MV

Il s'ensuit que, si, dans cette dernière équation, on remplace les Pi par j—, en vertu de la première des équations (9), on aura l'équation différentielle partielle suivante :

à laquelle doit satisfaire la fonction (V).

Or, si, à cette fonction (V) qui satisfait à (12), on ajoute une constante additive, on aura une solution complète de cette

( li9 )

équation (12). En effet, cette solution renferme k constantes arbitraires pU •*• pi, et ces constantes ne peuvent pas être éliminées entre les quotients différentiels partiels ^, ... j^, car alors une des k premières équations (9) serait une conséquence des autres, ce qui est impossible. Mous aurons donc le théorème suivant qui est dû à M. Mayer f) :

Théorème. — Étant donnée l'équation différentielle partielle :

DV . / DV DV

on remplace dans la fonction H, les ~- par p^, et Von forme les âk équations différentielles ordinaires :

dt lipi dt Dg. ^ '

On intègre ce système, et l'on exprime les 2k constantes d'inté^ gration en fonction des valeurs initiales p?, qj des p^, q,. pour t s=a to. On substitue ces solutions dans l'expression :

^ DH

^ Dp,

ei l'on détermine l'intégrale :

«vO

"en fonction de t, to, q?, p?.

Cela posé, si de la fonction V on élimine les q? au moyen des

valeurs des q, tirées des intégrales des équations (B), la fonction

résultante (V) sera une fonction de t, q^, ... q^, p^, ... p^.

La fonction :

V =r (V) -*- const,,

(*) Mathemaiisehe Annàten, t. III.

sera une solution complète de Véquation différentielle partielle (Â), et les 2k équations :

««ron^ les intégrales complètes du système (B) (*).

Théorème de M. Liouville.

Nous allons d*abord démontrer un théorème de M. Donkin (**) dont on fait un fréquent usage dans les théories de rintégration des équations canoniques, et de l'intégration des équations différentielles partielles du premier ordre.

Ce théorème exige remploi de notations nouvelles introduites par Poisson, et par M. Donkin, et que nous devons faire connaître.

Si Ton suppose que « et (3 sont des fonctions des quantités Pu l\i • Pny<lii 9«i — 9i7 on doit à Poisson la notation suivante ("*) :

M. Donkin ('^), de son côté, a introduit une notation symbolique pour représenter la quantité entre parenthèses. Il pose :

%»pO ^i'^Pi ^Pi^i'

(*) On peut encore consulter sur cette question une Note de M. Bertrand, insérée dans les Comptes rendus du 20 mars 1876, p. 641.

(**) Philosophical Transactions, 1851, p. 83.

{***) Mémoire sur la variation des constantes arbitraires (Journal de l^École POLYTECHNIQUE, i^^ Cahier, p. 281).

(") Philosophical Transactions, 1854, p. 72.

0424 ) et Ton a ainsi :

Si K?o Pi)