DT DT DT , DT

(TT =- — <yqf, + ...-*- -- ^g* -^ — (î^, H H — ^„\

(*) Toates les équations jusque (8) ont lieu sans qû*il soit nécessaire de particulariser P et Q.

(**) Nous désignons par ^t-- j la dérivée par rapport à qi de la fonction T, supposée exprimée en fonction des Pi^qi*

(26) en égalant les deux valeurs de dT, il vient :

et Ton voit que cette équation a lieu indépendamment de la forme f)articulière des Q,, P^, c'est-à-dire que pour obtenir celte équation nous n'avons pas, comme précédemment, remplacé les Q, par x„ y,, z,-, et les ?< par wî|Xi, tw^yj, w?iz|.

t5. Remarque I. — L'équalion résultant de l'égalité des deux expressions de dT,,nous montre que Ton a :

i^qj ^qi

(rfg ) ^^^^^ '^ dérivée partielle de T considérée comme fonction des qi, Pi, tandis que ^. est la dérivée partielle de T considérée comme fonction des 9,, ç- (n*" is).

te. Remarque IL — Nous pouvons encore observer que réquaiion (7) présente certains avantages sur les équations (8). D'abord, l'équalion (7) est applicable dans le cas où il n'y a pas de fonction de force, tandis que les équations (8) exigent l'existence d'une fonction de force. En* effel, pour obtenir les équations (8), on doit remplacer dans (7) 5H par la valeur

^i ^ ^qk ^Pi ^Pk

ce qui n'est possible que si l'on a H = T — U, c'est-à-dire s'il existe une fonction de force U.

Lorsqu'il n'existe pas de fonction de force, l'équalion (7) subsistera encore, pourvu que Ton convienne que dans celle équation on ail :

expression dans laquelle $\] n'est plus une différentielle exacte d'une fonction des a?i, y., z., mais une notation pour représenter l'expression (n" s)

Xo Y., Z. étant les composantes des forces. Mais, dans ce cas, SV n'étant plus une différentielle exacte, on ne pourra plus écrire :

^H = — êOi ^ ... -4- — êqt -♦- — âpi -♦- ... + — «yp*,

et, par conséquent, on ne pourra plus déduire de (7) les équations (8).

Proposons-nous de trouver par quoi Ton devra, dans le cas • actuel, remplacer les équations (8). A cet effet, observons que, si Ton remplace les variables Q^, c'est-à-dire x., y., z^ par les variables q^, gj, ... g», il vient :

et, en substituant dans le second membre de l'équation (7), on a, pour ce second membre :

^H = — «Tg, H- •• • H- -»- (For* H (?»!-♦-..•-< dp»

Dqfi ^ Dg* Op, Dp*

— G.ryqf, — Gî^g, G*(y(7* ;

réquation (7) devient alors la suivante :

dqx ^ dqt rfp, rfp.