Intégrale, Longueur, aire
l/ans ce travail j’essaie de donner des définitions aussi générales et précises que possible de quelques uns des nombres que l’on considère en Analyse: intégrale définie, longueur d’une courbe, aire d’une surface.
M.r Jordan, dans la seconde édition de son Cours cV Analyse , a fait une étude approfondie de ces nombres. Il m’a semblé utile cependant de reprendre cette étude, et voici pourquoi. On sait qu’il existe des fonctions dérivées non intégrables, lorsque l’on adopte, comme le fait M.r Jordan, la définition de l’intégrale qu’a donnée Riemann; de sorte que l’intégration, telle que l’a définie Riemann, ne permet pas dans tous les cas de résoudre le problème fondamental du calcul intégral :
Trouver une fonction connaissant sa dérivée.
Il peut donc sembler naturel de chercher une autre définition de l’intégrale, telle que, dans des cas plus étendus, l’intégration soit l’opération inverse de la dérivation.
D’autre part, comme le remarque M.r Jordan, l’aire d’une surface n’ayant pas des plans tangents variant d’une façon continue n’est pas définie; et les énoncés que l’on serait tenté d’admettre comme analogues à la définition de la longueur d’une courbe ne peuvent être adoptés (*). U y a donc lieu de chercher une définition de l’aire et peut être aussi de modifier celle
(*) Voir Schwarz, lettre à Gënocchi. Cette lettre est reproduite dans l’édition lithographiée du Cours professé à la Faculté des sciences par Ch. Hermite, pendant le second semestre de 1882. (Second tirage, page 25.) — Voir aussi Peano, Atti délia Accademia dei Lincei, 1890.
L ebes g ue :
de la longueur de façon que ces deux définitions soient aussi analogues que possible.
Dans l’étude des questions relatives à la théorie des fonctions de variables réelles on reconnaît souvent qu’il serait commode de pouvoir attacher aux ensembles de points des nombres jouissant de certaines des propriétés des longueurs des segments ou des aires des polygones. On a proposé différentes définitions de ces nombres que l’on appelle les mesures des ensembles (*); celle qui a été le plus souvent adoptée se trouve exposée et étudiée dans le livre de M.r Jordan.
Dans le premier chapitre je définis, avec M.r Borel, la mesure d’un ensemble par ses propriétés essentielles. Après avoir complété et précisé les indications un peu rapides que donne M.r Borel (**), j’indique quelles relations il y a, entre la mesure ainsi définie et la mesure au sens de M.r Jordan. La définition que j’adopte s’applique aux espaces à plusieurs dimensions; de la notion de mesure d’un ensemble dont les éléments sont les points d’un plan, on déduit celle d’aire d’un domaine plan; si les éléments sont des points de l’espace ordinaire on en déduit la notion de volume, etc.
Ces préliminaires posés, il n’y a plus d’inconvénients à définir l’intégrale d’une fonction continue comme l’aire d’un domaine plan; et même cette méthode a l’avantage de conduire à une définition de l’intégrale d’une fonction discontinue bornée comme mesure d’un certain ensemble de points. C’est cette définition géométrique que j’adopte au chapitre II; on peut d’ailleurs la remplacer par une définition analytique, l’intégrale se présente alors comme étant la limite d'une suite de sommes assez analogues à celles que l’on considère dans la définition de Riemann. Les fonctions auxquelles s’applique cette définition géométrique sont celles que j’appelle sommables.
Je ne connais aucune fonction qui ne soit sommable, je ne sais s’il en existe. Toutes les fonctions qu’on peut définir à l’aide des opérations arithmétiques et du passage à la limite sont sommables. Toutes les fonctions intégrables au sens de Riemann sont son mables et les deux définitions de l’intégrale conduisent au même nombre: Toute fonction dérivée bornée est sommable.
(*) Voir au sujet de ces définitions Schœnflies, Jahresberichl der deutschen Ma thematiker- Vereinigung , 1900.
(**) Leçons sur la théorie des Fonctions.
L'intégrale d'une dérivée bornée, considérée comme fonction de la limite supérieure d'intégration est une fonction primitive de la dérivée donnée, le problème fondamental du calcul intégral est donc théoriquement résolu toutes les fois que la fonction dérivée donnée est bornée.
Pour obtenir des résultats plus généraux il est nécessaire de donner une définition de l’intégrale s’appliquant à des fonctions non bornées. Il est facile de trouver une telle définition, mais celle qui m’a paru la plus simple et la plus naturelle ne s’applique pas à toutes les fonctions dérivées non bornées; de sorte que pour les fonctions non bornées, le problème de la recherche des fonctions primitives n’est pas résolu dans tous les cas. Avec mes définitions je trouve que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction dérivée ait une intégrale est que sa fonction primitive soit à variation bornée. Toutes les fois que l'intégrale existe elle fait connaître une fonction primitive.
Le calcul effectif d’une intégrale dépend essentiellement de la façon dont est donnée la fonction à intégrer. Dans le cas où la fonction est définie à l’aide de séries on pourra se servir de cette propriété, dont un cas particulier a été obtenu par M.r Osgood (*) : Une série dont les termes ont des intégrales et dont les restes sont, en valeur absolue , inférieurs à un nombre fixe est intégrable terme à terme.
La définition de l’intégrale s’étend immédiatement aux fonctions de plusieurs variables.
Dans le premier chapitre j’ai développé une généralisation de la notion de longueur d’un segment, une généralisation faite dans un sens différent donne la notion de longueur d’une courbe. Dans le troisième chapitre, où je m’occupe de cette notion, j’adopte la définition suivante : la longueur d'une courbe C est la plus petite limite des longueurs des lignes polygonales qui tendent uniformément vers C. Cette définition est exactement équivalente à la définition classique (**). Une courbe à longueur finie est dite rectifiable. Je retrouve rapidement les principaux résultats relatifs à ces courbes obtenus par M.r Jordan.
La recherche d’une expression de la longueur d’une courbe ayant des tangentes conduit à une nouvelle application de l’intégrale définie au chapitre précédent. Si f, fi, fi existent , la condition nécessaire et suffisante pour que
(*) American Journal , 1897.
(**) Scheeffer, Acta Mathematica, 5; Jordan, Cours d' Analyse.
L ebesgue :
la courbe
* = /■(*)> y = ?(<) j z = <MO
soit rectifiable est que l'intégrale de \ f 2 -f f 2 + ^ 2 existe. Toutes les fois que cette intégrale existe elle représente la longueur de la courbe. La définition qu’adoptait P. Du Bois Reymond (*) est donc un cas particulier de la définition classique, même en étendant comme je l’ai fait le sens du mot intégrale.
Dans le quatrième chapitre j'appelle aire d’une surface L la plus petite limite des aires des surfaces polyédrales qui tendent uniformément vers L. On peut déduire de là une définition de l’aire analogue à celle de la longueur d’une courbe définie comme limite des longueurs des polygones inscrits.
L’étude de la représentation de l’aire à l’aide d’une intégrale double n’est abordée que dans le cas très particulier où la surface admet des plans tangents variant d’une façon continue; on retrouve l’intégrale classique
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Les deux derniers chapitres sont consacrés à des recherches assez différentes. Il s’agit de voir, sur des exemples, si l’extension donnée aux sens des mots longueur, aire n’entraine pas des modifications correspondantes dans les énoncés ou les raisonnements de la géométrie des surfaces. Dans ces raisonnements on suppose généralement les surfaces et les courbes analytiques, ou tout au moins définies à l’aide de fonctions ayant un certain nombre de dérivées.
Le premier problème que je me propose est celui des surfaces applicables sur le plan : Chercher les surfaces correspondant point à point à un plan, de façon que les longueurs, soient conservées. Je trouve d’une part qu’?7 existe des surfaces applicables sur le plan et ne contenant aucun segment de droite , d’autre part qu’?7 existe des courbes gauches ayant en chaque point un plan oscillateur et dont les tangentes forment une surface non applicable sur le plan. Les procédés élémentaires que j’ai employés ne m’ont pas donné toutes les surfaces applicables sur le plan, mais ils m’ont fait connaître les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une surface cylindrique, conique, une surface formée par les tangentes d’une courbe gauche, une sur-
(*) Mathemalische Annalen , Bd. 15, pag. 287 et Acta Malhematica, 6.
face de révolution soient applicables sur le plan; enfin ils montrent que l’application conserve les aires.
Le second problème est celui de Lagrange ou de Plateau: étant donné un contour fermé trouver une surface limitée à ce contour et dont l’aire soit minima. Je montre que ce problème est toujours possible et admet une infinité de solutions.
Il serait très intéressant de savoir si, parmi toutes ces surfaces solutions, ne se trouve pas une surface analytique. La méthode qui se présente immédiatement à l’esprit, et qui consiste à démontrer successivement l’existence de chacune des dérivées nécessaires à l’établissement de l’équation aux
dérivées partielles des surfaces minima, paraît fort difficile à appliquer. Ce¬
pendant des raisonnements très élémentaires m’ont permis dans un cas particulier de démontrer l’existence des plans tangents à l’une des surfaces solutions.
Les méthodes de ce dernier chapitre sont analogues à celles qui ont
permis à M.r Hilbert (*) de reprendre l’étude du problème de Dirichlet par
le procédé de Riemann. Les résultats obtenus par M.r Hilbert et ceux que je viens d’indiquer, si incomplets qu’ils soient, semblent montrer qu’il y a avantage à laisser de côté, au moins momentanément, les équations aux dérivées partielles que donnent les méthodes ordinaires du calcul des variations, et à raisonner directement sur l’intégrale qu’il s’agit de rendre minima.
J’ai indiqué les principaux résultats de ce travail dans différentes notes des Comptes Rendus de V Académie des Sciences. (19 Juin et 27 Novembre 1899, 26 Novembre et 3 Décembre 1900, 29 Avril 1901.)
