DS DS DS
T— = Pl, — =P«» ••• — = P«>
DÇi '^ Dqr, '^ Dç„
DS „ DS n ^S „ DS
lesquelles donneront la solution du problème, lorsque la fonction S sera connue.
Or, il est facile de voir que la fonction S satisfait à une équation différentielle partielle plus simple que celle à laquelle satisfait la fonction Y.
(*) La fonction S = V -f- H(^ — f^)» ^^^ *<>"* celte forme, parait renfermer explicitement le temps. Nous avons démontré qu'elle ne le contient pas. Si donc on veut la considérer comme une fonction des ç/, q^ et de H, on devra éliminer t au moyen de Téquation H =r T — U.
En effet, on a Téquation :
dans laquelle T est une fonction de 91, ... 9», pi, ... p«, et, en remplaçant p, P^i* ^1 on a Féquation :
TUi, ...?„, — >••• — — U(qf„...7„)==H. (3)
Or, cette équation différentielle partielle du premier ordre, qui ne renferme pas la fonction inconnue S, est plus simple que la précédente (1).
&7. Propriété. — La fonction S n'est autre que Tintégrale définie :
qae Ton considère dans le principe de la inoindre action. En effet, on a :
s«vh-h(< — g-,
or,
par conséquent,
Puisque H reste constante pendant toute la durée du mouvement, on aura :
S = / (T H- U)(ù ^- /" H(/* = /* (T H- Il H- H)c//, et, en remplaçant H par sa valeur T — U,
2Trf^
(74) Oo voit donc que la fonction principale d'Hamilton :
\^ r {T^V)dt,
to
ne diffère de la fonction S que Ton considère dans le principe de la moindre action que par l'addition d'un terme proportionnel au temps (n"" st).
La fonction :
= f ^Tdt,
a reçu d'Hamilton le nom de fonction caractéristique. Elle satisfait à réquation différentielle partielle (3).
fts. Il est facile de s'assurer que le théorème de Jacobi (n"" 5i) peut être modifié de la manière suivante quand il existe une fonction de force ne renfermant pas explicitement le temps :
Théorème. — Si la fonction de force U ne renferme pas
explicitement le temps, de telle manière que le principe des
forces vives ait lieu, et si l'on remplace dans l'intégrale des forces
vives :
T — U == ^, {h étant une constante)
laquelle est une des intégrales du problème, les quantités p^ par ^— , on formera l'équation différentielle partielle :
TUi,9j...^„,--' — ' •••» — —U(qr,, ?„...?„) = A.
Si l'on connaît une solution complète quelconque S de cette équation, c'est-à-dire une solution qui, outre la constante additive, renferme les n — 1 constantes arbitraires «i, «a, ... a»-i, les intégrales du problème seront :
ds ds ds ds
r" = P* > — = P«> ••• ;^ — = Pn-i i TT = * — 'o,
Pi Y Pst ••• Pw-n ^0 étant de nouvelles constantes.
(75) Le$ intégrales premières étant :
fiou« aurons les *in intégrales du problème^ et les constantes seront :
Pu ptï ••• P«»-i> 'o*
En effet, on sait que la fonction Y est une solution complète de réquation différentielle partielle :
DV / DV DV
— -*- T qr., 7„ ... qr„, — , ... — — U (çi, q^ ... ?«) == 0. (4) ùt \ oqi o(fj
Posons y = S — ht^ S ne renfermant pas explicitement le temps. Il est évident que S étant connue, on en déduira Y en retranchant ht de S.
Cherchons donc l'équation à laquelle satisfait la fonction S. A cet effei, nous allons transformer Téquation (4}. On a :
par conséquent, l'équation (4) se transforme en la suivante :
, / DS DS
— A H- T 1 7,, qfj, ... 5r„, —, ... — - — U(qri, qr,, .. qrj = 0, \ DÇi dqj
équation qui devra être vériflée par la fonction S.
Si donc, on connaît une solution S de cette équation (5), on en déduira une solution Y de (4) en retranchant ht de S.
Or, d'après le théorème de Jacobi, on sait que, si l'on connaît une solution Y de (4), les intégrales des équations du mouvement sont données par les équations (n"" fti) :
Les intégrales des équations du mouvement sont donc données par les équations :
D(S — ht)
doCi
= pi,
D(S — ht) D(S — hl)
;)(S — ht)
DS DS
— = Pi^ r- =Pî»- :; —
dA
Par conséquent, ces dernières équations sont bien les intégrales des équations du mouvement.
59. Remarque /. — Dans le cas d'un système libre, on a, en coordonnées rectangulaires, Téquation différentielle partielle :
