DT DT DT DT

D^i ^ î)?* î)pi ^Pk

— Gjeyqr, — GjJçj — • G*^^*,

et, en égalant les coefficients des mêmes variables dans les deux membres, on obtient les équations :

dq, DT ^ \

dt dpi

—- h- Ui •

dt dfj

Ce sont les équations qui remplaceront les équations (5) dans le cas où il n'y a pas de fonction de force (n"" 19).

99. Uéquation (7) présente un autre avantage sur les équations (8) : c'est qu^elle a encore lieu, même dans le cas où les variables qt satisferaient à des équations de condition.

En effet, considérons tn' des équations (% m' étant plus petit que tu, ce nombre m' pouvant être nul. On pourra exprimer les variables Q au moyen de on — m' variables que nous désignerons par 9i , 9si * • • 9*9 ^^ posant k^=^Zfi — m\ de manière que ces expressions des variables Q satisfassent identiquement aux m' équations :

En substituant ces expressions dans les m — m' équations (2) qui n*ont pas été employées, nous aurons m — m' équations de condition entre les g,.

En posant alors :

on parviendra comme précédemmeiSt à l'équation :

■— <?/), -f- •••-*- -j- op* — -r- oqi — •• âqt = tfH; (7)

ai ai al ai

mais, cette fois, les variations iq^y dp< ne sont plus indépendantes, et, par conséquent, on ne pourra plus déduire de cette équation (7) les équations (8).

Les variables p, sont encore déterminées par l'équation :

En effet, les variations $q n'étant plus indépendantes dans l'équation (14), on ne pourra pas déduire de celte équation la suivante :

p. = P, — - H h Pj. -— .

Cependant, on pourra poser comme définition de p/:

P. = Pi— --*- Pj-- -< ^-PB«— -• (15)

On aura ainsi k équations, pour <»=1, â, ... k, et ces k équations entraîneront comme conséquence Téquation (14). D'ailleurs, Féquation (15) nous donnera, comme précédemment,

Mais il est bon d'observer que, dans le cas actuel, Téquation (1 4) est la conséquence de l'équation (15), tandis que, dans le cas précédent, Téquation (9) était la conséquence de l'équation (5).

99. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que les liaisons sont indépendantes du temps, ainsi que la fonction U, ce qui nous a permis de remplacer les déplacements virtuels par les déplacements effectifs. Lorsque les liaisons renfermeront explicitement le temps, celte opération ne sera plus possible, et nous ne pourrons plus déduire l'équation (6) de l'équation (5). Nous allons voir comment on doit, dans ce cas, modiGer Tanalyse qui précède.

Observons d'abord' que les équations de liaisons équivalent aux équations qui expriment les 5n variables Q en fonction des Zn— m^=^k variables 9, et qui actuellement renferment le temps :

Qi = 6,(^ qi\ qfj, ..., qr*), Qj = 0s(f, qi, gfj, ..., qt),

En éliminant 9^, q^, ... q^ entre ces 3n équations, on obtiendrait un système de m équations équivalent aux m équations de liaisons données.

' Or, les variations SQ de Féquation (5) s'obtiennent en faisant varier q^, 9^, ... g^^, mais t restant constant (').

On a donc :

^i = c~ ^qi ■+- — (îqr, -+- .-. -^ — âqt] (*) C'est ce qui résulte du principe des vitesses virtuelles.

re pari, si l'on désigne % la dérivée parltelle de â^par , il vient :

ariatioRs

df étant arbitraires, nous pourrons poser

^. = qA,

} les valeurs de » égales 4 1,2....*.

roDS alors :

e, l'équation

>,Sq, H- ..

+ p.J,.P,JQ, + •• -I-P..JQ», (5

era:

OQ (4) devient alors la suivanle :

* lit

]ira de là, en effecluanl les opérations du premier :omme nous l'avons Tait pour obtenir l'équation (7), on qui conservera la même forme que (7), pourvu que e Hen:

H — P.9j — P,^ P,.fli..

II en résulte donc que les équations d'HamiUon (8)subsisterout

dans le cas actuel, pourvu que Ton y fasse le même changement.

Quant aux variables p, elles seront données par les équations

comme précédemment.

Principe d'Hamilton.

m. Le principe d'Hamilton peut être énoncé de la manière suivante (*) :

Soient T la demi-somme des forces vives des différents points du système, $\] ^expression du travail virtuel des forces extérieures^ on aura :

f ((TT -4- JU)dt = 0, (i)

(Iq et i désignant deux époques données), pour tous les dépla* céments compatibles avec les liaisons du système, pourvu que l'on donne les positions initiales et finales du système, ou que Von suppose nuls les déplacements relatifs aux époques \q et L On exprime quelquefois ce principe par la formule :

Mais, la première formule est plus générale; car, lorsquHI n'y a pas de fonction de force, U n'a aucun sens.

Le principe d*Hamil(on se distingue de celui de la moindre action, en ce que, dans ce principe, U peut renfermer explicitement le temps, ce qui n'a pas lieu pour celui de la moindre action. En effet, le principe de la moindre action exige que le

(*) Jacobi , Vorlesungen ûher Dynamik, p. 58.

théorème des forces vives existe, et ce théorème des forces vives permet d'éliminer le temps. Or, le théorème des forces vives n*a lieu que si U ne renferme pas explicitement le temps. Considérons le premier membre de Péquation (1) :

Noos aurons :

/"jTd< =:i yÎ2 <*'•' ■*- »'' ■*■ '^•')'''

fl""{'^'-û-*-y'iû^'

'irl

Intégrons entre les limites ^o et ^ en observant que les positions de tous les points étant données à Finstant initial et à rinstant final, dx^, dy^, dz^sont nuls aux deux limites; par conséquent, le terme en dehors du signe /* est nul aux limites, et il vient :

ou bien, en remplaçant dU par sa valeur :

on a :

Or, si $Xt^ dtfi, izi sont des déplacements compatibles avec les liaisons du système, le second membre est nal en vertu des équations du mouvement, et Ton a :

/ (6T -t- S\])df. = 0. (3)

• Remarque L — Il est facile de déduire de Téquation d'Hamilton les équations de Lagrange sous la forme qui nous a conduit aux équations canoniques (n"* 9).

En effet, supposons qu'aux coordonnées x^, y^, z^, on substitue d'autres variables g^, q2^"-(lk, et introduisons ce changement de variables dans la formule (5).

D*abord, T qui était primitivement une fonction des x|, y'<, jzdeviendra, par la substitution, une fonction des 9, et des 9',, et nous aurons :

d'autre part, on a :

Par conséquent, la formule (3) nous donne :

Mais, en intégrant par parties, on a :

d'où, en intégrant entre les limites t^ et ^ et observant que les variations dg, sont toutes nulles aux deux limites :

( 34) On a donc, en substituant dans l'équation (4)

Q.Uq.fit^O,

et, par suite.

Sq, = 0.

Cesl la formule de Lagrange que nous avons trouvée précédemment (n** 9).

31. Remarque IL — Le principe d'Hamillon, comme celui de la moindre action, ne fournit qu'une propriété du mouvement; il ne donne pas d'intégrale du problème.

39. Remarque IIL — Le théorème d'Hamilton est distinct de celui de la moindre action. L'intégrale dont la variation est nulle, dans ce nouveau principe, diffère seulement, comme nous le verrons |)lus loin, de celle de la moindre action, dans le cas où le principe de la moindre action a lieu, par l'addition d*un terme proportionnel au temps. Mais, les conditions sous lesquelles la variation est nulle sont ici complètement changées, et le temps du trajet qui, dans le principe de la moindre action, ne jouait aucun rôle, est actuellement une des données de la question, tandis jque la constante des forces vives qui était donnée alors, ne l'est plus dans le nouveau principe.

Si l'on applique, par exemple, les deux théorèmes au mouvement elliptique d'une planète, dans le premier (celui de la moindre action) le chemin réellement parcouru est comparé à tous les chemins possibles, ayant les mêmes extrémités, et pour lesquels la vitesse en chaque point est exprimée par l'intégrale des forces vives ; dans le second, ce chemin est comparé à tous les chemins parcourus d'une manière arbitraire sous la seule condition que la durée du trajet ait une valeur donnée.

Équation différentielle partielle d'Hamillon.

33. Le principe d'Hamilton nous apprend que, s'il existe une fonction de forces U, et si l'on donne les valeurs initiales et finales des coordonnées, c'est-à-dire si les positions extrêmes du système restent fixes, la variation de l'intégrale

\])dt,

doit s'annuler en'vertu des équations du mouvement (n"" <99).

Supposons maintenant que les positions initiales et finales ne soient pas fixes (*); alors les variations ôq^ ne sont pas nulles pour les limites ^o ^^ ^- ^^^^ allons voir que si Ton développe la variation

l])dt,

il n'y a que la partie de cette variation, située sous le signe /^qui soit nulle, en vertu des équations canoniques. Cette variation ne renfermera donc aucun signe y^ ou, ce qui est la même chose, la variation de T h- U sera une différentielle exacte.

Nous pourrons mêm^ supposer, dans la démonstration, que la fonction de force U renferme explicitement le temps.

Supposons les Zn coordonnées a\, //,, Zf exprimées en fonction des* 3/1 — m = k variables nouvelles ^i, 92>--Ç*> de manière que les m équations de liaisons soient identiquement satisfaites.

Posons :

et V= / ,fdt;

(*) Jacobi, Vorlcsunyen ûber Dynamik, p. i4o.

nous aurons» puisque 9 est une fonction de g^, 93>**9*t 919 9s9 ••* 9*9 en prenant la variation de 9, sans faire varier t,

Par suite, si / est la variable indépendante,

Or, en intégrant par parties, on a :

si l'on intègre entre les limites Iq et ^ et si l'on désigne par un indice supérieur les valeurs correspondant à la limite inférieure /o» il ^îenl •

par suite,

Jqf/il,

/^iâ-

rfit

Mais, la fonction U ne renferme pas les 9^, puisque Ton a :

U = lonct. (t, qty . ., q^).

Par conséquent,

Dy D(T -¥- U) DT

Df ^ D(T -f- U) __ DT ou ^ D9, Ojf, Dy, D7/

{ 57) donc, la quantité sous le signey se réduit & :

Or, en vertu des équations différentielles du mouvement de Lagrange (n®9), tous les termes de cette somme sont nuls séparément, puisque k=^Zn — m : par conséquent, l'intégrale disparaît, et il vient :

84. Dans rbypothèse précédente (n"" 19), on donnait les positions initiales et finales, c'est-à-dire les valeurs initiales et finales des qt, et, par suite, Sqf = 0, (îg. = 0, et l'on obtenait :

=^^ f frff = 0;

c'est le principe d'Hamilton.

Dans le cas actuel, les positions extrêmes étant arbitraires, les iqi ne sont pas nuls aux limites, et, par suite, on a :

et le second membre n'est pas nul.

D'ailleurs, lorsque les positions extrêmes sont données, les variations dç, sont nulles aux limites i^ et /, et les constantes arbitraires introduites par Tinlégration sont complètement déterminées par les positions extrêmes des points du système, lesquelles sont données. Au contraire, si les positions extrêmes sont arbitraires, les 9,, 9-, et, par suite, les p^ qui sont liés aux 92 par Téquation (1), sont des fonctions de /, et des 2A: constantes arbitraires. La fonction

-^f fdt,

est donc aussi une fonction de t, et de ces 2& constantes arbitraires.

Les $qi sont uniquement les variations des qi provenant des variations des 2k constantes arbitraires.

La formule (2) donne la variation de Y, provenant des variations des constantes arbitraires.

Cette formule (2) démontre la proposition énoncée plus haut, que la variation de T h- U est une différentielle exacte. Observons que si l'on ne considérait pas t comme variable indépendante, on devrait ajouter au second membre de (2), le terme ^ St.

36. L'expression que nous venons de trouver pour la variation de V, va nous conduire à des résultats importants. En effet, les intégrales des équations du mouvement, au nombre de 2/^, renferment les 2A: quantités ç,, p^ le temps r, et les 2/c constantes arbitraires. On peut donc exprimer les variables 7^, p., au nombre de 2A:, et, par conséquent, aussi 9 en fonction de t et des 2A: constantes d'intégration, et, par une quadrature, on aura V en fonction de t et de ces 2A constantes d'intégration.

Mais, le choix des quantités qui forment les 2ft constantes est arbitraire. Si l'on prend, par exemple, les 2A: valeurs initiales q% p% on aura V exprimée en fonction de <, q% p<. Mais les 2A: -4- 1 variables r, 9., p„ et les 2& constantes 9?, p^ forment un système de 4A: + 1 quantités reliées les unes aux autres par 2A; relations qui sont les équations intégrales. On peut donc, au moyen de ces 2/: relations, exprimer 2ft quantités en fonction des 2A: -4- 1 autres. Supposons, par exemple, que l'on exprime les 2J: quantités p., Pj, eh fonction des2A: -4- 1 quantités t, qi, q% et substituons les valeurs des pJ, ainsi obtenues, dans la fonction y, qui, d'après ce que nous avons dit plus haut, est déjà exprimée en fonction de /, 9^, p<. Nous en déduirons la valeur de

V = f\dt,

en fonction de ^ g^, 9°.

Cela posé, si nous prenons la variation de V ainsi exprimée, sans faire varier t,,il vient :

En comparant les deux expressions de ^V, on obtient les équations :

• DV DV

pour 1 = 1, 2, ... A:.

Ces équations (3) qui donnent p, et p^ en fonction de t, (/j, g^, peuvent donc remplacer les 2A: équations qui relient les 4A: + 1 quantités /, q^, q^i, p„ pj. Elles sont, par conséquent, équivalentes aux 2ft équations intégrales : il sera évidemment facile de les former lorsque la fonction V sera connue eu fonction de t, 9,, 9?.

36. Il est facile de s'assurer que la fonction Y satisfait à une équation différentielle partielle du premier ordre que nous allons obtenir,

A cet effet, reprenons la formule :

= / fdt.

qui définit la fonction Y. On en tire :

Or, / est contenu dans Y d'abord explicitement, et, en outre, implicitement, puisque Y est fonction de g^, g^', ... g^, qui sont des fonctions de t. On a donc l'équation :

rfV __ DV ^ DV dqi

Dg, dt

à laquelle doit satisfaire identiquement la fonction Y.

(40) Mais, en vertu de (3), cette équation nous donne :

OU bien :

Si maintenant Ton pose :

l'équation (4) devient :

Telle est Téquation à laquelle doit satisfaire la fonction Y. Or, cette équation est une équation aux dérivées partielles du premier ordre en V.

En effet, les quantités q'i et les p< que nous avons introduites en posant :

forment deux systèmes de quantités qui peuvent être exprimées les unes en fonction des autres, et, en outre, en même temps en fonction de ^, q^.

Il résulte de cette liaison entre les q'i et les p, qu'une expression quelconque donnée des 5/^ + 1 quantités t, 9^ 9'o Po P^u^ être exprimée, ou bien en fonction des 2k -4- 1 quantités (, 9<, 9.-, ou bien en fonction des 2A: + 1 quantités t, 9,, p^. C'est ce qui arrivera précisément pour la fonction ^.

En effet, en vertu de (5), ^ est une fonction des 5A h- 1 quantités f, g^, 9- et p,. Par conséquent, d'après ce que nous venons de dire, on pourra exprimer ^ en fonction des quantités t^ qi, p., et, si l'on remplace, en vertu de la première des équations (3), les p^ par les quotients différentiels partiels —, il en résultera que ^ sera exprimée en fonction de /, g„ ^. L'équation (6) devient alors :

C'est réquation différentielle partielle d'Hamilton à laquelle satisfait la fonction

S^J^\dt^J\^

U)rfe,

considérée comme fonction de /, g^, 9^ Cette fonction V renferme donc k Constantes arbitraires; si l'on augmente Y d'une nouvelle constante additive, elle satisfera epcore à l'équation (7), et nous aurons ainsi une solution renfm*mant A + 1 constantes arbitraires, c'est-à-dire une solution complète.

L'intégration des équations canoniques donne donc une solution complète de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre (7).

39. Inversement, si l'on pouvait obtenir cette expression de V, on aurait, en vertu des équations canoniques.

et les secondes de ces équations, au nombre de ft, seraient les intégrales finies du problème.

Nous trouvons ainsi une liaison entre les deux problèmes de l'intégration des équations de la mécanique, et de l'intégration des équations différentielles partielles du premier ordre.

Tout ce que nous venons de dire serait encore vrai, si la fonction 9, au lieu d'être égale à T + U, désigne une fonction quelconque des quantités ^ 9., q'^ : c'est ce que nous verrons dans le chapitre suivant.

39. Remarque. — Dans les problèmes de mécanique, la fonction ^ prend une forme très simple. Pour trouver cette forme, reprenons l'équation

et remplaçons 9 par sa valeur T + U, U désignant une fonction des 9j seulement, ne renfermant pas explicitement le temps, et T une fonction homogène et du second degré des q^.

(42) On a d'ailleurs :

d'où :

par suite,

L'équation aux dérivées partielles est alors :

et foD a le théorème suivant :