VU

Théorème de JacobL

5t. Kous avons vu (n* 41) que la connaissance des intégrales du système d'équations différentielles ordinaires :

Dp.

dp, dt

nous a permis de trouver par une quadrature une solution complète de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre :

Nous allons maintenant démontrer le théorème inverse, et faire voir comment, au moyen de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre, on peut, par de simples différentiations, trouver les intégrales des équations différentielles ordinaires.

Théorème. — Soit :

une équation différentielle partielle du premier ordre, qui ne renferme pa$ la fonction Y, la fonction ^ étant une fonction de qi , q,, ... q„, p,, pa, ... p„, t, dans laquelle :

Supposons que l'on connaisse une solution complète quel'^ conque V de cette équation différentielle partiellef c^est-à^dire une solution qui, outre la constante ajoutée, renferme u con^ stantes arbitraires «i, «a, ... «„• Si l'on pose :

Pi ) P29 ••• (^n ^'^^^ ^^ nouvelles constantes arbitraires, ces équa^ tions, jointes aux suivantes :

feront les intégrales du système d'équations différentielles ordi'naires dont le type est :

dqi^ ^

potir /oufe^ /e5 valeurs de i égales à 1, 2, ... n.

Pour démontrer ce théorème, observons d*»bord que, si l'on remplace dans l'équation (1) V par la solution complète supposée connue, le premier membre de cette équation deviendra une fonction identiquement nulle des quantités 91, 9ii, ... 9», «1,0^, ... (x^, t. Par suite, les dérivées de ce premier membre, prises par rapport aux qt ou aux a,, sont idenliquement nulles.

Cela posé, nous allons démontrer que les équations (4) sont des conséquences des équations (2) et (3). Ncois démontrerons d'abord que des équations (2) on peut déduire la première moitié

des équations (4). A cet effet, nous différen lierons complètement les équations (2) par rapport à (, et nous aurons :

D'V D«V d^, D«V d(/, D«V dq„

da^Dt Da^d^i df Dgcid^s df «^^s^^n dt ) (^)

D«V D'V d^, D'V dqr, . D«V dr/„

Il suffirait de résoudre ces équations linéaires par rapport ^ ^» %» — %» ^^ ^® montrer que les valeurs obtenues sont identiques à Jji U;» - Ifc-

Mais, on peut démontrer cette identité très facilement, sans résoudre les équations (5), si Ton parvient à reconnaître

que les quantités 5I- 1 ^ y ••• 3^ « ^^'^^^ P^i*^ ^^ '^^ quantités ^, ^, ... •'^, d'autre part, satisfont à un même système d'équations linéaires.

A cet effet, différentions partiellement réquation'(l) par rapport aux constantes «i, a^i ••• ^m ^^ observant que, parmi les quantités (, 9, et P<'=^i qtii entrent dans ^, il n'y a que les pt qui renferment les constantes '«i , a^, ... a». En différentiant partiellement par rapport à a^, il vient :

mais, en vertu de la relation :

on a :

Par suite, *l*équation précédente devient :

En doDnanl successivement à t les valeurs 1, 2, ... n, on en déduit un système de. n équations linéaires. Or, ce système ne diffère de (5) qu'en ce que les quantités ^ sont remplacées par ^. On en conclut donc :

dt ^pi

Pour obtenir la seconde moitié des équations (4), nous nous servirons de la seconde moitié des équations intégrales, c'est-à-dire des équations :

En différentiant par rapport à (, il vient :

D'V ;)'V dq^ D'V dq„

àpi ^

dt ^fit ^i^qi dt

^qt^qn *

Or, on a :

par conséquent, dt ""

dV ) —

D'V Dp, dqr, ^p„ dq„

T^qfit dqi dt Dg, (]{f

Mais, en vertu de la première moitié des équations (4), on a :

donc,

dqi l^ dt D/9i

dpi dt

^qfit T^qt D;?| Dqr,. Dp,

D'autre part, en différentiant Téquation (1) partiellement par rapport à g,-, il vient, puisque tp renferme 9,, d'abord explicitement, et implicitement par les pt :

D*V D<f Dp, D<(» Dp,

D^^Df Dp, Dç, Dpj Dq^i

Dtp Dp^ D/»

^Pn ^i ^Vi

Relranchant l'éqaation (7) de l'équation (6), il vient :

dt Dfj

ce qui démontre la seconde moitié des équations (4), et le théorème de Jacobi est démontré.

On voit, par la démonstration précédente, que les n constantes qui entrent dans Y peuvent être arbitraires : il n'est donc pas nécessaire de prendre pour ces constantes les valeurs initiales

5t. Remarque. — Nous avons conclu de Tidentité des deux systèmes qui définissent ^* et ^, que ces quantités sont égales. ' Nous ne pouvons tirer cette conclusion que si ces quantités ont des valeurs finies et déterminées ; or, cela a toujours lieu pour un système d'équations linéaires, dès que ces équations ne sont pas incompatibles, ou dès que Tune ou plusieurs d'entre elles ne sont pas la conséquence des autres. Dans le premier cas, les valeurs des quantités sont infinies; dans le second cas, elles sont indéterminées. Ces cas d'exception, dans lesquels notre démonstration cesse d'avoir lieu, se présentent lorsque le déterminant R des équations linéaires est nul (pourvu que les coefficients de ces équations restent finis, ce que nous supposons toujours).

Or, ce déterminant est :

D'Y :^xfiq„

que l'on peut écrire, en adoptant la notation de Jacobi :

DV DY

DoC{ Doe2

^^ DÇj

oa bien :

dV dV dV

Or, c*est UD déterminant fonctionnel, et nous allons démontrer qu*il ne peat être nul.

En effet, si le déterminant R est nul, il résulte de la première expression de R que les quantités j^i 5^» ••• ^^i considérée* comme des fonctions de 91, 92, ... 9., ne seraient pas indépen* dantes les unes des autres, c*est-à-dire qu'il devrait exister une relation entre ^15—»... |^i «1, «2» — «»» ^ laquelle ne renfermerait pas 9i, 921 -^ 9» (n"" &o). De la deuxième expression de R, il résulte qu'il devrait exister une relation entre ^1 ' S' - ^' '*' '*' - '•' '' laquelle ne renfermerait pas

On aurait donc ainsi une équation de la forme :

Fl«, ?i, y», ... ç„, — » - —1=0,

c'est-à*dire une équaijon différentielle partielle du premier ordre, à laquelle devrait satisfaire la solution V supposée, et cette équation ne renferme pas .^. Mais, cela est impossible, si Y est une solution complète de l'équation différentielle partielle :

En effet, ppur qu'une expression :

satisfasse à la condition d'être une solution complète, on doit se servir, pour éliminer les n+ 1 constantes a^, a^, ... a., 7 de toutes les n + 1 équations

17 "" d7* Dç, "^ :)g,' " . Dgf„ Dy^

Or, s'il existe entre ^~, ^^, ... 5^, ?,, q^, ... q^, ^ une relation qui ne renferme pas les «j, a^i — ^«t ^^ ^^^ ^^ contienne pas ^ , c'est-à-dire une équation de la forme :

f[«>?i)9i) -Çn» — ' ••• r-|==0,

il en résulte que pour éliminer les constantes «,,«), ... a., /, on n'a pas fait usage de Tune des équations, à savoir de réquation :

Si Tune des équations est superflue, et si, par conséquent, les n autres :

sont seules nécessaires pour éliminer les constantes o^i^o^^ ... ««, il en résultera que Tune de ces constantes reste indéterminée, c'est-à-dire que nous pourrons lui donner une valeur- particulière. En effet, entre n équations on ne peut éliminer, en général, que n — 1 quantités. Cette* constante est donc superflue, et, par conséquent, la fonction f ne renferme que n — 1 constantes.

Par suite , la fonction :

ne renferme, y compris 7, que n constantes arbitraires. Elle ne peut donc être une solution complète de l'équation :

mais, elle est une solution de l'équation :

Fc=0.

Or, cette dernière conclusion est contraire à notre hypothèse qui était que :

est une solulion de Téquation :

et de réquatioû :

Donc, le déterminant R ne peut être nal, et, par suite, de Tidentité des deux systèmes linéaires, on a pu conclure que Ton a :

dqi ^ dt Dp(

53. Application. — Nous terminerons ce chapitre, en appliquant la théorie précédente au mouvement d'un système libre de n points matériels.

On doit d'abord calculer l'expression :

qui entre dans les équations différentielles d'Hamilton, en fonction de (, 9<,p,.

Or, ici les g, sont les 3n coordonnées rectangulaires ,x<, y., z,.

par suite,

DT DT

Les p étant ici égaux à th^,', nt^yl, m^i on devra dans Téquation

remplacer les xj, yî, < (c'est-à-dire les q') par ^ , et Ton aura i^ en fonction de 9,, p, et t.

Mais, pour avoir l'équation différentielle partielle, on devra poser :

Pi =

par conséquent.

UiE)'-©'-©>"-

, 3V niiXi = — »

et, par suite,

^^^H^i l\bxj "*" \Dy j "^ \TzJ J On a donc TéquatioD différentielle partielle :

U étant une fonction des coordonnées or^, y^, z,.

Telle est Téquation différentielle partielle du premier ordre, de la solution de laquelle dépend Tintégration des équations différentielles du mouvement d'un système libre, lorsqu'il existe une fonction de force U, qui, outre les coordonnées, peut encore contenir explicitement le temps.

Si Ton peut déterminer une solution complète de cette équation, c'est-à-dire une solution qui, outre la constante additive, renferme Zn constantes a^ , a^, ... «smi alors les équations :

pour t c=s 1, 2, ... 5n, seront les intégrales du mouvement.

Les équations du mouvement pourront être mises sous la forme :

(PXi DU (Pvt DU iPZi DU

m. — - = — , f/f, — -- = — , n^!. — —- = — I di^ Dx,. dt* Dt/,. e/t* Dr,.

pour 1 = 1, 2, ... n.

Quant aux intégrales premières, elles sont données par les

équations :

dxi dV dvi dV dZi dV

mrf---«= — » wî,-7-= — » m<-~ = — dt Dx^ dt D^j dt DZj

Fonction caractéristique d'Hamilton.

&4. Moas avons vu, dans le cas d'un problème de mécanique auquel le principe des forces vives est applicable, que, T élant la demi-somme des forces vives, et U la fonction de force ne renfermant pas explicitement le temps, Téquation des forces vives :

T — D = H = const. = h, est une intégrale du problème (n"" 19).

Nous savons aussi que, dans ce cas, Téquaiion différentielle partielle du premier ordre, à laquelle satisfait la fonction Y, est :