Cela posé, supposons que l'on ait n équations
«i = ?i(?i, ?i» ...» 9„» Pif Pï» —j pO»
«««^«(Vi, ?ï, M ?„, Pi, Pï, ..., pji
dans lesquelles Oi, a,, ... a. sont des constantes arbitraires, les fonctions des seconds membres pouvant renfermer des quantités quelconques autres que les a,.
Ces équations pourront servir à déterminer p,, p,, ... p», en fonction de ^i, 9,, ... 9., et des constantes, et nous nous proposons de démontrer que la condition d'inlégrabililé de VexpreS"
sion :
p^dq^ '\- ptdq^ -+-... + p„dq„ ,
c'est-à-dire :
^Pi __ ¥*
n'est autre que :
(a„o») = 0, ou (ç,,,ç>*) = 0.
En e£ret, si dans l'expression :
afi = ffjL{qiy qu "5 9»» P«> P«» •••» P/»)>
on remplace pi, p,, ... p. par leurs valeurs en fonction de 9ii 9si ••• 9», ttii a,, ... a«, on aura une identité; par suite, en différentiant par rapport à 9,, il vient :
de même,
Dttv îkiv 5pi ^ ^
D7, ;)p, ;)qr, sp„ oç,
Multipliant la première par |^, la seconde par |~^, et retranchant, on trouve :
ou bien, d'après la notation de M. Donkin,
^(g/t> Qy) __ vT ^ ^(g/mt fly) ^ î)(7o P<) ê* î^?*- HPi, Pk}
Faisons la somme des expressions analogues que l'on obtiendrait en donnant à t les valeurs 1, 2, ... n; le coefficient de ^ étant le même que celui de ^, pris en signe contraire, nous aurons :
(a^, ay)=2 Zl£-,T vT"— r* (^^
iS *si \î)7< 3g*/ î)(Pi , Pk)
De cette formule on conclut déjà que la condition nécessaire pour avoir :
^i ^qk '
pour toutes les valeurs de i et k égales à 1, 2, ... n, c'est que les !!^ équations :
soient vérifiées pour les mêmes valeurs de p et v.
Pour démontrer que cette condition est suffisante, multiplions les deux membres de l'équation (1) par 377^^) et faisons la somme pour toutes les valeurs de p et v égales à 1, 2, ... n. Il viendra :
^ ^' y" ^(Po PJ I* *v (^Pi ^Pk\ ^{af.y gy) ^ ^^ ^
yS <il î>(a/t, «y) â si \îi?* î)?|/ HPiy Pk)
Le coefficient de ^ — ^ est évidemment :
/î^i v'â \^^fi <ïay <^«/* «^«v/ \<^Pi ^Pk 3p» ^Pf/
Il est facile de simplifier ce eoeflScient. En effet, puisque p^ et p, soDt des fonctious de o^, a,, ,.. a«, on a :
iip^ :iPr DOf :ipr DOs
t^Pi DOi ^Pi (idi T^Pi
T^Pr ^Pr ^ai ;ipr ^a^ ^Pr Da„
^Pk Dai Dpft Da, ^p^
î^On î^P»
^Ps ^P, *^»i î^P* <^o« Dpf Dtti Dpj- DOs Dp,-
^ ^Ps î^a„
Dp, ^p^ Doi Dp, Dat Dp, :ia„ — ^ — 1 — ^ ••• 4
:^Pt Doi ^ipk da^ ^pt
Da„ ^pk
La somme double (3) est une somme de produits de deux déterminants. En appliquant les règles de la multiplication et de l'addition des déterminants, on trouve que cette somme double se réduit au déterminant suivant :
?Pr
^Pr
^Pi
^Pk
^Ps
^Pi
^Pk
dpr :ip, ^Pr ^p, HPr, P,)
^■«^^ '^^^■^ m^ma^ a»^^^ bmw^m £^^S ^^i^^^"^«^"^M^»* <
^Pi ^Pk ^Pk ^Pi ^{Pi , Pk)
L'équation (2) se réduit donc à la suivante :
'V'^^ ,^(Pr,pJ
î5(a/x, ««) à S \3?* ^9»^ ^{Pif PU
Mais, on voit facilement que, si Ton développe le second terme, il n'y a que le coefficient de ^ — ^ qui ne soit pas nul, et il se réduit à l'unité. En effel, le coefficient de ^-r-^ s'obtient
' Dç* oqr
en faisant t = r, A: =» $, ce qui nous donne pour ce coefficient :
puisque :
HPr^ p.) ^ ^ ^ ^ ^ ^(Pr>P*) ^Pr^P. ^Ps^Pr
3p, 3p. Dp, 3p,
Il est évident que si i et k sont différents de r et s, par exemple t ^=mr\ k = s\ le coeiBcient de :
sera nul.
Nous aurons donc :
fltssl
ou bien, en remplaçant les lettres r et « par t et fc :
/â Si î)(a/*. «•) î^Ç* ^qt
II résulte de cette dernière formule que si l'on a :
pour toutes les valeurs de p et v égales à 1, 2, ... n\ on aura :
pour toutes les valeurs de t et k égales à I, 2, ... n. 9t. On en conclut le théorème suivant :
Théorème. — Si les °^°^^^ équations :
sont vérifiées identiquement, les valeurs de p^ Pu ••• Pn* ^^ fonction de qi, qs, ... qn» déduites des n équations :
satisfont à la condition :
en d'autres termes, ce sont les quotients différentiels d'une fonction de qi, q,, ... q„, et l'expression :
Pidqt -¥• ptdqt -♦-••• 4- p^dq^^
est une différentielle exacte.
91. Ce théorème étant démontré, revenons au problème de l'intégration des équations canoniques :
dqi
dt
Jp,
dpi dt
H étant une fonction de Çi, g,, ... g», Pi, Ps, — p», ne renfermant pas explicitement t.
Nous avons vu (n® 19) que Yintégrale des forces vives :
est une intégrale de ces équations.
