SV "^V
vées plus haut pour ^» w»> ®^ fonction des p,% qf.
En comparant ces valeurs de ^o, 5^0 avec les valeurs trouvées plus haut, on en conclut que Ton doit avoir identiquement :
pour r = l, 2, ... k.
Les équations (5), au nombre de X;,sont linéaires et homogènes par rapport aux k quantités :
or, le déterminant des coefficients de ces équations est différent de zéro, d'après ce que nous avons vu précédemment; par conséquent, le système des équations (5) ne peut exister que si l'on a séparément :
pour t=3l, 2, ... k.
Le système des équations (6) nous donne alors :
pour r = i,% ... k.
Il résulte de là que les solutions complètes :
Pi = [PJ.
des équations (1) doivent satisfaire identiquement aux ik équations :
En effet, les expressions (7) et (8) doivent être des identités, c'est-à-dire que, par la substitution dans les équations (9) des solutions complètes (2), ces équations (9) doivent devenir les identités (7) et (8).
Les équations (9) ne sont pas elles-mêmes des identités : en effet, puisque (V) est une fonction de ^, /oi 9i« *•• 9a>Pii — pU il en résulte que les premiers membres des équations (9) ne renferment ni les jo^, ni les çf , et comme les seconds membres ne renferment que les pt et les q% il s'ensuit que les équations (9) ne sont pas des identités; elles ne le deviennent que par la substitution des Pi et des g^ tirées des équations (2).
Ces équations (9) sont donc équivalentes aux équations (2), et, par conséquent, ce sont des intégrales des équations (1). D'ailleurs, le nombre de ces équations est 2/;, et elles renferment 2A constantes arbitraires Qi, ... 9^ p!, ... pi; enfin, aucune de ces équations (9) ne peut être une conséquence des autres; car, dans chacune d'elles, il entre une quantité pt ou 9? qui ne se trouve pas dans les autres.
11 s'ensuit donc que les équations (9) forment un système d'intégrales complètes des équations (1).
Cherchons maintenant l'équation différentielle partielle à laquelle satisfait la fonction (Y).
A cet effet, de même que tantôt nous avons trouvé ^ et ^ de deux manières différentes , nous allons former ^ de deux manières différentes.
De l'équation (4') on tire :
d'autre part, si l'on substitue dans (Y) à la place de gi, ... 9*, leurs valeurs (5), cette fonction devient Y. Par conséquent, nous aurons, en vertu du théorème des fonctions de fonctions :
p(Y)i ^ ^ p(Yn 490
ou bien, à cause de la première équation (9) el de la première équation (1) :
En comparant les deux valeurs de ^, on obtient Tidentité :
c'est-à-dire que, par la substitution dans l'équation :
des solutions complètes :
cette équation (11) doit devenir l'identité (10).
On conclut de là que les solutions complètes (2) des équations (1) doivent satisfaire identiquement à l'équation (11). Or, les solutions complètes (2) des équations (1) sont équivalentes auK équations (9).
Donc, si (Y) est connue, les équations (9) satisferont à
l'équation :
