Remarque IL — La fonction caractéristique d'Hamilton

S= r ^Tdt,

peut encore être mise sous une forme différente.

En effet, puisque T est une fonction homogène et du second degré des q[ , on a :

d'où :

oqi oq^ oq^

2Ï = ^4^; -h ptq'i

dqi dq^ ^' dt ^* dt ^^ dt

Vnq\

Par suite,

S = y 2T(/( « / (pidqy + p^qr, -+- — •+- pjq,,) •

Observons ici que l'expression Pidq^

Pndqn doit être

une différentielle exacte, puisque l'intégrale du second membre doit se réduire à une fonction de l seulement.

ei. Remarque III. — Hamilton considère encore une autre fonction qui jouit de propriétés analogues à celles des fonctions y et S. Cette fonction est définie par Péqualion :

dans laquelle H = T — U-

Or, H étant une fonction des 9,, f?,, on a :

mais, les équations canoniques :

dqt dH

dt 2ipf

dp. ^ DH dt Dqf,

nous donnent :

Si donc on considère la fonclion Q comme une fonction des an quantités p„ pf, nous aurons les 2n équations :

qui seront les intégrales des équations canoniques, et qui résous dront la question lorsque la fonction Q sera connue.

ApplieaUons.

G9. Mouvement d'un point matériel attiré ven un centre fixe, par une force dont Vintemité varie en raison inverse du carré de la distance, le mouvetnent étant rapporté à deux axes rectangulaires.

Les équations du mouvement sont, en prenant le centre flxe pour origine, et en supposant la masse du point égale à Tunité,

dF^'^V dt' r* '

|x étant la masse du centre d'action. Nous supposons que l'action de Tunité de masse sur Tunité de masse à Tunité de distance est égale à l'unité.

La fonction de force est :

Comme il n'y a pas d'équations de liaisons, les 9^ sont les variables X et y. La demi-force vive est donnée par la formule :

or, on a :

DT , DT ^

par conséquent (n"* to),

et, par suite.

C'est la fonction T exprimée en fonction de Pi, Ps, 9i, 9s«

La fonction de force U éiant indépendante du temps, Téquatioo différentielle partielle de laquelle dépend la solution du problème est (n*" 5$) :

dans laquelle on remplacera Pi , Pa , P^** sf" ^ sf^ ' c'est-à-dire par 5I , 5I . Nous aurons donc l'équation :

dont il faudra trouver une solution complète.

On simpIiGe la question en. changeant de variables, et posant :

a: = rcosf, y = rsinf, r et 9 étant les nouvelles variables indépendantes. Or, des équations précédentes on tire :

et, par conséquent,

DS :ir

Df>

Dr Dx

:ir

Dj»

DS DS :}r DS Dy y DS X DS Dy :ir Dy D© Dy r Dr r* Dy

L'équation aux dérivées partielles est alors :

2 [W/ r' Vdî»/ J r

et nous aurons à déterminer une solution complète renfermant, outre la constante additive, une constante arbitraire (n*" 59).

Pour intégrer cette équation, nous observerons que S peut être considérée comme la somme de deux fonctions d'une seule variable chacune, savoir une fonction de r et une fonction de (p.

Nous poserons donc :

R étant une fonction de r, et $ une fonction de 9, et nous aurons, en désignant par R' et $' les dérivées de R et €^ respectivement par rapport à r et 9 :

On peut satisfaire à cette équation en posant :

1 in

d'où l'on tire :

et, en intégrant.

^-fW^^-^T-v'

par conséquent, l'expression :

S == /'rfr y 2A ^ ^ - -1 H- ^ V/2^

sera une solution complète de l'équation aux dérivées partielles. Les intégrales du problème seront alors (n® &8) :

keig étant deux nouvelles constantes.

pjoos aaroos dooc pour ces intégrales :

2^ 2p l/âp

«-*-ff =

dont la première peut être remplacée par Féquation :

3r ai*ctg —

t. Mouvement d'un point matériel attiré vers un centre fixe par une force agissant en raison inverse du carré de la distance, le mouvement étant rapporté à trois axes rectangulaires.

Désignons par x^ y^ z les coordonnées du point attiré, dont DOus supposons la masse égale à l'unité, Torigine étant au centre fixe, par /* l'attraction exercée par l'unité de masse sur l'unilé de masse à Tunilé de distance, et par p la masse du centre d'action. Les équations difTérenlielIes du mouvement sont :

ffJLX

dt'^ r' """'

ffiZ

Observons que les équations du mouvement auront la même forme, si nous supposons le centre mobile, comme cela arrive dans le cas du mouvement relatif d'une planète unique autour du soleil, en tenant compte de l'action de la planète sur le soleil.

Dans ce cas, comme on sait, (i est la somme des masses M et m du soleil et de la planète f).

La fonction de farce est :

Comme il n*y a pas d'équations de liaisons, les 9, sont les variables X, y, z. La demi-force vive est donnée par la formule :

or, on a :

par conséquent (n"* to).

Pi =» x'f Pi = y\ Pi = «', et, par suite,

C'est la fonction T exprimée en fonction de pi, p^» P3> q^ 93» 93.

La fonction de force U étant indépendante du tempsj l'équation différentielle partielle de laquelle dépend la solution du problème

est (n** 59) :

dans laquelle on remplacera Pif p^, Ps P^** ^> ^' 5I"» c'est-

^C AC >C ^'tI *'V8 '"'HS

à-dire P^^r 5^ > ô^> 57- Nous aurons donc l'équation :

équation dont il faudra trouver une solution complète, renfermant deux constantes arbitraires, outre la constante additive (n*" &$).

D'ailleurs, si nous posons :

H, = T — U = i (x" -+- v'* -*- «") — ~ ' (*) Voir Cours de mécanique analytique, théorie des forces centrales.

l«s équations du mouvement peuvent être mises sous la forme suivante (*) :

dl Dx

dy' DH,

dt D^

dz' DH,

dt 'ïz'

dx dH, rfF^Ôx' ' rfy dH,

^^■^^« SS^29 ^mm^^^m i

dz DHj rf7 "~ 32' '

Pour simplifier la solution de la question, nous emploierons les coordonnées polaires, et nous poserons :

X Bs r sîn cos f , y «= r sin sin f , z B. r cos $,

Posons encore :

dr dt

dt ' dt

et nous aurons pour l'expression de la force vive :

2T = r" -I- rV* -♦- r' sin' «./';

c'est la fonction T exprimée en fonction des q et des q'. Mous aurons donc :

Dj?'

tc'.nlA '.

— -^s==r'sin'e.f ;

(*) En observant que Ton a :

^__DT^ D(T~U) dH, Dx' Dx' Dx* *

DHt DU

Dx "" Dx

(84) par conséquent (n* lo), »

Pi == r', p, « rH\ ps -= r* sin' , 9' ;

et il vient alors :

i r i il

T = - PÎ + — PÎ -^ -TT-T- pî •

Cest la fonction T exprimée en fonction de pi, Ps,Ps, Çi, g^, Çs*

L'équation différentielle partielle du problème est donc :

et nous aurons à trouver une solution complète de cette équation (2), renfermant, outre la constante additive, deux constantes arbitraires (n* 59).

Pour intégrer cette équation (2), nous observerons que S peut être considérée comme la somme de trois fondions d'une seule variable chacune, savoir une fonction de r, une fonction de 6, et une fonction de 9.

Nous poserons donc :

et nous aurons, en désignant par R', e', $' les dérivées de R, e, 9 respectivement par rapport à r, 6, 9 :

i Fr'» ^ le'* h- -J-p *'«] =^ + h.

2 L r* r' sm' 6 J r

On peut satisfaire à cette équation en posant :

sin*0 ^ (A)

Ces équations ne contenant chacune qu'une seule variable, on en tire :

^y ▼ sin' B

par conséquent, Texpression :

V/ -^ -4- 2A 5 dr -4- y,

sera une solution complète de l'équation (2).

Les intégrales premières du problème sont alors (n"^ &$) :

dr di dé dt df dt

1 dS

r*sin*9Dj> r'sîn'fl

Les intégrales finies sont :

ïb

6', gf' et t étant trois nouvelles constantes arbitraires.

Observons, en passant, que la fonclion S donnée par réqoation (3) étant connue, on pourrait revenir aux variables x, y, z^ et alors les intégrales (4) pourront être remplacées par les sui* vantes :

dx dS dy dS dz dS di ' dx dt dy dt dz

Les équations (8) nous donnent :

e dô

^^în«7

T 8in"

sin 6 dr

ro y r *' $9 ~ sin*d-

Il est facile* de trouver la signification des constantes.

La constante h n'est autre que la constante des forces vives, b est la constante des aires dans le plan de Torbite, et g la constante des aires dans le plan des xy.

On a, en effet,

dx dS dS dr dS de dS dj»

dt dx dr dx dd dx df dx

Or, des formules :

r = |/x* -I- y' -+- z', tgf«=-, cosdas-f

en tire :

Or X

= - = sin d cos 9 ,

Ox r

— =- = sin 6sin y,

— =r - = COS ô,

Dz r

sin f

r sin 6

COSf>

r sin d

cos B cos 9>

Dx r* sin d Dd cos 6 sin f

r sin d

Par conséquent,

■-- = sin d cos 9

dt ^

COS 6 cos f ^ /"] g* g sin f > V sin'e r sin e

-- = sin 6 sin 9 v — di ^ y r

cos 6 ^n

T sm'

gcosf

sin' ô r sin ô

dz . /2A

-- = cos e v — dt ^ r

sin* 4

Élevant au carré et ajoutant, on a :

c*est réquatioD des forces vives; en faisant ^=0, cette- équation détermine la constante h en fonction de la vitesse initiale et de la distance initiale du point matériel au centre fixe. D'antre part, il est facile de voir que Ton a :

dy dx

On en conclut que g est la constante des aires dans le plan des xy ou bien le double de la vitesse aréolaire en projection sur le plan des xy.

On trouve de même :

dz dy , X /f 9^

yj7— Z—^-SlUfX/ 6«— -^-— — gfC0Sî»C0tg9,

dt dt ^ sin^ô

dx dz • /^, o'

x-v = cos f v 6' ^ 5f sm y cotg e,

dt dt ^ y sm*e ^ î^ -o

Élevant au carré et ajoutant, il vient :

dy dxV I dz dyV I dx dzV

-'lui ''[^di-'tl -^['di'^'dïl

Or, le premier membre est le carré du double de Taire dans le plan de l'orbite, ou le carré du double de la vitesse aréolaire dans le plan de l'orbite. Par conséquent, la constante h est la constante des aires dans le plan de Vorbitey ou le double de la vitesse aréolaire dans le plan de l'orbite.

On peut encore dire que la constante b est l'axe du plan invariable, et g la projection de cet axe sur la normale au plan des xj/, c'est-à-dire sur la normale à un plan fixe sur lequel on compte les longitudes.

Il résulte de là que, si i est l'inclinaison de l'orbite sur le plan fixe des xy, on a :

^ = b cos t.

Avant de passer à la recherche de la signiflcation des constantes T, b\ g\ nous allons déterminer les limites inférieures Tq et 60 des intégrales qui entrent dans la fonction S.

Nous prendrons pour ces limites inférieures les valeurs de r et 6 qui annulent les radicaux : il résulte évidemment des deux dernières formules (A) que ces valeurs de r et 6 sont celles pour lesquelles on a : dr = 0, d9 = 0, c'est-à-dire les valeurs pour lesquelles r et 6 sont minimums.

Nous aurons donc pour déterminer la limite inférieure de r, réquation :

OU bien :

— 6« -*- 2/Àtr -H 2Ar* « 0.

Or, en désignant par 2a et e le grand axe et l'excentricité de l'orbite elliptique, on a :

ou bien :

p étant le demi-paramètre.

Ces deux dernières équations déterminent les constantes h et 6 en fonction de a et de e.

La limite inférieure tq de r est donc donnée par la formule :

Quant à la limite inférieure ^AeO^ elle est déterminée par l'équation :

sm' Oq

de laquelle on tire :

sm ^0==»-'

est l'angle que le rayon vecteur r fait avec l'axe des z.

D'ailiears, en vertu de ia formule :

gs=z 6cost, on a :

sin Oa = ces t , ou bien : ^o ^= *•

Passons maintenant à la recherche de ia signification des constantes g\ b' et t. «

Pour trouver la signification de g\ prenons l'intégrale :

SIïTB

^ sur e

et faisons dans celte équation :

l'intégrale du second membre est nulle (*), et l'on a :

en désignant par <po 1^ valeur de <p correspondant kB = %.

Or, (po ^st l'angle de l'axe des x avec la projection du rayon vecteur qui fait le plus petit angle Bq ^^^^ ''^^^ d^s z. Mais, l'inclinaison de ce rayon vecteur sur le plan des xy est la même que celle de l'orbite : il est donc perpendiculaire à la trace de l'orbite sur le plan des xy (c'est la ligne de plus grande pente de l'orbite); par conséquent, sa projection sur le plan des xy est perpendiculaire à celle trace. Donc, Tangle de celte projection avec Ox est égal à |, augmenté de l'angle de la trace avec Ox, c'est-à-dire | plus la longitude *du nœud de l'orbite.

On a donc, en désignant par a la longitude du nœud ascendant de l'orbite :

(*) Puisque les limites de Tiatégrale sont égales.

Observons encore que l'équation :

6 dô

^sïn»ë

nous donne :

/® 9 d cotgj

OU bien :

^' = ^ H- arc sin

. S'colg» ^^

Or, de la formule :

on tire :

sin ôo = -r>

cos6<

et, par suite,

COtg Bq =

Par conséquent,

g COtg 6 T

q' ss tp -^ arc sin — =z= :'

OU bien encore :

g coig è

g' sssf — arc ces

Pour trouver la signification de la constante 6', nous prendrons réqualion :

^, y Sin'ô rp ^ ^ ^

Si, dans cette équation, on fait :

r = fo = o(i — e),

la seconde intégrale sera évidemment nalle, et il vient :

'« bde

sm'd

Dans cette dernière formule, la limite inférieure Bq est la valeur minimum de 6, c'est-à-dire | — t , et la limite supérieure 6 est la valeur de 6 correspondant au rayon vecteur Tq = a(l — e), c'est-à-dire au rayon vecteur du périhélie.

D'ailleurs, si Ton remplace g par sa valeur :

^ =rs 6 COS ï,

il vient :

-, /^^ sînorffl /'^ sinerfd / cose\*

= / — -== / — — = arccos— — ; •

^/ l/sin*d-cos't ^ »/sin«t— cos'd \ smt/»»

On a donc :

, , ces ô cos «0

6 == arc cos — r— . — are cos -: — r* sm t sm t

cosdo = sint;

par conséquent.

, , cos e

6' = arc cos - — : >

sm t

d'où Ton tire :

* cos 6 == sin i cos 6'.

Cherchons à interpréter ce résultat, en ayant soin de remarquer que, dans cette formule, 6 est Tangle que fait avec Oz le rayon vecteur mené du point au périhélie. Imaginons une sphère ayant son centre à l'origine, et soient NP et NK les

intersections de cette sphère avec le plan de Torbite et le plan

des xy, N le nœud et P le périhélie (flg. i).

Du point P menons Tare PK perpendiculaire à NK, c'est-à-dire au plan des xy. Il est évident ,que Tare PK est le complément de fangle que fait avec Taxe Oz le rayon vecteur mené du point au périhélie, c'est-à-dire le complément de l'angle de la formule ci-dessus.

Fig. 1.

On a donc :

PK=^- — ô.

Or, le triangle sphérique PNK nous donne :

ou bien :

sin PK = sin NP. sin t, cos e == sin NP. sin t.

Comparant cette formule avec la précédente, on a :

ÎT