Ceci rappelé, démontrons le théorème suivant

Théorème de M. Liouville. — Si, par un moyen quelconque, on parvient à trouver n — 1 autres intégrales des équations (4), savoir :

et si les premiers membres de ces équations sont des fonctions de qif qs, ••• q») Pn Psf ••• Pa» ^^ contenant pas explicitement le temps, et satisfaisant à la condition :

pour toutes les valeurs dei etk égales à 1, 2, ••• n, /e problème sera résolu.

Il suffira de résoudre les n équations :

H = A, fi=»Oi, fi'=^at, ... y,-i«=»«hi-i, (6)

par rapport à p, , p,, — P01 ^^ de subsHiiur ces valeurs dans ^expression :

dV ^Pidqi -4- p,rf9» -♦-..-♦- fjq^ — (H)(i^ (6)

laquelle est alors une différentielle exacte. On intégrera cette expression, et Von obtiendra les n autres intégrales du problème en égalant à des constantes les dérivées de la fonction \\ prises par rapport aux n premières constantes.

II est d'abord facile de voir que l'expression :

Pidq^ -*- ptdqt ^ h pjq^ — (H)d«,

est une différentielle exacte, lorsque l'on substitue à pi, pt, ... p«», leurs valeurs tirées des équations (S) ; en d'autres termes , que les conditions :

Dp, Dpt Dp, ^ 3(H) Dgf* D7,. D« Dy.

sont vérifiées, (H) désignant le résultat de la substitution de

Pu Ps9 ••• Pn dans H.

Nous avons vu (n*" 91) que la condition :

(ft> f*) = 0,

équivaut à la condition d'intégrabilité :

Dp, ^pt Dç* Dqr,

Il nous reste donc à démontrer que l'on a aussi :

Df Df,

Or, les quantités Pi, p,, ... p«. ayant été déterminées en fonction de 9i, 9,, ... q^ et des constantes, au moyen des équations (5), le premier membre de l'équation H = A, qui est l'une de ces équations (5), devient, par la substitution de ces valeurs, iden-

tiquement égal à la constante A; par conséquent, on a identiquement :

et, par suite,

D'autre part, p, ne renfermant pas explicitement le temps, on a identiquement :

et la seconde condition d'intégrabilité :

est satisfaite.

En intégrant l'expression (6), on a :

Y désignant l'intégrale de l'expression :

Cela posé, les n autres intégrales du problème sont données par les équations :

Dai

dai

= aj,

dO)

dO]

0e„ a,, ...a. étant des constantes arbitraires.

Il suffit pour s'en assurer de démontrer que les dérivées totales par rapport à / de ces équations se réduisent identiquement à zéro en vertu des équations (4).

Or, eo désignant par t un quelconque des nombres 1 ,2, ..n— 1 ,

nous aurons :

^ DV î)V DV

di d^i di dqf„ c(e

Da^ dt dà; c^^

;)H Opi DH Dp„ D(H)

dpi dai 2ip„ dflj da,

Mais, comme (H) est identiquement égal à A, il en résulte que Ton a :

Si maintenant nous prenons la dérivée totale par rapport à / de la dernière des équations (8) :

DV DV

nous verrons que cette dérivée est aussi identiquement nulle, en vertu des équations (4). En effet, on a :

, DV ^pV 1

DV DV

dA rf/yi D/i dq„

dt dt Dfi dt Df„ (if

DV DV

D(jr, dqi Dqf„ rfç,

dA dt dA (if

JH Dp. 5H 3p,

Dpi DA Dp„ DA

dA La seconde partie du théorème est donc démontrée.

941. Remarque L — Il n'est même pas nécessaire de déterminer la fonction V, donnée par Téquation :

V = Y (pirfçi ^ ptdqi H H pjq^). (9)

En effet, si l'on prend la dérivée par rapport à a^ de Téqua- ; tien :

il vient :

ou bien :

^qk

^qk ^i

Par suite I on pourra remplacer les n équations (8) par les suivantes dont les premiers membres sont, en vertu de (10), des différentielles exactes :

95. Remarque IL — Il est facile d'obtenir l'équation aux dérivées partielles à laquelle doit satisfaire la fonction Y', définie par l'équation :

rfV = Pidqx -^ Pfdqt -* H Pn^qn "~ W^^

OU la fonction V déûnie par l'équation :

dV = pjrfçj -♦- p^q^ -^ ... -♦- Pndq„.

En effet, les valeurs de Pi , Pt, ... p», déduites des équations (5), sont celles qui vérifient identiquement les équations :

3V' DV dV DV

— =Pn — = P«» - Zr = Pn9 -77 = ""**^ Dg^i Dç, D9„ D«

par conséquent, la fonction V doit réduire à une identité l'équation aux dérivées partielles du preniier ordre :

DV / DV DV DV

Df \ DÇ, Dgf, Dqr^/

ou bien, la fonction Y doit vérifier l'équation aux dérivées partielles du premier ordre :

90. Application. — Comme application du théorème de M. Liouvîlle, reprenons le problème du mouvement d'un point malériel attiré vers un centre fixe en raison inverse du carré de la distance.

Les équations du mouvement sont :

L'intégrale des forces vives est :

On a donc :

DH ^ DH fix

Dx' ^ ' Dx ~ 7* *

DH DH,^f^

Dy ^' Dy i-'*

Par suite, les équations du mouvement peuvent être mises sous la forme canonique :

dx oH

rfx' m

dt Ox'

dt Ox

dy OH

dt Oi/'

dy' DH dt Oy

Ces équations renferment quatre fonctions inconnues oc, y, x\ 2/' de la variable /. Nous devons donc chercher, outre Tinlégrale des forces vives, une autre intégrale ne renfermant pas explicitement le temps.

Or, cette intégrale est fournie par le principe des aires, qui nous donne Téqualion :

f =a:y' — yx' = a.

On vérifie facilement que la condition :

(H, f) = est satisfaite; en effet, on a :

DH D4> dH Dp dH do» DH d9

Dx Dx' Dx' Dx Dy Dy Dy' Dy pix uv

= - 7 • y - ^'.v' + 'Jj • ^ -^ y'^' = 0.

De ces deux intégrales H et 9, nous pouvons tirer les valeurs de x' et y/ qui rendent l'expression x'dx-hy'dy une différentielle exacte. Nous aurons :

«y dz X y/â [a + '^j r* — a»

par suite, on a :

' xdy — ydx ^ xdx -^ ydy >/^ / p'

rfV = a. -^ /^ d: r^-^V 2(A-*.Hr*~a',

d*où, en intégrant,

V===aarctg?d= yT-y âfA-^^Jr' — a*.

Les deux autres intégrales du problème sont : dV y f^ fndr ,

— = arctg-q= / ■ g= ^,

arctg-=p /

DV y» rdr

A et 9 étant deux nouvelles constantes.

Ce sont les intégrales que nous avons trouvées précédemment (n*" e») : la première est l'équation de la trajectoire, la seconde donne la relation entre le rayon vecteur et le temps.

Mouvement de rotation d*un corps solide autofêr

d'un point fixe.

99. Soient l'origine des coordonnées au point fixe, £, >?, ç trois axes fixes rectangulaires, x, j/, z les axes principaux du corps pour le point fixe. A, B, C les moments d'inertie principaux, p, g, r les vitesses angulaires autour des axes principaux.

Soient f l'angle que fait l'axe Oi avec l'intersection OA des plans xy et {>?, ^ l'angle de cette intersection OA avec l'axe Ox, 6 l'angle des deux plans (fig. 3).

Nous aurons pour la somme des forces vives :

Or, la vitesse angulaire de la rotation peut être considérée

comme la résultante de trois f rotations p.q^r autour des

axes X, 2^, z, ou comme la résultante de trois rotations dont les vitesses angulaires sont :

-7- autour de OA ,

autour de 02;,

Fig. 3.

et Ton a les formules suivantes :

dé

— ^ autour de Oz.

en posant :

p = cos if,B' + sîn ^ sin B,f\ q= — sini^.6'-*- cos ^ sin d.f', r = tf' + cos 6 . ?' ,

^ dï '^ dt^ '^ di

En remplaçant p, g, r par ces valeurs (1) dans Texpression de Tf nous aurons T en fonction des variables 7, ^, 9 et de leurs dérivées cp', r^f\ 6'.

Si nous posons maintenant d'après Poisson (*) (n^ 10) :

__ DT ^ DT

(*) Mémoire sur la variation des constantes arbitraires (Journal db l'Ecolb POLYTECHNIQUE, iS* Cahier).

nous aurons, puisque ^' n'entre pas dans p elq :

DT DT Dr

de même, 9' entrant dans p, 9, r, il vient :

DT dT Dp OT Dg DT Dr

D^' Dp Df ' Dqf Df' Dr Dy' = Ap sin sin ^ + Bq sin d ces <!/ + Cr ces ,

et, comme 9' n'entre pas dans r, on a :

dT dT Dp dT do . „ .

r e=3 — - =3 + ^ =: Ap ces 4> — Bg 8in ^ .

De' Dp De' Dg De '' ^ ^ t

On a donc les équations :

Cr = «, Ap sin ^ + Bqr cos ^

u — s cos e

sin e

Ap cos ^ — Bg sin <p sss v.

On en tire :

Ap =

B7 = Cr =

sin ip

(u — s cos e) H V cos 0,

sine

. cos 'p

(u — s cos B) V sin é ,

sm ê

Par suite,

. sin 1^

s cos e)

sin e

cos </«

s cos &)

sin e

-+- r cos <f^ — V sin f I

Si nous remplaçons dans le second membre de celle équation « * t# , t? par -gl , ^ , 3I , et si nous désignons par U la fonclion de force, et par h la constante des forces vives, le problème sera ramené à Tintégralion de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre (n® 5S) :

1 TAnV dV \sin^ dV 1^

cos e -: H — cos ^

A \\bf ^ I sm ô o« J

\ r/DV DV \cos^ DV . 1« (

H- cos ô -: sin </; ) (4)

B [ bî» ^ I sm ô DO J I

Les équations différentielles du problème sont alors, en posant H=T — U:

d^ dH

dt Ds

Dw'

dB DH

dt Du

ds DH

rfu DH

dt D^

dt Dô

98. La solution du problème se simplifie lorsque la fonclion de force U est nulle, c'est-à-dire lorsque le corpsy soumis à une impulsion momentanée^ est abondonné à lui-même.

En effet, si l'on désigne (Qg. 5) par a, 6, c les cosinus des angles que l'axe des x fait avec les axes i, >7, S, a\ b\ c' les cosinus relatifs à l'axe des 1/, et a!\ 6", c" les cosinus relatifs à l'axe des z, nous aurons, pour les équations de la conservation des aires :

Ap.a -♦- Bg'.a' -4- Cr.a" = a, ]

Ap.6 + Bqf.6' -*-Cr.6"=.p, ( (5)

kp,c -f- Bç c' -*- Cr.c" = r^ )

Ap, B9, Cr étant les sommes des moments des quantités de mouvement relatives aux axes principaux ar, y, z, c'est-à-dire les aires décrites dans chacun des trois plans coordonnés Ox^y^ z.

Or, les formules d'Euler nous donnent :

a e=s ces f ces ^ — sin f sin ^ cos ô, 6 6=3 sin f cos ^ H- cos f sin ^ cos 6, c ss sin i{> sin 9,

a' = — cos f) sin <!/ — sin f cos t|/ cos 4, 6' = -* sin f sin tf» -t- cos f cos «^ cos 0, c' ï=cos<|/ sin a, a''s=sin y sin ô, 6"= — cos f sin 9,

c^Bscose.

Les équations (5) prendront la forme suivante :

sin î» , vcos f — -; — (m cos — 5) = a, sin 6

cosf \ (6)

vsinf-t--: — (ucose — «) = 3, sine ^ ^

En faisant la somme des carrés, et posant :

on a :

(tlCOSO — «)'

s'irr ô

Cette équation, étant une combinaison des équations (6), peut remplacer l'une de ces équations : elle sera une des intégrales du problème. D*ailleurs, Tintégrale des forces vives H = A est aussi une intégrale du problème.

Nous pourrons donc prendre pour intégrales du problème les trois équations :

(m cos b — sf

sin'4

1 i sin ^ j *

A / sin B )

-i- - < — VSlt\4f -^ lu — .S COS 6) >

B I sin e )

Il est facile de voir que ces trois intégrales satisfont aux

conditions :

(r,Aj-=0, (A,A) = 0, (*,r) = 0.

Nous pourrons donc appliquer le théorème de M. Liouville (n"^ 93). Les équations (7) serviront à déterminer u, v, s en fonction de 6, (p, i{; ; nous pourrons alors déterminer la fonction Y par une simple intégration, et nous aurons :

V =3 A«cît|; -♦- udf -^ vde).

Ç) Il est d^ailleurs évident (n» 11) que réquation :

u r= consLy

est une intégrale du problème.

£n effet, si Ton exprimait T en fonction de 39, ^, 9, ^\ ^', 9\ au moyen des formules (1), T ne renfermerait pas la variable f , mais elle renfermerait sa dérivée f\ D'ailleurs, la fonction de force U étant nulle, elle ne contient pas la variable 7. Par conséquent, Téquation :

--- 8 consL,

on bien :

u = consLy

est une intégrale du problème.

Les trois autres intégrales du problème seront données par les équations :

/o« <xi9 cc± étant des constantes arbitraires. Nous aurons donc les trois intégrales :

/»/D.s . Dm Dv , \

t/ \Dy Dr Dy /

/*/Ds , Dm , Du , \

Les équations (7) ne peuvent, en général, être résolues par rapport à u^ i?, s. Car, Tétimination de 5 et de u conduit à une équation du quatrième degré en v.

Mais, si l'on suppose B = A, la difficulté disparaît, et les équations (7) nous donnent :

V = -: — (fc* — m' — 5* -♦- 2m« ces 6 — fc* cos'e)*. sm 6 ^ ^

9fi. La théorie précédente est applicable au mouvement de rotation de la terre autour de son centre de gravité. En effet, on sait qu*un corps solide libre dans Tespace tourne autour de son centre de gravité comme si ce point était fixe. Alors A, B, C seront les moments d'inertie principaux de la terre.

Soil OZ Taxe polaire dirigé vers le pôle nord, la rotation s*effectnaDl des x vers les y. Le plan ^y^ est ]*écliptique fixe, Taxe des | l'origine des longitudes, 6 l'obliquité, 9 la longitude de l'équinoxe du printemps (point vernal), ^ l'ascension droite de l'axe des x.

Soient i l'inclinaison du plan invariable (plan du maximum

ïiciipù^^''^

Fig. 4.

des aires) sur récliplique fixe, j l'inclinaison de Téquateur sur le plan invariable , que l'on appelle aussi plan principal (fig. 4).

Dans le cas de la terre, A ne diffère presque pas de B, 6 ne diffère guère de t, et j est toujours très petit. Nous supposerons que G est le plus grand moment d'inertie.

Il est évident, à cause de :

fe^ = a' -♦- p* -4- y*,

que k est la somme des aires sur le plan invariable. En outre, dans l'équation :

y est la somme des aires sur le plan des Ç)?, c'est-à-dire sur le

plan de l'écliptique.

Enfin, la formule :

s = Cr,

nous donne la somme des aires sur le plan des xy, c'est-à-dire sur l'équateur.

On a donc, en vertu des théorèmes sur les projections :

y ss»k C08 »,

et l'on pourra remplacer y ei s par ces valeurs dans les équa* tions (8), t et ; étant supposés constants.

On a ainsi les équations suivantes :

u = 7' = * ces t ,

s = le cos^,

i; = -- — (1 — cos'i — cos'j -4- 2 ces % cosj ces é — cos^ôV, sin ^ "^ . ^

dans lesquelles les constantes seront A:, cos î et cosy.

Nous aurons alors :

V =s Ar (^ COSJ -H f cos t) -^fvde

Qrfd

sind en posant :

k['p cos î -♦- f cos t) -*- K / —

t/ sii

Q =s (i — cos't — cos'j -4- 2 cos » COSJ cos — COS*0)*.

so. Lorsque nous aurons déterminé l'intégrale^^, nous pourrons trouver les trois dernières intégrales du problème.

On peut prendre pour éléments normaux^ c*est-à-dire pour les trois constantes arbitraires :

h, COS e et cosj.

On appelle éléments normaux les quantités y, h, k qui satisfont aux conditions :

{r,A) = o, (A,fc)==o. (r, A) = 0;

toute combinaison de ces trois éléments forme aussi des éléments normaux.

Il esl facile de s'assurer que k est une fonction des élémenlis A, cos t et cosy : en effet, Téquation :

s* = (A« — 2AA) = A* ces' j,

nous donne :