Théorème. — Soient

DT . H = T-U, et Pi = —^

et supposons que H soit exprimée en fonction des p^, q,-; les équations différentielles du rnfiuvement sont alors :

dqi

dpi dt

Considérons le mouvement pendant l'intervalle de Iq à i^ et introduisons comme constantes arbitraires dans les intégrales les valeurs initiales p^, q^.

iSt l'on remplace ensuite dans H les p^ par |- , en posant :

on obtient l'équation différentielle partielle du premier ordre r

+ H = 0, Df

qui définit la fonction V en fonction des variables t, q,.. Fprmons maintenant l'intégrale

dans laquelle T -4- U estj en vertu des intégrales des équations du mouvement, une simple fonction de l et des 2k constantes q% p% et exprimons le résultat de la quadrature en fonction de t, q, et des k constantes arbitraires qj, en remplaçant les Pipar leurs valeurs tirées des intégrales des équations du mouvement. La valeur ainsi obtenue de Vintégrale

y = / (T H- U)dt,

est une solution complète de réquation différentielle partielle :

Généralisation de la théorie précédente.

40. On peut étendre tous les raisonnements que nous venons de faire dans le cas d'un problème de mécanique, au cas où la fonction 9 serait une fonction quelconque de ^ g, , g,- ; en d'autres termes, nous allons actuellement considérer l'intégrale

dans laquelle 9 n'est pas égale à T-hU (").

On trouve, dans ce cas, pour la variation de l'intégrale :

dt I

(*) Jkcohï, Vorlesungen ûber Dynamik, p. 148.

Si, dans ce développement de la variation de l'intégrale, on égale à zéro la quantité qui se trouve sous le signey^ les équations que Ton obtiendra sont celles qui, dans Thypothèse actuelle, remplacent les équations du mouvement de Lagrange.

Ces équations ont pour type :

dt Dqf. '

et il vient :

Nous nous proposons actuellement^ pour rendre l'analogie des deux problèmes plus complète, de mettre les équations différentielles (Â) sous la même forme qu*Hamilton a donnée aux équations du mouvement, c'est-à-dire la forme canonique. Dans ce but, de même que précédemment (n^ 13), on a remplacé

cas actuel, les ql par les p^, en posant :

les q'i par les p., en posant p, = p., nous remplacerons dans le

Pi= — •

On a ainsi k équations qui permettent de calculer les q'i en fonction des Pi et des 9<.

Introduisons maintenant la fonction

et opérons comme ci-dessus.

Nous aurons pour la variation de ^ ;

^•p = 2 Pi^9i -^ 2 9i^p< - ^f »

et, en remplaçant d(p par sa valeur, 9 étant considérée comme une fonction des q^ et des 9- :

ce dernier terme devant figurer dans S<f, lorsqu'on laisse la variable indépendante arbitraire, il vient :

3^ = 2 pH -*- 2 9i^' -l^é^i*-l P'-^ïî - ^ *'

Or, la fonctiou ^, par sa définition, esl une fonction des 3A: + 1 quantités /, q[, Pj» 9m nosiis, à cause de la formule

on peut exprimer les q[ en fonction des p^, et ^ devient une fonction de t, 7,, p<, et en prenant la variation de ^ ainsi exprimée, on a :

en renfermant dans ce cas les quotients différentiels entre parenthèses pour les distinguer. Nous aurons donc en égalant les deux valeurs de ô^ :

Or, en égalant à zéro la quantité sous le signe y^ nous avons obtenu les équations différentielles ayant pour type :

cette équation se

1 transforme en

la suivante :

dpi

et.

par suite, en

ayant égard à la deuxième équation (1),

on a :

dpi

nt\

D'autre part, la première des équations (1) nous donne :

dt \^Pi^

Nous aurons donc pour les équations différentielles du problème :

^' = — f^V 1 dt \^J '

dt \Dp,./ '

équations analogues à celles d*HamiIton (n** 16).

Or, l'intégration de ces équations nous fournira, en posant, comme précédemment :

y^f'fdt,

une solution de l'équation différentielle partielle du premier ordre :

En effet, la variation de l'intégrale Y devient, en vertu des équations canoniques (A) (*) :

dV •

ce dernier terme devant entrer dans dV^ lorsqu'on laisse la variable indépendante indéterminée.

Mais, en vertu des équations différentrelles du problème, on obtient 2*A équations intégrales renfermant t, ç^, q[ et 2A: constantes arbitraires; par conséquent, les g, et les 9I, et, par suite, les 9. et les p, sont des fonctions de t et des 2/r constantes.

{*) En effet, en vertu des équations canoniques (A), le terme sous le signe / dans le second membre de oV est nul, et, par conséquent, (^V se réduit à la partie en dehors du signe f.

Il en sera doDC de même de % et, par suite, de Y qui sera une fonction de t et des 2A constantes* Prenons pour ces2ft constantes les 2A: valeurs initiales 9°, p^, alors 9, et par conséquent, Y sont des fonctions de t et des Stk constantes 9^ p^ Les ^k équations intégrales renferment donc les 4*-hl quantités f, g,, p,, q% pj; on peut, par conséquent, déterminer les 2A: quantités p,-,p,% en fonction des 2A-I-1 quantités g,, gj et f, et, par suite, Y pourra ^tre exprimée en fonction de ^ 9,, 9^^ ^^ l'on aura :

^DY v.î)Y „ DV

En égalant les deux valeurs de dY, on a les 2A: équations :

qui sont évidemment équivalentes aux 2/: équations intégrales. Mais, à cause de : *

on a :

dV__ DY v«^V ^

puisque Y est une fonction de / et des 9, qui sont des fonctions de t.

Par conséquent, la fonction Y doit satisfaire identiquement à I équation :

ou bien :

en posant :

^ =^ 2 Pi^'i — î^ ' .

et Ton verra, comme dans le chapitre précédent, que si Ton remplace dans vp, exprimée en fonction de (, g,-, p,, les p^ par les quotients différentiels partiels |r , on obtiendra Téquation différentielle partielle du premier ordre :

à laquelle satisfait la fonction

considérée comme fonction de {,9,, ç-, et nous aurons le théorème suivant qui est dû à Jacobi :

4t. Théorème. — Soii 9 une fonction quelconque donnée de t, q/, q[, et remplaçons les quotients différentiels q| par les nouvelles variables p^ , définies par les équations :

posons ensuite :

et exprimons la fonction \p au moyen des variables p,, q,- et t.

Les équations différentielles ordinaires :

dqi D(p \

dt T^pi

dpi Dtf*

dt T^qi

rendent nulle la partie de la variation

^J fdt, située sous le signe J]

(*) Nous supprimons ici les crochets qui sont devenus inutiles, puisque nous n'avons plus de distinction à faire.

Désignon$ en outre par p% q, les valeurs des 2k variables p^, q^ pour t = to, et introduisons ces quantités au lieu des coU' stantes arbitraires dans les intégrales du système (B). Posons ensuite :

et nous aurons l'équation différentielle partielle du premier ordre :

qui définit Y en fonction de t et des q^.

Si maintenaAt l'on forme l'intégrale :

<p étant, en vertu des intégrales, une fonction de i^ et des 2k constantes q?, p^, et si l'on exprime le résultat de la quadrature en fonction de t, q,, q^ , la valeur ainsi obtenue pour Y est une solution de l'équation différentielle partielle :

49. Remarque I. — La formule qui relie les fonctions 9 et <f établit entre elles une sorte de réciprocité. En effet, nous avons posé : .

<p étant une fonction de f , g^, ?< • Or, au moyen de la relation :

on peut exprimer les q't en fonction des pt, et, par conséquent, obtenir ^ en fonction de ^ ^^, p,.

Donc, pour une fonction 9 de ^, 9,, 9^, on peut obtenir une fonction ^ de t^ 9,, p<.

Mais, on a aussi :

(// étant une fonction de ^ p,, 9,.

Or, au moyen de la relation :

on peut exprimer les pt en fonction des 9I, et, par conséquent, obtenir 9 en fonction de ^, 9,, q] .

Il résulte de là que Ton peut, en vertu de la formule

pour chaque fonction 9 de ^ 9,, 9^, trouver une fonction f^ de ^ 9o p.; 6t, réciproquement, pour chaque fonction ^ de r, 9,, p<, trouver une fonction 9 de /, 9,, q'i.

48. J{tfmar9ue //. — La solution, trouvée de Péquation diCTérentielle partielle :

renferme, comme nous l'avons vu, les k constantes arbitraires 9m 9s« ••• 9^ Comme la fonction i{; ne renferme pas la fonction Y elle-même, on peut ajouter à cette solution une constante additive, et le résultat satisfera encore à Féquation différentielle partielle^ Nous aurons ainsi une solution renfermant k-hl constantes arbitraires, c'est-à-dire une solution complète de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre ; cette solution renfermera autant de constantes arbitraires quMI y a de variables indépendantes dans Téquation différentielle partielle.

44. Remarque IIL — De même que Tinlégration des équations canoniques du mouvement, ou des équations différen-

tielles (B), fournil une solution complète de Téquation différentielle partielle :

de même, réciproquement, on peut, au moyen de celte solution complète supposée connue, former les intégrales des équations différentielles (B).

En effet, ces intégrales sont, comme nous Tavons vu (n*" 40), équivalentes aux équations :

et nous avons ainsi les intégrales exprimées par les quotients différentiels d'une même fonction V.

Observons ici que les équations différentielles du problème étaient exprimées par les quotients différentiels d*une même fonctioA H, dans le cas de la mécanique (n'' 15), ou d'une même fonction i^ dans le cas plus général (n"" 40).

Cette fonction Y a reçu d'Hamilton le nom de fonction principale.

La deuxième des équations (2) :

donne les intégrales finies du problème.

La première de ces équations (2) :

donne les quantités p, ou 9I en fonction de /, et des 9,, avec k constantes arbitraires q]. Cest le système des intégrales pretnières,

45. Nous verrons plus loin qu'il n'est pas absolument nécessaire que les k constantes contenues dans V soient les valeurs

initiales 9Î : mais, si Too connâtt une solution complète V quelconque de réquation différentielle partielle :

les constantes étant quelconques, les intégrales des équations canoniques pourront toujours être exprimées par les quotients différentiels partiels de cette fonction Y par rapport aux constantes qui y sont contenues. C'est le théorème de Jacobi que nous verrons dans la suite.

46. Hamilton définissait la fonction V au moyen de deux équations différentielles partielles, Téquation :

et une autre f ).

Mais, Jacobi a démontré que cette deuxième équation ne sert à rien pour la solution, et d'ailleurs elle peut se déduire de la première. L'introduction de cette deuxième équation n'apporterait aucune simplification à la solution du problème. En effet, la fonction Y devrait alors satisfaire à deux équations différentielles partielles simultanées. Or, le problème de la recherche d'une solution commune à deux équations différentielles partielles simultanées n'est pas plus simple que celui de la recherche d'une solution complète d'une seule équation différentielle partielle.

49. Pour démontrer que la deuxième équation différentielle partielle d'Hamilton peut se déduire de la première, Jacobi fait usage du théorème suivant :

Théorème. — SoU un système de n équations différentielles ordinaires entre les n-hl variables t, X|, ... x«; soient x!, Xt, ... xl

les valeurs des variables à l'origine Xq du temps, et supposons

(') Philosophicai Transactions, 1834 et 4835.

que l'on ait satisfait au système des équations différentielles ordinaires proposées par le système d'équations intégrales : ,

Xf =3 fi\t} *09 Xif X^f t..) X„), , ^J =^ /î(m *0> *4> ^%9 •••» '^nh i /A\

x„ «= /rt(f , ^0) ^i> ^t> •••> ^ii)«

Si l'on remplace dans ce système les variables t, X{, ... x», par leurs valeurs initiales Iq, xJ, x^, ... x* et réciproquement, je dis que l'on obtient un système équivalent d'équations intégrales.

Ce théorème dispense de faire le travail ennuyeux de Télimination, et il permet d'exprimer facilement les équations intégrales résolues par rapport aux constantes arbitraires de la manière suivante :

aCÎ=/'l(^0, ty X|, X„ ..., X„),

^i'^MV^o» '» ^l> ^J> •••> ^/i)j i .-jv

X„ = /„(îo, », Xj, Xj, ..., x„).

Démonstration. — Soitje système d'équations intégrales :

Xi = Vi{ty ai, «j, ..., a„),

satisfaisant aux équations différentielles données; il en résulte entre les valeurs initiales le même système d'équations, savoir :

Xi = Fj(^0> «1» ««> — » «n)>

xIle=F„(<0> «i> «2» -M «/,)•

Le système (A) résulte évidemment de l'élimination dea^^a^y ...a., entre (C) et (D). Or, ces deux derniers systèmes se transforment l'un dans l'autre, si l'on change t en ^o« ^^ ^ti même

temps X, en xî, x^ en a^, ... x« en xl; par conséquent, on doit pouvoir faire ce changement dans (Â)> et Ton obtient alors (B) qui est donc équivalent à (A).

49. Voyons maintenant ce que devient la fonction V, quand on change les variables en leurs valeurs initiales.

Supposons que les équations de la niécanique (n"" 15), ou les équations différentielles plus générales (n"" 40), soient intégrées par le système :

qfi = ?i(f, «i, «i, ..., otith pi = ^i(t^ «i» «i) •••> «j*),

(jli=^i\h «M O'îj •••> '^Vh Pi = ^s(^i *1> «Jj •••> ««*))

qk = ^k(h *ij ^îi •••> ^u\ Pk = ^k{ti «i, «2, .... «j^).

Si Ton remplace / par sa valeur initiale ^o^ on a :

qi = ^i{to, «1, a,, ..., Œji), p^'=^l(toi «i, «j, ..., «j^),

9'î=?î(^0> «D «JJ •••> «ïi\ /^«=»4(^0> «D «i» •••» «i»)? 9* = 5a('05 °^0 *2j •••? «»*)> Pk=^^k(tof «ij «2, ... , 044).

Cela posé, considérons l'intégrale :

= f fdt,

9 étant une fonction de /, 91, q^, ... 9^ « Pft P2« — P*9 qui, après rintroduction des valeurs de g^, 92, ...9*, pi,/)),. ..})«, /Induites des équations intégrales précédentes, devient une fonction de /, «1, «2, ... «ïA. On a donc,*d'après cela :

/ ç»rf^ ==*((, a,, aj, ..., û:,*),

et, par suite :

V= / frf/ = *(^ a,, aj, .. , otfk) — 4>(/o) «!> ««> • •> «2t)-

La quantité V ainsi déterminée sera, d'après ce que nous

avons vu (n'^^o) une solution complète' de Téquation différentielle partielle :

pourvu que Ton élimine les constantes a^, a^, ... a^y au moyen des 2k équations ci-dessus pour 9i, 92, ... Qk, ql^ ql, ... 9*.

Mais, de ces 2k équations, une moitié se transforme dans l'autre, si Ton change ^ en /09 ^^ 1^^ quantités 9, en 9^ Donc, chacune des quantités «i , o^, ... Os^, sera exprimée en fonction de l, to, qi, qa, ... q*, qî, qî, ... qî, de manière qu'elle reste invariable, si l'on change t en to, q, en q^.

Par ce changement, la fonction :

V = *(f, «1, aj, ..., «ja) — *{/o, «lî «j, ..., tfjt),

se change en la suivante :

*(/oi «1, «J, ..., «Ji) — *(^, «Ij «î» ...> «f*),

c'est-à-direi, en — V.

49. Dans tout ce qui précède, nous n'avons fait aucune hypothèse sur les équations différentielles. Supposons maintenant, pour obtenir le cas considéré par Hamilton, que cp ne renferme pas explicitement la variable t. C'est le cas de la mécanique, lorsque t n'entre pas dans la fonction de force U, ni, par suite, dans la fonction ^j^=H=T — U; alors t n'entre dans les équations différentielles du mouvement que par sa différentielle.

Ces équations peuvent être mises sous la forme suivante :

dt : dqi : dq^ : • •• : dqk : dpi : dpi : •• • : dpt

^Pi ^p% ^Pk ^l' ^i ^k

En faisant abstraction de dt et i^ on élimine complètement le temps, et l'on a le système :

dqi : rfqf, : .- : dqk : dpi : dp^ : ••• : dp,, Dp, '0/)j' *Dp4* Dgr, ' Dgr/ D^* '

D^ ^tp D</^

par rinlégration de ce système on exprimera toales les variables

en fonction de^^Tune d'entre elles, 91 par exemple.

On peut déterminer cet^te dernière en fonction da temps par

réqualion : . •

dt i

Dp,

et, en intégrant,

Dp,

En résolvant celte dernière équation par rapport à 91, on a celte variable en fonction de t — ^o* Mais, toutes les variables élant déjà exprimées en fonction de 91 , elles dépendent toutes de la différence t — îq. Donc, la fonction V renfermera aussi ces deux quantités t et îq par leur différence t — to=^0.

On a donc :

DV DV DV

^■■^■» S^E """^^ ■■ ■■■■ szzs ■ ^ '■ •

D( Dtn Dd

Mais, si Ton change ^ 91, 9^, ... 9* en leurs valeurs initiales

DV DO

^oi ?îi 9Î» — 9*» V se transforme en — V,. 6 en — 6, et ^ ne

change pas.

Si Ton désigne par i{/o, la valeur dans laquelle ^ se transforme lorsque les quantités 9, et p, = ^^ se changent en 9? et pj = ^ , réquation :

DV DV

D( . Dd

se transforme en la suivante :

DV DV

De D(o

Or, réquatîon :

est la deuxième équalion d'Hamiltoo, et Ton voit qu'elle se déduit de la première par le changement des variables en leurs' valeurs initiales.

Théorème sur les déterminants fonctionnels,

&0. Avant d'aller plus loin, nous devons démontrer un théorème dû à Jacobi sur les déterminants Fonctionnels, et dont nou^ ferons souvent usage.

Soient /i, ^3, ... /*«, n fonctions des n variables X], 0:3, ... x.,

/» = ?n(^lJ ^«> "9 3C„),

et soit le déterminant fonctionnel :

Il est facile de démontrer que, si le déterminant R est iden^ tiquement nuly les fonctions qui entrent dans, sa formation ne sont pas indépendantes les unes des autres; une ou plusieurs d'entre elles peuvent s'exprimer au moyen des autres (*).

(*) Jacobi, Vorlesungen ûber Dynamik, p. iOâ.

De l'iiDe des équations contenant X|, par exemple la première, tirons la valeur de x^ en fonction de /*!, x,, ... x», et substituons dans une des autres équations renfermant X|, x^, par exemple la seconde : nous aurons f^ en fonction de /i, X), X3, ... X.. Cette équation nous donnera x^ en fonction ^^ /i» fïy ^39 ••• ^n^ et alors nous aurons ^ en fonction de /î) /s« ^39 ••• ^«1 et ainsi de suite.

Nous pouvons donc considérer :

/i comme une fonction dç X|, x^, ..., x„,

/n ». » /I) /i) •••, /ii-|> x„,

et nous aurons :

fl = </'i(a:i, Xj, ..., x„),

fz = h{fif fil ^8» -M ^„)î

/i ^f(/lj /i> •••> A-l» ^« > •••» ^n)'

Il est évident que Ton retrouvera les valeurs primitives de /Il A? •••/»» en X|, xj, ... X,, si Ton remplace successivement dans les seconds membres /*], /^^ ... par leurs valeurs déduites des équations qui précèdent celle que Ton considère.

Nous aurons donc, en différentiant :

Observons que ^ est la dérivée partielle par rapport à oç^ de fi=i^i^ considérée comme fonction de /i, /i, ... /;4, x<, x,+,, ... x,, c'est-à-dire dans la deuxième hypothèse, tandis que ^ est la dérivée partielle, par rapport à x^ de /!=?., considérée cororne fonction de X|, x^, ... x„, c'est-à-dire dans la première hypothèse.

On lire de là :

Djt»

Cetle équation nous donne successivement :

DX| DX

DX] DXg

Iïx„

D/| dX| OXf

puisque <//^ ne renferme pas explicitement la variable X|.

De même.

Hz ^fi H^ ^ff ^/i

D/i DXi D/*j DXj

dXi

et ainsi de suite.

Elle nous donne aussi :

DXs

D/| dX% 0X2

^Xi

î>/f 1^X5 DXs

et ainsi de suite ;

^'h ^'Ps ^ Hi ^A ^^/i ^

DXj D/i DXt D/i Dx, Dxj '

puisque 4^3 ne contient pas explicitement la variable x^. On a aussi :

^3 <Vi Hi 0/; D/i

D/; Dxs D/i DXg Dxs

et ainsi de suite.

(60) Il résulte de là que, si nous écrivons le déterminant :

D^j DX|

DXf DX)

DXj DXs

DXs

Dx„ Dx„

Jx„

nous pourrons le considérer comme le produit du déterminant :

Ht ,

Hn Hn

par le déterminant fonctionnel : .