II« LEÇON
De la probalité mathématique.
UâB8 le cas oh tontes les chances d^nn ^Ténement sont également possibles , la probabilité mathe'matùjfue s'estime en dàfisantle nombre de chances fa^ora- ^ks ai ^événement par le nombpe total des chances*
EmffKLBS. Sî Me urne contient trois boules blanches, et deux noires, c»:a trois chances favorables sur cinq- ohamces pour la sontie d'une boule blanche;et IWdit que htprobabilil^ mathématique de FéTénement attendu est**.
OA
cartes , on compte 12 figures.
La probabilité contraire à Yéyém
ment attendu s'estime de la même mi
nière; c'est-à-dire en divisant le nombr
, de chances défavorables par le nombr
total des chances*
Ex. Dans les exemples prëcédens^ le
probabilités contraires aux deuxévéne
2 20 mens attendus étaient ^ et ^rr*
En général, chaqfjte événement m certain donne lieu à deux probabilité opposées , savoir : celle eue cet ^^rdnp
Ex« La probabilité de prendre une figure dans un jeu de 3a cartes est rr,
la probabilité contraire est --- , et la
somme de ces probabilités est -rr plus TT ou bien i • H suffira donc par la suite de soustraire de i la probabilité mathématique favorable h Péuéhement , pour a^ir la probabilité contraire, La probabilité mathématique d'un événement doit , d'après ce qui précède , être exprimée par une fraction proprement dite^ puisque le nombre des chances fiivorables ne peut surpasser le nombre total des chances.
On conçoit que plus le nombre des chances favorables k l'événement que ^ considère, sera considérable par
événement sera forte.
Ex, La probabilité 05^®* plusgi
que la probabilité^ ; on exprim de la première manière la probal mathématique de prendre une fi^ dans un jeu de 32 cartes ; et de L conde , la probabilité mathëmatiqui prendre un des quatre as.
Quand toutes les chances devienn favorables , il y a certitude ^ et le mërateur de la fraction devient égal dénominateur, ensortp m^** "-
POFULAIBES. 45
£x« On demaDde si le jet de Vas i?ec un dé ii six faces est plus prcdimble [ue le tirage d'une figure en coeur dans m jeu de 32 cartes. Or , la première robabalité est ^ , et la seconde -- ,
es firaetioos réduites au même déno-
dnateur donnent rrr- et --- . Le pre-
der ëvënement est donc plus probable ae le second.
Le défaut d'habitude oh ijSjju somles d'estimer les probabiGtës des irënemens incertains, £ût que nous DUS trompons la plupart du temps *ès-gro5siërement sur leurs valeurs; il MIS faudrait avant tout un terme cornirable f qui pût nous servir pour ctifier nos jugemens : le. moyen le ci^ simple semblerait être de concevoir
ouïes Diancnes ei uutico i^u* «^««..w^.
ontenues dans une urne : rarrivée de ëvénement attendu serait asfîmilëe de ette manière au tirage d'une boule >lanche.
Ex. Qu'elle est la probabilité de jeter ^as avec un de à six faces? Gomme nous n'ayons qu'une chance sur six, la probabnité est ^y la même que celle de prendre une boule blanche dans une urne qui contient six boules , savoir :
une blanche et cinq noires; ou bien encore qu'elle est la probabilité de prendre un roi dans un jeu de 3a car-
la même que celle de prendre une boule blanche dans une urne qui contient 32 boules 9 savoir : 4 blanches et i8 noires.
En faîffcint croître ou décroître dans le même rapport 5 le nombre des- chances favorables et celui de toutes les chances possibles , la probabilité reste la même ; ainsi au lieu de la probabilité TT on peut prendre la probabilité - qui lui est égale. La probabiUté de prendre une boule blanche dans une urne qui contient 32 boules, savoir : 4 blanches et 28 noires, est donc la même que celle de prendre une boule blanche dans une unae qui contient 8 boules , savoir :
^*^e blanche et 7 noires; ce moyen de '^^HfUalion qui dépend de la pro-
Le moyen que nous avons indif pour estimer la valeur des probabilit présente cependant un inconv^nien c'est qu'il nous serait assez diffici d'apprécier quelle grandeur doit a teindre la probabilité pour pouvo être classée parmi les probabilités qu nous avons l'habitude de considère comme dés certitudes. Le meilleu terme de comparaison semblerait être 1 probabilité de vivre encore un certaii espace de temps. Cettp m^
)tfO*«<
POFULAIKES. 19
les yeoK sur une table de nor- ; sur celle des provioces mérîdio' des Pays-Bas , par exemple; nous os que sur SigSô jeunes gens de i, le dixième a cessé d'exister aa le ^ ans environ. Ainsi ï net âge habilité de moarir dans l'espace ans est --.c'est-à-dire un peu Ire que la probabilité de prendre emier coup un roi dans un jeu de rtes. En faisant des calculs semis pour les époques auxquelles
it d'exister successivement le —„>
- des 5 1 956 jeunes gens que nous
. considérés précédemment, on
: le petit tableau suivant , au-
nous poiiri'Ons recourir par la
"ÎO •••*••• 7 ans.
\qq S mois.
iOOÔ ' ' 25 jours.
jo,ooo ^^ ^*^''®
^, 000,000 ^^ minnh
10,000,000 •*•••• 4 id.
^00,000,000 ^^ second*
POPULAIBES. 21
Vale, et qu'ils ne sont pas applicables à lin individu en particulier, qui serait actuellement bien portant ; il faut les considérer comme les probabilités que l'enfant qui vient de naître,.^ atteint l'âge deao ans, mourra avant un certain temps désigné dans le tableau.
Ex. Supposons maintenant que l'on cherche à savoir quelle est la probabilité qu'en prenant les lettres du mot Constantinople et qu'en les jetant en l'air, elles recomposeront le même mot.
On sait par des calculs qui ne peuvent trouver place ici, que nos 1 4 lettres peuvent être arrangées de plus de 87,000,000,000 manières différentes , eu ne reproduisant que 24 ^^^ ^^ même io^ot; on aurait donc pour probabilité
ue mourir dans l'espace d'une secou à Fâge de ao ans. Or^ nous ne faisc pas diificultë de regarder oomme a tain que Penfant qui vient de naître s'il atteint l'âge de 20 ans , pourr compter encore sur une seccxide d'exis tence; on peut donc regarder aussi comme certain qu'on ne jettera pas du premier coup le mot Constantmopit avec les lettres qui le composent.
Nous croyons pouvoir poser qu'en général on ne ferait pas diflR'»"'* '
POPCLAUœS. 23
aMitë oontrafre j^^~^. Ainsi rttgardèroos comme à peu près iÉ» tes événemens qui n^nt pour ibilit^s contraires que des fractions dres qu'un millionième; tel serait le i d'une boule bbîficbe dmivCne uri contiendrait i milEon de boules , r : 9999999' blanches et uile noire.
Questions»
leHe est la piH^bbbi&ti^mââiâAati-
Tttn ^«>énemeût ?'
>nnez des exemples du calbul de la
abi&t^ mathématique?
mmenl^ caTctile^toii la probabiBtë
?aMNB U Véfénemeat ?
lelle es!*lk vatetir dbs âetix proba-
?s d'un ëvënemerit?
tiquement les divers degré
bilités ?
Quaniy a-t-il certitude ' Quel est le symbole de h G>mmeiit rend-ou les
comparables ?
Ne serait-il pas désirable
terme comparable pour s^
juste idée de la grandeur i
probabilités ?
Peuton simplifier Texpre
probabilité mathématique ?
Quels moyens pourr^t-o;
POPULAIBES. 25
ius quel cas considërons-nous habilement comme certain un ëvénet qui n'est que probable ?
it
De la prohabilité simple et prohabilité composée*
Quand un évënement dépend sieurs évënemens indépendans 1 des autres , on dit qu'il est compi Exemple. Le jet successif de du point deux, avec un àé ord à six faces , est un événement coi qui dépend de deux événemens rement indépendans Fun de Tautr voir : le jet de Vas et celui du point
énement composé dépendait de fënemens simples qui sont le jet et celui du point deux, s ayons vu dans la leçon prëcéque la probabilité d'an ëvéneimple que nous nommerons /^roi simple , s'estime en divisant le e de chances favorables par le e total des chances.
irobahilité composée , c^est-à-dire habilité mathématique d'un eWî composé y s'obtient en faisant iuit des probabilités de tous les lens simples dont cet événement îédépend.
La probabilité de jeter Vas et \ point deux avec un àé ordinai-
calculerait de la manière sui-
point deux est également ^
de ces deux probabilités pa
de révénement attendu :
reconnaîtra avec un peu qu'il y a 36 chances égale blés sur lesquelles une se rable, comme on peut le mant le tableau suivant :
4et1
2et1
3eti
4et1
Quelle est la probabilité dé preii
dre successivement Tas, le roi, l'a dame
et le valet de cœur dans un jeu dé 32
cartes, en ayant chaque fois Tatten-
tion de remettre dans le jeu la carte
tirée? L'ëvëhement composé dépend ici
de quatre événemens simples^ qui ont
chacun leur probabilité égale à — ; la
probabilité composée vaudra donc
ixfj >^ i >< 52 °" ^'*° TiôîbTë-
Ainsi l'événement que Ton attend est moins probable que la supposition îu un enfant qui vient de naître, mourra précisément pendant les 36 minutes qui suivront l'instant oii il aura atteint sa 20* année. Nous avons déjà vu que des événemens qui ont une si faible probabilité
sont considérés comme extraordinaires
20 fois de suite pile ou croix? N, *ieux chances doc We : Ja probahilite'
laprobabilite'conipo; à-dire moindre que donc encore ranger
qne nous considérons naire l'arrivée de;E,//ei
Unfaitqui,sapsétr n a aucune probabili) nous est transmis par de manière oue J^ ,..,
POPULAIBES. 3i
est la probabilité du fait , sachaDt que la probabilité de chaque témoignage est égale à — (*)? On aura pour la
jrj , c'est-àdire moins que ^ • Le fait sera donc moins probable que le tirage d'un as dans un jeu de 32 cartes.
u On ne peut mieux comparer cette liminution de la probabilité , comme l*a observé M. De la Place, qu'à l'extinction de la clarté des objets , par l'interposition de plusieurs morceaux de verre ; un nombre de morceaux peu considérable , suffisant pour dérober la vue d'un objet qu'un seul morceau
(^) Cett-à-dire que sur iO lémoignages, on peut en compter 1 laux.
avoir fait assez d'attention gradation de la probabilité lorsqu'ils sont Vus à travers nombre de générations si plusieurs événemens historic tés certains, seraient au n teux^ si on les soumetta épreuve» »
Questions •
Qu'est-ce qu'un événemen* Qu'est-ce qu'un événeme Que nomme-t-on probabi
POPULÂIBES. 33
Donnez un exemple du calcul de la probabilité composëe dans le jet desdés?
Donnez un exemple du calcul de la probabilité composée dans le tirage des cartes?
Donnez un exemple du calcul de la probabilité composée dans l'estimation des témoignages ?
Comment peut-on se représenter la diminution de la probabilité ?
De la pfohabUé relaiii^e*
Quoique nous n'ayons considère qu'à présent que deux espèces de < il peut cependant s'en présenter un] grand nombre*
Exemple. Si Ton demandait la ' habilite de prendre dans un jeu d cartes , une figure ou bien un as aurait trois cvénemens possibles < les probabilités seraient :
r— pour une ligure.
POPULAIMS. 35
dans une urne on avait 20 bousavoir : 8 blanches , 4 ivoires , 3 es et 5 vertes ; on aurait , pour le e , quatre sortes de chances dont roBabilftés Seraient :
— - pour une boule blanche.
— — — noire.
— — — rouge.
— — — verte.
isomme de ces probabilités, comme i l'exemple précèdent , doit valoir itë.
renons encore un troisième exem-
Quelles sont les probabilités de
r avec deux dés 7, 8, 9 ou 10 points?
oints peuvent tire a^téfnéis de six
i---««u» ayons ^aronpeutjeteriete, ^'5eta,6eti.dexnê
ventétreamenësdecin.
îuatremanières et lo d ^"lemem. On aura do.
^^tés de ces sortes d ohservant ^y y , 3g possibles;
36 P**"*" «nener 7
I/e plus souvent on ne considère que ^ probabilité absolue des événemens , Cependant on peut quelquefois désirer le connaître une probabilité relatwe- ^nt à d'autres.
Ex. Quelles sont les probabilités reïtives de prendre une figure ou un as ans un jeu de 32 cartes ? Nous avons u que d'une part on a 12 chances t de l'autre 4 • ainsi en considérant omme nulles toutes les autres chances, ne faudrait avoir effectivement égard u'à 16 chances , Tune des probabiUtés Brait rr et l'autre r^ ; la première erait donc triple de la seconde.
Dans le second exemple qui précède, 4 probabilités relatives d'amener une mie blanche ou une noire ^ seraient
leur*
Dans le troisième exemple bilittf d'amener 7 points avec est double de celle d'amener On a eiSectivement 6 chanc blés au premier ëvënement « ces seulement pour le secoi chances en tout , en omette très chances qui ne font ni gagner*
Quelquefois un ëvâieme:
de plusieurs chances qui n< également possibles , il faut 1 "^•*-— '''•• ^tvthahtlités respec
POPULAIBES. 39
Ex» Deux personnes jouent ensemble : Tune parie d'amener du premier »up avec deux dés 7 , 8 , g ou lo >mts : d'après ce <{ue nous avons va écédemment, les probabilités respectes de ces événemens sont ôê» ô^, et ôg • 1^ probabilité que la pre« hre personne gagnera sera donc 9 la somme des probabilités prélentes, et la probabilité contraire a aussi ^ •
lia probabilité de prendre une figure un as dans im jeu de 32 cartes , vauit r*- plus .— ou r- ; c'est-à-dire
somme des probabilités des deux
lèces de chances qu*on réunit en sat
eur.
fous conclurons de tout ce qui pré-
veinent attendu est simple ou comj.
et si les chances qui doivent l'amt sont toutes également possibles ot elles ne le sont pas. Enfin, il faudra i miner si la probabilité doit être pr d'une manière absolue ou relativt c*est4t-dire si les chances favorables d( vent être comparées à toutes les chai ces ou h quelques-unes en partie lier.
Questions.
fOPULAl&ES. 41
Peut-on estimer une probabilité' ré* lativement à d'autres?
Donnez des exemples des probabilités relatives ?
Les chances d'un événement sontelles toujours également possibles?
Comment calcule-t-on la probabilité cl*un événement dont toutes les cBances ne sont pas également possibles ?
Donnez des exemples du calcul de la probabilité d'un événement dont toutes les chances ne sont pas égale* ment possibles?
Que peut'On conclure de tout ce qui précède ?
