des és^énemens ) sont proportionnelles aux probabilités que donnent ces hypothèses pour les éîféne* mens obsen^és»
En soutenant dans un pari la préfère hypothèse , on doit se considérer comme ayant pour soi 4 chances sur 5; en d'autres termes, les probabilités des deux hypothèses sont r* et -•
Supposons maintenant qu^l'on de-
prendre encore ut un troisième tirag dérer lés deux hyp demment comme c desquelles on doit Manche ; le problè] aux brobabilites co lera ainsi qu'il suit, première hypothès< multiplier par la f nement dans cette '.
avons ici la certitud blanche , ainsi il far
oïl — . T.n rkV*rkKnlxn:4..
bypothèse ; le produit de ces nombres îst-^ • La probabilité de prendre tine
Toisième fois une boule blanche sera
lonc T plus — ou — •
On réduit ce qui précède au principe
iuivant : Icuprobabilitéd'un nouuel eW-
tement simple s'obtient en calculant j
Vitrés les évéïemens passés , les prO'
Hihilités des diverses hypothèses possi*
*les et faisant la somme des produits
le ces probabilités par celles de Vévéne^
nent ^ prises dans chaque hypothèse.
Questions*,
Quel est l'objet de cette leçon ?
G)mment calcule-t-on les probabilités
les causes des événemens ?
G)mment calcule-t-on h d'un nouvel ëvënement d'à nemens passes ?
Quelle est la règle gënâ
fOPULAlHES. iti
Xn« LEÇON.
ul de la probabilité ^ quand le ne des chances est inconnu.
apposons dans ce qui va suivre ne connaît ni le nombre des favorables à un événement, ni re total des chances ; on con* ement les résultats de plusieurs ices , et l'on veut calculer par yen la probabilité de Tévéneja solution de cette question ssante pour toutes les sciences ration, se rattache à des calculs
Ij
GommeDçons par examiD un événement est arrive d nombre quelconque de fou indique que la probabilité ment se reproduira encore ponte , est égale au nombi de Punitéf divisé par le m augmenté de deux unités •
Exemples. On a décou présent 1 1 planètes quitou dans le même sens autoi on demande quelle est 1 que si l'on découvrait
POPULAIBES. 429
mëment au principe énoncé précédemment, diviser ii pins i, par ii plus a , et Ton aura pour la probabilité demandée 'JTm
On demande quelle est la probabilité tpe le soleil reparaîtra demain sur llioïizon ? Si nous ne tenons compte que du lunnbre de fois que nous avons vu le phénomène se réproduire successivement , en faisant abstraction des autres motifs que nous avons de croire à son letonr, nous calculerons de la manière nûvante : Au i*' janvier 1827 , on avait compté 583i ans, ou 2,128,31 5 retours successifs du soleil depuis la création , que nous ferons remonter à 4oo4 ans avant l'ère chrétienne; la probabilité fnn nouveau retour du soleil sur Pho*
[ contre i que le phénomè
fectivement lieu.
On a été dans le cas assertions d'une mêmep en a successivement i tesse ; on demande que VSiité qu'une ai'*"" assi lement vraie? Il faudr aa et la probabilité |1. Ainsi a y a a, à qu'une nouvelle asseï cette même personne s les assertions prëcëdei
POPULAIRES. <3f*
moins fartes, de croire au retour de cetëvénement. On sent qu*il existe une <»nse qui facilite sa reproduction ; or, la thécMrie offire un moyen trës-simple de calculer la probabilité que cette cause existe effectivement. Isa probabilité est vue fraction qui a pour dénominateur ie nombre % multiplié autant de fois par lui-même que Vés^énement a été observé de fois consécutives ; et , pour numérateur , ce même produit moins i •
Ex« Quelle est la probabilité qu'il existe pour les planètes, une plus grande facilité de se mouvoir autour du soleil dans une direction plutôt que dans une autre opposée ? On a observé II planètes qui se meuvent toutes dans le même sens , la probabilité d'une plus
probabiUtë de Vëvëner ment observé est supë La probabilité qu'il e:
des retours përiodiqueJ l'horizon est une fractio tellement de l'unité , qu sidérer comme une cert bre qu'on aurait à par renfermerait plus de chiffres et ne saurait être langage ordinaire*
On peut aussi calcuL qu'un événement obse
P0FULA1BE8. ^33
bilUé vaut une Jraction qui a, pour
numérateur , le nombre d^ observations
faites plus i , et pour dénominateur ^
ce même nombre plus i, et plus encore
f k nombre 4e fois que t événement doit
^^sereprodmre.
^ Ex. Quelle est la probabilité que,
Il Fon découvre encore trois planètes ,
elles marcheront dans le même sens
que les 1 1 autres que nous connaissons?
/Vl &ut diviser ii plus i ou 12 par 11
(dus I plus 3 ou i5 : et l'on aura , pour
k probabilité demandée , «-7 ou -Pour
la probabilité que le soleil reparaîtra
enoore 10 fois sur lliorizon, on avait, . '. û 2i283i6
an If janvier 1827 , ^28326-
On voit que la probabilité irait continuellement en décroissant , à mesure
utiles aans les scitsucc»
On a fait , par exemple
riences qui se sont acco
le même résultat ; et i'
que la probabilité qu*i
expérience donn^a enc
conforme aux précède]
à la probabilité qu'il e
qui favorise les retour
3l observés , elle est — .
Nous avons supposé <
cède qu'on n'avait obseï
d'événemei^qui s'étaie
nmdiiitii : rlann ce nui '
qui se sont reproduits chacun un certain nombre de fois.
Ex, On a tiré d'une urne , dans 20 tirages consécutifs, 17 boules blanches ^ ^ et 3 noires ; et Ton demande la probabilité de prendre au 21^^"* tirage une boule blanche? il faut dans ce cas diviser le nombre 17 plus i ou 18, par le nombre 20 plus 2 ou 22, et Ton a, pour la probabilité de tirer encore une boule blanche au 2i»*"« tirage ,--,Demême, pour la probabilité de tirer une boule noire , on a r:- , et les deux probabilités réunies valent l'unité ; ce qui suppose que l'uruft ne renferme que des boules blanches et des boules nilires.
Sur 1 16 comètes dont les orbites se trouvent calculées dans Vastronomie
la distance de la te habilité qu'une no être rangée dans la
plus I ou 249 <lî^î 1 18 ; c'est-à-dire h
probabilité contrai donc 24 contre g4 nement dont il s'ag tre 4*
En réduisant ce « cipe , on trouve qi Beivé deux esphci probabilité ^un c
POPULAIKES. 437
reproduira encore une fois , est une finctionqui a^pournuméraieur^ le nombre de fois que F événement dont il est question a étéobserué, plus i^et, pour dénominateur, le nombre total des obsensations 9 plus ^
Les calculs deviennent assez compliqués quand on veut déterminer , dans le cas qui nous occupe , les probabilités composées. Heureusement on trouve que les résultats sont à peu près les mêmes que ceux qu'on obtiendrait en considérant les chances favorables et les chances défavorables comme étant numériquement dans le ^ême rapport que les événemens obsefn^.
Ex. Par les calculs précédens , nous
avons vu que —g est la probabilité
probabilité contraire c sidérant 23 comme étau chances favorables à 1 93 comme le nombre d traires ; ce gui ne supp 116 chances possibles
pour les probabilités
et -T^. On voit que le
mées de cette maniër<
de celles que nous avoi
cédemment.
La probabilité qu*on
cessivement *âeux comë
POPULAIRES. m
lyaût au contraire sa distance périhëie ' pins grande , est une probabilité composée qui se formera du produit les deux fractions --^ et — ^.
Plus on a d'observations et moins il f a d'erreur à calculer de cette dernière [nanière, qui suppose qu'on connaît le nombre total des chances , ^t le nombre des chances favorables. Ces notions feront développées dans la leçon sui* vante.
Questions,
Qeul est l'objet de cette leçon?
Comment calculez-vous la probabilité qa'un événement qu'on a observé plu-* sieurs fois de suite ^ se reproduira en' core une fois ?
hté qu'il existe une caus lite la reproduction d'un qui a été observé plusie suites?
Appliquez la règle & diff pies?
G)mment calculez -vou bilité qu'un ëvénement qu \é plusieurs fois de suite duira encore un nombre fois?
Faites des applications « aux sciences d'observatioi
POPULAIRES. Ul
habilite que l'un de ces évënemens 'eproduira ?
'eut-on simplifier les. calculs dans exemples pr^cédens?
Of est très-soi voir prendre plusieurs nom) tous ce$ nomli fommeparUur ia valeur moye^ Exemple. Si ]
'hommes , dans les conditions les plus iverses, Fâge qu'avait atteint chacun les décidés; la somme de ces âges, divi* éepar le nombre des décès, estla durée Qoyenne de la vie.
Us est évident que la valeur moyenne ist connue avec d'autant plus de préciion, que l'on fait concourir à cette echerche un plus grand nombre d'obervations ; et l'on voit aussi qu'il est nécessaire de ne point se borner li ceraines professions ou conditions , mais eletf' admettre toutes indistinctement, fin que par la multitude et la promis Qité des élémens , les variations acci • entelles se ccHupensent, et que l'on >rme ainsi un résultat moyen et généû. Nous avons vu en effet que dans un
ne reste que Te
constantes ; ensc
hasard pour les
rés en grand noi
On peut acqu
vante une conna
la précision d'un
fit, par exempL
parties l'ènsemb)
dont le nombre c
et de prendre
parties la valeui
car si ces deux y
.^•jNrécise. Rien n'est plus propre que e genre d*épreuyes à mettre en ëvience Texactitude des résultats statisiques , et il est presqu'inutile de pré* enter au lecteur des consëquences [ui ne sont pas vërifiëes par des comparaisons des valeurs moyennes.
Ex. On suppose qu'une urne contient m nombre inconnu de boules blanches ît un nombre de boules noires également nconnu, on pourra déterminer par ex* lérience le rapport inconnu de ces deux iofli>res. Il faut pour cela répéter un rès-grandnombre d'épreu ves,dont chacune consiste à extraire une boule de 'urne proposée, et à l'y replacer après ivoir marqué.sa couleur. On comptera combien il est arrivé de fois qu'une bou-
™ sort d"ia8»«» P"' "■ "' d'abord difftar beaucoup i de.ao»b.«iM™"'""" ,„„.i.,.t variable - .PP™
,i„ueu™.otd-q»'i™"
Ain.i , eu sopposaol qm de. épreuve. q»-.»««5f" „a„d,etd&E>.»'P«"" bres,e.peelit. de. boule.
„„i„. »..lie. de l'ur«e îdiïéreraeiUêmemM'P' » M n
St T « ^iffp'rence -^ " ',
POPULAIKES. 147
nent petite , et cela arrive nëcessailent*
•apposons mainteoant qu'après avoir evë le nombre d'épreuves, que nous tquerons par r, on renouvelle une ration du même genre, et que le nbre des épreuves qui forment cette onde c^ération soit r ou un autre ftbre très-grand r'. Le rapport — ; nombres respectifs des boules blancs ou noires sorties pendant cette
onde opération , diffère aussi extré-
M ment peu du rapport fixé ^r : ainsi
quantités dont * et -; diffèrent en-
elles et diffèrent de t^r , diminuent
éfiniment et sans limite à mesure i les nombres r et r' augmentent; 5t-à-dire que les nombres r et r' des
rence appréciable < déduits de Tune et d Un des moyens 1 vérifier les nombre des observations mi comme nous l'avons tuitement la série c en diverses parties valeurs que Ton dé chacune de ces part règles suppose évid( position de Fume i dant toute la durée
*on peut même connaître ainsi TeiFet le ces changemens ; mais il est nécessaire , dans ce cas , de considérer séparément les intervalles dans lesquels la îause demeure constante , et de multiplier les observations relatives à chacun le ces intervalles. Les sources les plus [communes de Terreur et de Tincertitude des conséquences que plusieurs écrivains déduisent des recherches statistiques , sont i^ l'inexactitude des observations primitives recueillies par des moyens très-divers et non comparables ; 2® le trop petit nombre des observations , ce qui ne permet point de les diviser en séries et de former se-
parement le résultat de chaque série ;
3® réitération ou progressive ou irré-
Que
G>mment irons moyenne de plusîei
Qu'est-ce qui con l'exactitude d'une y
Gomment peut-on titude plus ou moio leur moyenne? Don
Les valeurs moy< faire reconnaître le surviennent dans la des ^vënemens?
PQPULAi&ES. 151
