Nous venons de voir que Téquation

dT

résulte de la forme particulière des quantités P et Q, puisque, pour la démonstration de cette formule, nous avons remplacé Q par X, y, z, et P par iwx', fny\ mz\

' Or, M. Mathieu a démontré que cette formulé a lieu toutes les fois que la fonction H se compose d'une fonction — U ne renfermant que les variables Q, et d'une fonction T homogène et du second degré par rapport aux variables P, cette fonction T pouvant contenir les variables Q d'une manière quelconque. En effet, la fonction T étant homogène et du second degré par rapport aux quantités P, on a :

^ ^ DT ^ DT DT î2T = P,— + P, — -H... ^ Pj»

DP| DPj DPg,

Mais l'équation (4) peut être mise sous la forme :

— -(fP, ■+--7-0PÎ H H --7-°'^»»

dt dt dt

Or, nous supposons qu'il existe des relations entre les variables Q; mais il n'en existe pas entre les variables P. Par conséquent, les variations dP sont indépendantes. D'ailleurs, T étant une fonction des Pj, Q,, et Û ne renfermant pas les P., nous aurons, en égalant les coefficients des dP, dans les deux membres, les équations :

dt dt DT

(25) par conséquent, il vient :

MaiSi en vertu de Téquation (6), qui a lieu dans le cas actuel

comme précédemment (*), on a :

PiQÎ -^ PjQi -*■ - -*- Ps»Qi, =-Pi?î -^ Mi "^ ••• •*- Miî

par conséquent,

2T= p,?; -H Mi -^ ^ M*>

d'où :

2(îT = pi(yqf; -*- p^q^ -¥■ ••• -4- pt^q't -¥■ q[^i -♦- çid'pj h- ••• -♦-^^(yp*.

D*ailleurs, la première des équations (8) nous donne :

•"^Dp, Dp/

par suite,

dT dT

2(rr = piJç'j -+- ... -^pi^qt ^ ^Pi -♦- ••• H <î|p*.

Dpi Dp*

Or, en supposant T exprimée en fonction des Çj, p., on a :

^T DT /dT \ ^ /dT \ ^ ,,^^

<rr = — (îpi H ^ — Jii* ^ — Uûf, ^ ... H- [—Uq,{*),

2(p, ' Dp* '^ \^J ^ \^J ^

et, en retranchant cette équation de la précédente, il vient :

^T==pi^9i -♦- ••• •\-

Mais, T étant considérée comme une fonction des 9<, 9o on a :