A JA

DX| DXi

DX

DX

DX) DX

jA 3A

Jx, 3x„

Or, le premier de ces trois délerminants sa réduit à son premier terme

et le second est égal à Tunilé.

On a donc :

DXi "bXi

Cela posé, si le déterminant fonctionnel R des fonctions Al A) — fn 6st identiquement nul, la formule (A) nous permet de démontrer que les fonctions fne sont pas indépendantes les unes des autres.

En effet, si R = 0, il faut que Tun des facteurs :

Hi ^i

^Xi

^Xq

Dx„

$*annule identiquement.

Mais, les n — 1 premiers facteurs sont, en général, différente de zéro, puisque, par hypothèse, ^i contient explicitement oci, 4^2 contient x^, etc. Il faut donc que ce soit le dernier facteur ^ qui s'annule identiquement, c'est-à-dire que, par suite des substitutions successives que Ton a faites, la dernière fonction i^^ ou f^ ne doit plus renfermer x« explicitement, et peut, par conséquent, s'exprimer au moyen de /li A* *•* A-i seulement. Il s'ensuit donc que, si R==0, il doit exister entre A, A, ... A-i» A iine relation indépendante de Xi, x^, ... x,.

Cependant, il peut aussi se faire que, par suite des substitutions en question, aucune des fonctions ^ni^n^i^ .•* 4^n.A« ne renferme explicitement x., x..|, ... x^^. Il est évident que, dans ce cas, l'on aura identiquement :

Dx

et alors chacune des fondions ^,, 4»,.,, ... ^^, 00 /;, /i., , ... /^^^ s'ei|Kme an mûjea de A» A^ •*• /L*^ seulement.

I tfgfj irafi nfiiii i r , si itt fooclicffift A^ A« — A °6 ^nt pas indépendantes les unes des aatres^ fi^ pftr exaiipie« Titiie d'entre elles A, ou plusieurs d'entre elles A» A-i» - A-*» pewmtêtic exprimées au moyen des fonctions restantes, c'est-à-dire A en fonction de A, A, ... A-i, ou bien A» A-i» ••• A-* «n fonction de A« A« — A-*-i9 diors la première des égalités (B), ou toutes ces égalités (B) auront lieu, et, par suite, le déterminant R sera identiquement nul.