La projection de C sur le plan des (ar, y) est convexe

2. ° Tout plan qui contient trois points au moins de C fait avec le plan des x y un angle inférieur à a . (a << 90°).

De la première condition résulte que c est rectifiable, donc le cylindre projetant C est applicable sur le plan. Dans cette application c devient co £, et l’une des génératrices C devient (7, d’équation:

Toute sécante de C fait, d’après l'a condition 2, un angle moindre que a avec le plan des x y, donc a fortiori toute sécante de C , fait avec w £ un angle inférieur à a. ÿ a donc des nombres dérivés inférieurs, en valeur absolue, à tg a] C{ et C sont rectifiables.

(*) Pour f~ 1 on retrouve l’un des exemples que traite M.r Hilbeut.

Intégrale , longueur , /l/re.

Nous avons trouvé précédemment que C étant rectifiable son aire minima est la limite de celles des polygones inscrits dans C et tendant vers C. Soit P. un polygone inscrit dans C , soit n le nombre de ses sommets. Désignons par Sp celui des polyèdres à faces triangulaires qui a P, pour frontière, w -f -p sommets (sur P, ou non) et dont l’aire est la plus petite possible.

Sp existe et peut théoriquement être obtenu par des opérations algébriques car tous les polyèdres à n -f- p sommets peuvent se ramener par des déplacements continus des p sommets variables à un nombre fini de types, et de tels déplacements font varier l’aire d’une façon continue.

S p ne peut avoir aucun angle polyèdre convexe, ou plus généralement aucun angle polyèdre qu’un plan P puisse couper suivant un contour fermé. Soient en effet S le sommet d’un tel angle, F le contour formé par ceux des côtés, ne passant pas par S , des faces qui passent en S. F est tout entier d’un même côté de P, donc l’angle polyèdre obtenu en joignant les sommets de F à la projection s de S sur P a ses faces respectivement plus petites que celles de l’angle polyèdre considéré.

Sp ne peut être coupé par un plan P suivant une courbe fermée; en effet, cette courbe limiterait sur Sp une surface 2, soit M un point de 2, déplaçons le plan P parallèlement à lui-même du côté de M jusqu’à la position limite n qu’il ne peut franchir sans cesser de rencontrer 2. Tous les sommets de 2 qui sont dans 11 sont des sommets d’angles polyèdres qui peuvent être coupés par un plan suivant un contour fermé {*), ce qui est impossible.

Considérons maintenant le plan P d’une face et montrons qu’il rencontre le contour P,, en trois points au moins. Tout d’abord il est évident que P contient au moins deux points de P,, sans quoi on pourrait couper la surface suivant une courbe fermée par un plan voisin de P. Supposons que P ne contienne que deux points de P,, .4 et B. Soit y le contour d’un groupe de faces contenues dans P. La section de la surface par P se compose de groupes de faces et d’une ligne brisée joignant .4 et P à tous ces groupes de faces. Il existe donc une ligne brisée tracée sur la surface et dans P, joignant A au contour y, soit Au et une ligne analogue B /3. Joignons a à / 3 par une ligne / intérieure à y et soient A Mt P, .4 M2 B les deux parties de P, . Les

(*) Gela n’ést pas absolument exact. Les sommets de 2 qui sont dans n sont seulement tels que chacun des angles polyèdres correspondants est tout entier d’un même côté d’un plan; mais en remarquant que la frontière de 2 n’a pas de point dans n, on démontrerait l’existence d’angles polyèdres ayant le propriété indiquée.

Lebesgue:

contours A M , /3 l a A , A M2 B fi l * A, ne traversent pas le plan P il en est donc de même des portions de Sp limitées par ces contours. Or sur l’une des deux lignes brisées a, /3, en lesquelles est divisé y, on pourra trouver un sommet Q tel que les deux côtés qui aboutissent en Q forment un angle aigu. On voit sans difficulté qu’un plan voisin de P coupe l’angle polyèdre Q suivant une courbe fermée; ce qui est impossible.

Dans ce qui précède nous n’avons rien supposé sur le polygone P, , il nous faut tenir compte maintenant du fait que, comme (7, il vérifie les deux conditions énoncées au début de ce paragraphe.

La projection de Sp est alors le domaine du plan des xy limité par la projection pl de Pii chaque point de ce domaine étant projection d’un seul point de Sp (*). L’équation de Sp sera donc de la forme

z = f(xi y),

f ayant des nombres dérivés au plus égaux, en valeur absolue, à tg a et étant définie dans le domaine limité par p,.

Considérons l’une des surfaces Sp d’indice assez grand pour que son aire diffère de l’aire minima de P, de moins de e,. Ajoutons à Sp les triangles qui ont pour bases les côtés de P, et respectivement pour sommets les milieux des arcs que limitent sur C les bases correspondantes.

La nouvelle surface a un contour P', sur lequel nous opérons comme sur P,, et ainsi de suite.

Nous sommes conduits à une surface S 1

z = fi (*, y\

/j étant définie dans c, et ayant ses nombres dérivés inférieurs à tg a. Si a , est l’aire de la portion du plan comprise entre c et pn l’aire de S* diffère de l’aire minima de P, de moins de

cos a

Choisissons une suite de polygones Pn P8 . . . inscrits dans C et tendant vers C et des nombres e,, e2 . . . décroissant jusqu’à zéro. A P, on fait correspondre une surface S'* [z = fi y)] dont l’aire diffère de l’aire minima

(*) S’il en était autrement on pourrait en effet trouver un plan parallèle à o; qui couperait Sp suivant une courbe fermée.

de P; de moins de

ai

cos «

La méthode de M.1' Hilbert appliquée aux fonctions fj{x) y) nous permet de trouver une surface S

limite de certaines des surfaces SK £; et a ; tendant vers zéro, les aires des Si tendent vers l’aire minima de C, qui est donc l’aire de S . Nous savons de plus que les nombres dérivés de f sont, en valeur absolue, au plus égaux à tg a.

Nous avons donc prouvé, dans un cas particulier, l’existence d’une solution pour le problème de Plateau généralisé que nous nous étions proposé.

98. L’exemple précédent nous montre que les raisonnements du § 95 ne suffisent pas pour prouver immédiatement l’existence d’une surface rendant minimum la fonction y (S), tandis qu’ils suffisaient dans un cas étendu pour

la fonction y (C). En traitant le cas particulier relatif à l’intégrale

nous allons voir comment l’on peut dans certains cas démontrer l’existence de l’élément limite. Les raisonnements suivants s’appliqueront toutes les fois qu’on voudra démontrer l’existence d’une surface limitée par un contour donné C et rendant minimum f (S) si l’on sait:

1. ° qu’il existe une suite de surfaces S,, S* . ■ . dont les aires sont bornées et telles que a- (St) tende vers m <p (S) ,

2. ° que la distance de deux points de S ,• reste, quel que soit ?, inférieure à un nombre fixe /, qui tend vers zéro avec le plus grand diamètre de C.

99. Soit C le contour donné. Soient S, , S2 • • • des surfaces polyédrales dont les aires tendent vers l’aire minima de G et dont les contours P, , P2 . . . tendent vers C; nous supposerons que ccs contours n’ont aucun côté parallèle à l’un des plans coordonnés, et que les surfaces Si n’ont aucune face parallèle aux plans coordonnés, ce qui est toujours légitime.

Divisons C à l’aide d’un nombre fini de points A, B , C... K , en arcs tels que la projection sur o x d’un quelconque de ces arcs couvre un segment de longueur au plus égale à s; soient Ai} Bt . . . K; les points de division correspondants sur Pi.

Leb es g ne:

Coupons par un plan parallèle au plan des y z passant entre A et B , la section de Si par ce plan se compose d’un certain nombre de lignes brisées. Le minimum de la somme des longueurs de ces lignes reste, quel que soit i, inférieur à un nombre fixe Z, ce minimum est atteint pour une certaine abscisse xt du plan sécant P [xi). Soit L , celle (ou l’une de celles) des lignes brisées, qui composent la section ( S P (x,)), qui joint un point situé entre Ai et Bt à un autre point de P (x Les abscisses et les longueurs des L, forment un ensemble borné, donc il est possible de choisir une suite de surfaces S; pour lesquelles les L ; aient une courbe limite L(*). Cette courbe L est située dans un plan parallèle à y o z passant entre A et B et joint deux points de C.

On voit que l’on peut, parmi les Sif choisir une suite SJ, SI... telle que certaines sections de ces surfaces par des plans parallèles à y o z aient des courbes limites. Ces courbes limites sont rectifiables, chacune d’elles joint deux points de C; il existe au moins une extrémité de ces courbes entre A et B, au moins une entre B et C, etc.

Soient a, b deux extrémités consécutives sur C de deux, courbes limites a, /3; les plans de a et /3, qu'on peut toujours supposer distincts, sont distants d’au plus 2 g. Soient c et d les deux autres extrémités de « et /3, et soient ah bh Ci, dn a» > @i les éléments correspondant à a, b , c, d , a, /S sur S*. Le contour /3t-, «t- limite sur S\ une surface; d et c sont donc

deux points consécutifs sur C sans quoi dt et ct- ne seraient pas consécutifs sur S'u non plus clue ai bi ce qui est impossible. Il en résulte que la projection de l’arc c d sur ox couvre un segment de longueur au plus égale à 2g.

Le contour , jS,-, d. Ci , at- est tout entier compris entre deux plans parallèles à y o z, P;, Qn que nous prendrons aussi rapprochés que possible. Remplaçons la portion - de S\ limitée par le contour considéré par ce que l’on obtient en remplaçant les parties de 2 non comprises entre P ( et Q; par les parties de ces plans limitées par les courbes ( P, , 2', (Ç4-, I).

En faisant de même pour chacun des contours tels que /3,-, dt c,-, a; et chaque surface S\ nous obtenons uné nouvelle suite de surfaces (**) Sp . . . On peut dire que le contour C est la somme des contours Cj1), CP . . . tels

(*) C’est le raisonnement qui nous a déjà servi § 61.

(**) Cette opération introduit des faces parallèles aux plans coordonnés, mais cela sera sans importance pour la suite.

que a b, d c, a; chacun de ces contours est compris entre deux plans parallèles h. y o z distants de moins de 2 e. Au contour C'P correspond sur S[l) un contour qui limite une surface Sj'J.

En raisonnant sur chacune des surfaces St. J], comme sur S',-, et en faisant jouer au plan zox le rôle du plan zoy. On est conduit à la considération de contours rectifiables Cf\ dont C est la somme; ces contours sont

formés d’arcs des Cÿ] et de courbes situées dans des plans parallèles à z o x, chacun d’eux est compris entre deux plans # = const. distants de moins de 2 e et deux plans y = const. distants de moins de 2 e. On est aussi conduit .à des surfaces S(,2', Sf] . . . dont certaines courbes tendent vers C 12) . . . ,

les morceaux limités par ces courbes étant contenus dans les plus petits prismes quadrangulaires, de faces parallèles à zox et y o z, qui en contiennent les frontières.

Remplaçant enfin le plan zox par le plan x o y , on est conduit à des contours

0|,| , Ci)2 J • • •

rectifiables que l’on peut enfermer dans des cubes de côté 2 e, dont C est la somme et à une suite de surfaces

dont certaines courbes tendent vers ces contours; les morceaux ainsi limités sur ces surfaces étant enfermés dans les plus petits parallélépipèdes, de faces parallèles à x o y, y o z, zox , qui en contiennent les frontières.

En raisonnant sur les surfaces S,, comme sur les surfaces S{ , et en remplaçant £ par nous sommes conduits à la suite <S2)1- ; puis en remplaçant

e par — à la suite S3U et ainsi de suite. Nous aurons aussi les contours C2,,-,

Ceci posé, considérons un contour c fermé sans point multiple du plan («, v) ; nous le faisons correspondre au contour C. Divisons le domaine limité par c en domaines partiels à l’aide de contours sans point double c„„ c,,2 . . . Nous supposons ces contours choisis de manière qu’il soit possible, pour i assez grand, de faire correspondre Sni au domaine limité par c de façon que les contours de SiV- qui tendent vers C,,, C,,2 . . . correspondent à c,,,, c,,2 . . .

Nous avons de la sorte une correspondance entre le réseau des contours CiU Cni ... qui respecte la correspondance déjà établie entre C et c. Nous

Lebesgue :

traçons des contours c2,n c2,, . . . que l’on peut faire correspondre à C2,,, sans détruire les correspondances déjà établies, et ainsi de suite.

Montrons qu’il est possible de définir dans le domaine limité sur c, trois fonctions continues par rapport à l’ensemble (u, v) :

par la condition qu’à tout point d’une courbe c;,j elles fassent correspondre le point homologue de Chj. f , <p, <p sont actuellement définies pour l’ensemble E des points de cnj ; il suffit donc de démontrer qu’à tous les points de E, suffisamment voisins d’un point choisi arbitrairement (u0, v0) correspondent des points distants entre eux de moins de

Choisissons n assez grand pour que 2 — ^3 soit inférieur à Le point

(ua, v0 ) est à l’intérieur d’un contour cnii ou sur plusieurs de ces contour cnyii, cn,;2 , . . . ('n,i A tous les points de E intérieurs à Cn,ii ou sur Cn,i, correspondent des points, soit intérieurs au plus petit parallélépipède de faces parallèles aux plans coordonnés et qui contient Cnv\ , soit situé sur ce parallélépipède; donc des

points qui diffèrent de moins de — ^ 3 . Et comme tous les cn,ia ont au moins

un point commun, à tous les points intérieurs à la somme des domaines qu’ils limitent correspondent des points distants de moins de y.

Les fonctions / , ç, p définissent une surface S limitée par C et sur laquelle sont tracés les contours rectifiables C,j.

L’aire de cette surface est la limite, pour n infini, de la somme des aires minima des contours Cn,;. Cette somme est au plus égale à la plus petite limite des aires des surfaces SnU. Mais l’opération qui permet de passer de Sn S2 . . . à SiU , S n’augmente pas la plus petite limite des aires; de même on n’augmente pas cette limite en passant des aux Ss,t-, etc., donc l’aire de S est au plus égale à l’aire minima de C. D’ailleurs l’aire de S ne peut être inférieure à cette aire minima, nous avons donc démontré l’existence d’une surface d'aire minima limitée , par un contour quelconque donné.

100. Tl nous reste à nous demander si la solution obtenue est l’unique solution du problème.

La surface définie par

x = 2[p~ y) cos V = 2 [p - tt) sin "7 « = °>

pour 1^/3^= — , et par

Ji

pour 1 p S: 0, est rainima pour son contour qui est la circonférence de

rayon 1 du plan des x y et cependant ce n’est pas une surface plane.

Cet exemple montre que, dans le cas des surfaces, si l’un des problèmes que nous faisons correspondre aux problèmes ordinaires du calcul des variations admet une solution, il en admet une infinité.

101. Nous avons déjà remarqué combien il était plus difficile de démontrer l’existence de l’élément limite pour cp (S) que pour çp (C); nous pouvons apercevoir maintenant une différence nouvelle. Tandis que, pour le cas de la courbe, la nature des conditions aux limites importait peu, dans le cas de la surface la difficulté du problème varie avec la nature de ces conditions.

Supposons en effet qu’il ne s’agisse plus de trouver la surface d’aire minima passant par un contour fixe donné, mais supposons qu’une partie de ce contour soit assujettie à rester sur une surface S. En reprenant les raisonnements précédents on est conduit aux fonctions

définies pour tous les points intérieurs à c et continues en («/, v ) pour ces points; mais l’on ne sait rien pour les points de c. L’ensemble des points correspondant à ceux d’un domaine limité par c, , intérieure à c, forme une surface; quand c, tend vers c l’aire de cette surface tend vers la valeur minima des aires des surfaces répondant à la question, mais nous ne savons pas si la courbe correspondant à c, a une limite.

102. Il serait intéressant de savoir quelles relations il y a entre les surfaces d’aire minima que nous avons trouvées et celles qui satisfont à l’équation aux dérivées partielles

(1 -{-q-)r — 2pq s + (1 -j-p5) < = 0. (1)

Remarquons d’abord que si le problème de Plateau, tel qu’on le pose dans la théorie des surfaces, admet une solution, cette solution convient aussi au problème généralisé. En effet, par hypothèse il n’existe pas de surface, telle que p , g, r, s, t , existent et soient continues, passant par le contour donné et ayant une aire plus petite que la surface S solution du problème non généralisé; s’il existait uue surface S, d’aire inférieure à celle de S , il

Lebesgue:

existerait une surface 2, d’aire aussi voisine qu’on le veut de celle de S{ , passant par le contour donné, et telle qu’en tous ces points, sauf peut-être sur le contour, p, g, r, s, t existent et soient continues (*). Il y a donc contradiction.

Il faudrait rechercher maintenant si, parmi les surfaces solutions du problème généralisé, ne se trouve pas une surface satisfaisant à l’équation aux dérivées partielles (1). La méthode qui paraît la plus naturelle consiste à démontrer successivement l’existence et la continuité de chacune des dérivées nécessaires à l’établissement de la formule (1). Les raisonnements qui suivent montrent que dans certains cas des considérations élémentaires permettent d’aborder cette question.

103. Nous supposons que le contour donné C satisfait aux conditions du paragraphe 97 et que, de plus, il est tel que S, une des surfaces d’aire minima construites comme il a été dit à ce paragraphe, ne soit rencontrée par aucune droite en un nombre infini de points.

Ces conditions sont compatibles, puisqu’elles sont satisfaites quand 5 est une surface analytique et C un contour assez petit tracé sur cette surface.

On a vu que S est de la forme z — f(x , y ), les nombres dérivés de z étant inférieurs à un certain nombre Jlf, quand on se déplace sur une courbe rectifiable quelconque du plan des x y, et que l’on considère s comme fonction de la longueur s parcourue sur cette courbe.

Coupons S par un plan quelconque P parallèle à o z, il existe une courbe section dont l’équation est z — <? (s). Cette courbe admet en un point quelconque A deux demi-tangentes, c’est-à-dire que a des dérivées à droite et à gauche; s’il en était autrement, si par exemple il n’existait pas de dérivée à droite, la droite issue du point A, située dans P, et faisant avec le plan

des x y un angle dont la tangente est — - > (A a et la étant les nom-

bres dérivés à droite de <j> sont inférieurs à Jf), rencontrerait la courbe section, et par suite S, en un nombre infini de points (**).

(*) On pourra obtenir cette surface -, en modifiant celle d’un des polyèdres qui servent à définir l’aire de 6\.

(**) C’est uniquement par cette conséquence qu’intervient dans le raisonnement la condition: S n’est rencontrée par aucune droite en un nombre infini de points. Les demitangentes peuvent d’ailleurs exister sans que la condition précédente soit vérifiée. J’ai énoncé cette condition parce que j’avais cru démontrer qu’elle était remplie, lorsque le

104. Soit a la projection de A sur le plan des x y. Traçons de a comme centre une circonférence r de rayon r, soit y 'la courbe de S qui se projette en T, et soit y, l’homothétique de y, A étant le centre d’homothétie et le rapport étant tel que la projection de y, soit la circonférence T, de rayon 1.

Soit z — (s) l’équation de y,, s étant l’arc de r, . Si l’on fait tendre r vers zéro, s restant fixe, ^ tend vers une valeur limite y (s), z = y (.9) définissant l’ensemble des points qui se projettent sur r, et sont situés sur les demi-tangentes précédemment trouvées. Mais tp (s) a ses nombres dérivés inférieurs à M, de là se déduit immédiatement que <// (s) t$nd uniformément vers y (9) ; donc y (9) est continue, les demi-tangentes forment un cône A.

Désignons par e (p) le maximum de | y (9) — (s) J quand r est inférieur

ou égal h p, e (p) tend vers zéro avec p.

Remarquons encore que y (9) ayant ses nombres dérivés inférieurs à M, la courbe z = y (s) est rectifiable; A est applicable sur le plan, donc quarrable.

Soit 1 la courbe de A qui se projette sur r. Désignons par s et n les aires des domaines S' et A' limités sur S et A par les courbes rectifiables

y et 1. Nous allons chercher une limite supérieure de la quantité — | 9 — | .

Soit y) un nombre positif arbitrairement choisi ; pourvu que l’on trace sur A assez de génératrices on partage A' en morceaux tels que la somme des aires minima des contours de ces morceaux diffère de l’aire A' de moins de r* y\. Alors en conservant les mêmes génératrices il en est de même quel que soit r.

Les cylindres qui projettent sur xy les contours qui divisent A' en morceaux, tracent sur 5" des contours qui divisent cette surface en morceaux correspondants. L’aire de S est exactement la somme des aires minima des contours de ces morceaux. Or les aires minima de deux contours correspondants diffèrent de moins de l’aire que limitent ces deux contours sur le cylindre parallèle à 0 z sur lequel ils sont tracés. Si donc l r est la somme des longueurs des bases, dans x 0 y, de ces cylindres on a :

| 9 — cr | < r2 y] + l r . r e (r).

Dans cette formule l est indépendant de r, mais dépend de >7, e (r) tend vers

contour satisfait à certaines conditions, à l’aide de raisonnements élémentaires sur les polyèdres qui servent à définir S, § 97. Je considère encore comme probable que, au moins pour des contours simples, de tels raisonnements conduiraient à la démonstration, bien que je ne sois parvenu dans aucun cas à cette démonstration.

Lebesgue :

zéro avec r; donc, à condition de prendre r assez petit, on a

et cela quel que soit rj.

r étant ainsi choisi, remplaçons S' par la surface A' et la bande que limitent y et X sur le cylindre parallèle à o z qui les contient. L’aire de cette nouvelle surface S\ est au plus s 4- 2 yj r5 -f- 2 w r2 s (r); donc si r est assez petit elle est inférieure à s-f-3>?r2.

Ceci posé je dis que A est une surface minima. En effet, s’il n’en est pas ainsi, on peut remplacer A' par une surface Ai limitée à y et d’aire plus petite; soit a — K'2rs son aire, K est indépendant de r. Par ce changement on remplace S\ par S'2 dont l’aire est au plus s -f (3 — K*)r*.

Mais puisque yj peut être pris aussi petit que l’on veut, si K n’est pas nul S n’est pas une surface d’aire minima. Donc K est nul, A est une surface d’aire minima.

105. Il nous reste à rechercher quels sont les cônes A d’aire minima. Appliquons A sur le plan et traçons sur la surface ainsi développée une circonférence L,, soit L cette courbe avant le développement. Si A n’est pas un plan {*) on peut trouver sur L deux points A, B tels que la distance A B ne soit pas égale à la distance des points correspondants A,, Bt de L,. Considérons le cône - de sommet A et de directrice L. Soient a et a' deux points de L voisins de A, de part et d’autre de A\ développons la portion de ce cône qui comprend A B et qui est limitée par A a et A a'. Soit A2 B2 le développement de A B , sans faire varier A2 B2 faisons tendre a et a vers .4, ce que nous obtenons ainsi peut être appelé le développement du cône 2, ouvert suivant sa génératrice de longueur nulle (**).

Soit L2 le développement de L, l’aire limitée par L2 dans le développement est l’aire que limite L sur 2, or cette aire est plus petite que celle que limite L sur A, ou L, dans le plan, puisque L2 n’est pas une circonférence.

(*) On sait que A est de la forme Z — f (x, y), on n’a donc pas à examiner le cas où A recouvrirait plusieurs fois un plan.

(**) Ces précautions seraient inutiles si l’on démontrait que L a des tangentes. En s’appuyant sur la condition: S n’est rencontrée par aucune droite en un nombre infini de points, on démontre que le long dé chaque génératrice de A existent deux demi-plans tangents. Or l’ensemble de ces deux demi-plans doit former une surface minima, donc A a des plans tangents, L a des tangentes.

Donc A est un plan, la surface S admet des plans tangents.

La démonstration précédente suppose établi que, de toutes les courbes isopérimètres, la circonférence est celle qui enferme la plus grande aire et qu’il n’existe aucune courbe de même périmètre enfermant la même aire que la circonférence. Il existe plusieurs démonstrations rigoureuses de cette propriété; pour l’application précédente il est nécessaire, ce qui est facile, d’étendre ces démonstrations au cas où les courbes seraient tracées sur une surface de Riemann ayant des lignes de croisement issues de A2 , car nous n’avons pas démontré que C2 ne tournait pas autour de A2.

Vu et approuvé:

Paris, le 10 février 1902.

Le Doyen de la Faculté des Sciences,