XIV« LEÇON
; mesure du degré d^approxmai d'un résultat moyen , ou règle moindres carrés.
*enant un résultat moyen , le depproximation ne dépend pas seu- : du nombre de quantités qu'on îesy il dépend encore du plus ou de diversité de ces quantités. Il s'ae former une idée exacte de ce depproximation > et de montrer que vision du résultat est une quanesurable que l'on peut toujours
de la précision.
On commencera
leur moyenne de toi
ticulières que l'on c
dra ensuite le carré
valeurs particulières
une seconde valeur
celle des carrés ; on
manière, pour les dei
nombres que nous d<
mier par A et le sec<
tranchera de $ le ca:
et l'on divisera le do
POPtnLAUŒS. 453
u quotient, on trouvera une quan- [ue nous désignons par g, et qui k mesurer le degré d'approxima- : plus la valeur de g est petite , la moyenne calculée A est voisine I valeur exacte que Ton cherche.
[• Nous supposons que Ton a trouvé I valeurs particulières , savoir :
4000 ^ales à 2 2000 — — 5 et 4000 — — 12.
général, les quantités observées toutes inégales , et elles ne se ré-
ent pas , comme les précédentes , petit nombre de valeurs différen-
mais nous n'avons ici en vue que
Uquer la marche du calcul.
I somme des valeurs observées est
pour la valeur moy enn représentée par A. La rés des valeurs est lo -f- iooo« i44 ou 19800 somme par 4ooo , on 1 moyenne des carrés en présentée par B, On c carré 36, c'est-à-dire valeur Moyenne A, prend le double de ce viseaj par 4ooo; ensuit citae carrée du quotiei cette racine est ^r:, %/
POPULAIRES. i55
iction qui feit eonnaitre le degr^ approximation du résultat moyen, es précisions respectives de deux ré* duos sont en raison int^erse desjrcu> Ions obtenues de cette manière*
Oq peut dire que le résultat moyen fun nombre infibi d*observations est une quantité fixe^ où il n^entre plus nen de contingent , et qui a un rapport certain avec la nature des faits obseryék On lui compare chacune des va- Ws particuli^s , et l'on appeUe er- ^tur ou éuirt la différence entre cette 'deur particuliëre et la valeur fixe , [ui serait le résultat moyen d*un nom- ^9e iaÊDi d'obsenrations. Ces erreurs ^t des Kmites vraisemblables , c'es^2i- ^ qu^il est extrêmement probable
voisine», pour h lité de l'erreur c sorte qu'il peutafi ou que l'erreur e qu'elle y soit comj
En général y de moyen d'un granc particulières, c'es tité avec un instr augmenter la pré le veut , en augme le nombre des val
Il nous reste à
POPULAIKES. 457
ce des limites proposées A -i- D et - D : A est le résultat moyen que a trouvé , et D est une quantité posée que l'on ajoute à la valeur A ^e l'on en retranche. La table suiite fait connaître la probabilité P ne erreur positive ou négative plus nde que D; et cette quantité D est >roduit de g, dont nous avons parlé s haut , par un facteur proposé d.
qui eet l'objet de la recAei comprise entre les limites à A — D. La quaiilit^D est égal duil^. d, comme nous l'avon voit par cette table que la pi d'une erreurplus grande quel de g par o, 47708' est - .1 I contre i !k parier que Verr mise ne surpassera pas le prt par 0,4^708. Dans le calcul avons fait plus haut pour à< la pre'cision de la valeur moye sdrie de nombres , nous a^jK
BOPinJOBES. 459
obtient 0,089 à peu près. Ainsi il y «vait I contre i à parier que l'erreur commise ne surpassait pas 0,039*
La probabilité d'une erreur plus grande que le produit de g par i ,38591 W beaucoup plus petite que la précédente; elle n'est que r--. Il y a 19 sur 20 ^ parier que l'erreur du résultat moyen Kie surpassera pas ce second produit.
La probabilité d'une erreur plus grande que la précédente devient extrêmement petite , à mesure que le facteur D augmente.EUe n'est plus que.r2r^lorsque d approche de 2. La probabilité tombe
cnaoite au-dessous de -rrrr* Enfin, il
y a beaucoup plus de 20000 à parier <^tre I que l'erreur du résultat moyen sera au-dessous du triple de la valeur
pour le résultat in< tler comme à peu-] valeur 6 n'est pas c tité triple de la fra règle a donnée poi moyenne fixe cher prise entre 6 — o,:
Pour faciliter le de g, on pourra coi les entre elles des ^ qui différeraient tr buant ainsi une gr.
un certain nombre
on calcule la précision d'une valeur moyenne, que cette précision augmente comme la rticine carrée du nombre des observations* Supposons , par exemple, qu'on ait fait d'une part loo observations; et, de l'autre, 4oo observations; la précision de la moyenne qu'on déduira de la première série d'observations sera à la précision de la moyenne qu'on déduira de la seconde série , toutes les circonstances étant égales d'ailleurs, comme lo est à 20 , c'est-à-dire comme les racines carrées des nombres 100 et 4oo« Donc , pour une même recherche, la précision du résultat moyen change à mesure que le nombre des valeurs observées augmente. Elle devient double si le nombre des valeurs devient
de suite. Cette c et remarquable ; de tous ceux qui ches statistiques il faut multiplier que les résultats domié d'exactitu<
Qu
Quand on a la plusieurs quantit la précision de ce . Exposez la règl
POPULAIKES. i€5
moyenne cherchée ne s'ëloignera pas de limites assignées?
Donnez des exemples du calcul de cette probabilité?
Comment peut-on simplifier les calculs?
Dans quel rapport la précision d'une valeur moyenne augmentet-elle relativement au nombre des observations?
Donnez im exemjJe numérique.
a la vie humaine.
fo^allon de. «.""*""" „„,jH,«.obi.ld. faire co»« Jappe, laquelle .■fteig-.-'t.
„en. w. «""» "■°''"' ^i une même époque^
law en Silésie, rénumération de tous les individus qui , pendant Fespace âe cpiatre ans , étaient morts entre o et i an ^ entre i et a ans , entre 2 et 3 ans et ainsi de suite jusqu'au terme le plus reculé de la vie : regardant aloi's la po^ pulation comme stationnaire , c'est-àdire 9 comme offrant annuellement un nombre de décès égal au nombre des naissances , il supposa que tous les individus dont il avait énuméré les décès, étaient nés en même temps ; et il déduisit de leurs âges respectifs , la loi d'après laquelle ils s'étaient éteints successivement. Il fit donc la somme de tous les décès, et il en retrancha le nombre des enfans morts entre o et 1 an , le reste indiqua le nombre des sur«
et ainsi de suite.
La méthode que i quer suppose une ] naire , ce qui se prë^ reste, si elle laisse l côté de l'exactitude grands avantages pc l'exécution. La tabh ne la loi de la mort yinces méridionales indique comment lo en même temps s'ét( vement.
POPULAIKES. <67
